книги из ГПНТБ / Машбиц Л.М. Цифровая обработка сигналов в радиотелеграфной связи

может превышать некоторое граничное значение

Уг

(на рис. 5.4

УГ1 = 0,25 и Угз =

0,5)

только в том

случае, если нормированное

значение разности—частот сигнала и помехи Z также превышает оп­

ределенное минимальное значение Z M i m

(на

рис. 5.4 ZM imi = 0,375 и

2 М и н 2 = 0 , 2 5 ) .

Если

Z < Z M i r a ,

то отклонений

частоты,

соответствую­

щих условию

| У| >

| Уг|, вообще нет. Переходя от частного случая

представленного

на рис. 5.4, к общему, заметим,

что величина

Z M I t H может быть определена

из общего ур-ния (5.9) при подстанов­

ке в него У = У Г

и х=0

для

У г > 0 и У = У Г и х=л

для У г < 0 . Про­

изведя соответствующую подстановку, получим:

— при к < 1 ;

У г > 0

2 И И В = У г Ч ^ ; .

(5.Ю)

риваемую задачу

можно

сформулировать

следующим

образом:

необходимо найти выражения, определяющие вероятность

/;(|У|>

>|У Г |) при условии,

что

все

значения

Z

в пределах

от Z=Z\

до

Z = Z M a K C равновероятны.

Очевидно, что

искомая

вероятность

/;(|У|>|УГ |)

при

Z = Z t 4 -

-bZniaiic является средним значением

(математическим

ожиданием)

вероятности pi(\У

| > | Уг|,

определяемой ф-лами

(5.12) — (5.16)

при изменении Z в указанных пределах.

Тогда на основании приведенных определений и

ф-лы (5.12)

искомую вероятность

/?(|У|>|Уг|)

для условий

/с<1; У г > 0

мо­

жно представить в виде

.

7 макс

.

7макс

P ( r > V ' r ) = — ! —

( Pl(Y>Yr)dZ=

1

f

M Z . (5.18)

^макс

z l

J

"Чумаке—А) "

Z,

Z,

Теперь заметим, что, во-первых, для

решения

рассматриваемой

задачи

можно ограничиться

частным

решением

ур-ния

(5.18) —

Z i = 0

и, во-вторых, согласно

приведенным

в § 5.2 положениям

от­

ной границы при условиях, оговоренных для ф-лы

(5.12),

возмож­

ны

только при Z > l Z M „ i r

[где Z M 1 I U

определяется из ф-лы

(! 5.10)].

ZMI1H

Из

этого следует, что

j ' XldZ=f).

С

учетом этих

обстоятельств

о

ур-ние (5.il8) принимает вид

7

,

макс

p(Y>Yr)=—^

я Ачакс

Г xrdZ

(5.19)

7 "

мин

/ с < 1 ;

У " г > 0 .

Аналогичным образом на основании ф-лы (5.13)

получим

7

р (У <^ Y ) — ^ м а к с

^мнн

1

-

макс

1

xrdZ (5.20)

7 мин

/ с < 1 ;

У " г ^ 0 .

p ( Y

> Y r ) = l - f ^

- —

i -

Г x,dZ

(5.21)

^макс

л ^ м а к с 7 J

/ с > 1 ;

У г > 0 ,

в которой

верхний предел интегрирования

Z 2

устанавливается рав­

ным Z 2 =

Z M a i ; c при 2 М Ш 1 < ^ М а к с < - 2 м а

ц с 1

И

Z 2

— Z M a K C i при

Z M a K C >

Общим элементом ф-л (5.19) — (5.21) является интеграл

вида

1

=Г*\ arc cos i

KZ — YR

2к

ldZ.

(5.22)

xtdZ

YR

— Z

=

Используя некоторые

преобразования,

приведенные в

работе

(95], можно получить решение этого интеграла

в двух

вариантах:

— применительно к значениям /с< 1

1arc cos / i (Z) dZ = Z arc cos /i(Z)

+

Yr

[arc cos A(Z) -

V

\ k

In/ 2 (Z)

(5.23)

— применительно к значениям /с>1

j

arc cos Д (Z) f/Z =

Z arc cos /i(Z)

+

+

Yr

[arc sin/1 (Z) +

1

arc sin /, (Z) ] .

(5.24)

В ф-лах (5.23)

и (5.24) принято:

KZ —

Г г

/i(Z)

=

2 K

Y R

- Z

(5.25)

/2 (Z) =

2 Z - r r + 2 ] / z 2

- y ^ - K r

4 k 2

7 , 0 ) ^ ( 1 - 2

Подставляя в ф-лу (5.19) решение интеграла

(5.23),

получим

p ( K > F r )

=

Zarccosfi (Z) +

мин

+ Yr

2..I,,.,

arc sin /х (Z) — K,

2K

ln/2 (Z)

(5.26)

далее, учитывая, что .по ф-лам

(5.10) и (5.25)

а также arc c o s ( l ) = 0 ;

arc

К

s i n ( l ) = j t / 2 ; arc sini/i(ZM a K c) =я/2—

—arc cosi/i(ZM a K C ), вводя

обозначения

о _

^макс

)

Уг

(5.27

p(bK)

=

p(\Y\>\YT\)\

за пределами границы У = У Г

при

/с<1, отклонениях

частоты

ре­

зультирующего колебания в сторону помехи и равновероятных

зна­

чениях частот помехи в интервале

fi^-f(ZMul;C):

/>(р; K ) = - l - [ ( l _ i - ) a r c c o s / 1

( P ;

к)- V l 2 ~ / lnf 2 (p;

« ) ] • (5.28)

к >

= ^ 3 1 •

(5-29^

1

Я ,

1 \

j

„ « ,« . ,л,

,

VT=#

р (р; к)

= —

[[ 1 -

T

[л -

arc cos ft (р;

« ) ] +

*

In f, (р; к)j

р < 0

(5.30)

к<1

Условие существования

отклонений, определяемых ф-лой |(5.30),

с учетом

(5,11) и (5.27)

запишется в виде

р(р:

«) = 0

« : >

1 р > 0 ;

(5.32)

—

при Вм и н

< р <

р м а к с 1

=

(к + 1)/2/с

0}

р(Р; /с) = — 1 ( 1

1

/* (P;

Й-

[л— arc cos f i (Р; /с)] +

Q

.

arc

2рк„

cos

(5.33)

к>1

B>0 ;

—

при p =

Вм а к с 1 =

(к +

1)/2к

(5.34)

« > 1

P > 0 ;

—

при p >

р м а к с 1

* " h 1

IK

V к"- — 1

p(P;

K

) = 1

_ t

^ 1 _ 2/c

к > 1

P > 0 .

(5.35)

В

ф-лах

(5.28),

(5.30) и (5.33)

приняты

следующие дополни­

тельные обозначения:

1 +

*2

2к

- Р

M P ;

к)=

к ( 2 р ; - 1 +

2 j

/ ^ - p

-

i ^

)

(5.36)

/3 (Р;

/с) = к ( -

2р + 1 + 2 ]^р*-р

-

/4 (Р;

/с) =

к ( 1 - 2 р )

5.4. З А М И Р А Ю Щ И Й СИГНАЛ И

БЕЛЫЙ Ш У М ВО ВСЕЙ ПОЛОСЕ

ПРИЕМА

ми С] ( / = 1 , 2, 3 ...):

— ситуация Сь /с<0'1, частоты помехи расположены в ннтерва-

Негатид

ПозитиВ

2АН/

Рис.

5.6. Расположение

UjU)j(t)

частот

сигнала, помехи и

Ш1

результирующего

коле­

и, и,

бания

в полосе

приема

2Дш?

-

Щ

О

2Щ

ЗДй), Ш

ле

от

(02=0)1 до co9='COi

Ao>i и текущая

частота

результирующего

колебания принимает

значения, определяемые неравенством

—

coi -f- Acoi <

со3 (0 <

coi -г ЗДон;

—

ситуация

Съ к < 1 ,

частоты помехи

расположены в интерва­

ле от 0)2=10)! до

0)2=coi—Acoi

и текущая

частота

результирующего

колебания принимает значения соз(0 >coi + 3Acof,

—

ситуация

С3; к>1,

частоты

помехи

расположены в интерва­

ле от 0)2=0)1 до со2=coi—Acoi

и текущая

частота

результирующих

колебаний принимает значения м3(()

<Zw\—Дом;

—

ситуация

С\' к < 1 , частоты

помехи

расположены в интерва­

ле от o)2=ci)i до

иг=со 1 + 3Асо 1 и текущая

частота

результирующих

колебаний принимает значения

u3(t)<iw\—Ашь

—

ситуация

Съ', к < 1 ,

частоты помехи

расположены в интерва­

ле

от <о1 =,о)2 до

o)'>=coi + 3o)i

и текущая

частота

результирующих

3

колебаний принимает

значения

coi + A c o i < o ) 3 ( 0 < C U I + ~^_ ACOI;

—

ситуация

С6 ; /с>1, частоты помехи расположены в интерва­

ле от coi=io)2 до

o)2=coi + 3Ao)i

и текущая

частота

результирующих

колебаний принимает

значения

о)1 + До)1<о)з(7)<о)1 + ЗДо)1;

—

ситуация

Ст; /с>1, частоты

помехи расположены в интерва­

ле от io)2=o)i до

o)2=o>i + 3Acoi

и текущая

частота

результирующих

колебаний принимает значения со3 (0 >coi + 3Ao>i.

Перечисленные ситуации полностью исчерпывают все возмож­

ные комбинации обстоятельств,

приводящих -к

неблагоприятным

Рош=Р(Сг)+р(С5)+

р(Сй) + -^-[Р(С,)+

р(С3)+ р(С4)+ piC,)], (5.37)

dp (С,) =

P I Ы Pi (р/; кг) W (к,) d/t,

(5.38)

где /э/С'Шг)

вероятность

нахождения частоты со2

в интервале ча­

стот,

соответствующем

(согласно перечню) данной ситуации С,-;

—

PJCPJ-;. KI) — вероятность того, что при соблюдении

условий данной

ветствующем

данной ситуации;

W(K\)dK

— произведение

плотно­

сти вероятности функции

к; в точке к=кх

на дифференциал этой

функции, определяющее вероятность того, что в процессе

приема

значение случайной величины к будет удовлетворять

условию к\—

—CLKIZ <.к<к.1

+ йк12.

Рассмотрим соображения, на основе которых могут быть опре­

делены составляющие ф-лы (5.38).

1. Pifaz)-

Поскольку

было оговорено

равновероятное

распре­

деление частот помехи во всей полосе приема, то PiCm)

будет опре­

деляться отношением:

р ( Ю 2 ) =

"«/•-"«/и

f

(5.39)

4Д0)!

где co2jn и игjв соответственно

нижний и верхний пределы

значе­

ний частот помехи, предусмотренные перечнем для данной

ситуа­

ции С).

—

2. р$($у, K I ) . Значение

этих

вероятностей можно

получить из

W №

=

„

'

(5 -4 0 )

где

(1 4-

к-а-)1

и £7ц.к п UoKK —

среднеквадратичные

(действующие)

значения ам­

плитуд сигнала и помехи соответственно.

Подставляя выражения

(5.39) и (5.40) IB ф-лу (5.38) и интегри­

руя полученное

выражение в

пределах от KjU ДО K J

B , получим ве­

1. На основании ф-лы

(5.39) и приведенных

в перечне данных

для ситуации

С?

определяем:

a t

— (со, — Acoi)

1

р., (со.,) =

=

— .

к

4До)!

4

2.

Определяем значение

параметра pNИз

условии,

оговоренных для

ситуа­

ции

Cz,

на основании ф-лы

(SJ27)

И С учетом

того,

что

при выводе

ф-л

(5.28) —

бания

считалось направление

в сторону

помехи,

получим:

р

_

^ м а к с 2

_

Д<°макс2

Д м 1

1

~

Уп

~

Дш (О ГР

~

2(—ЗДШ1) ~

~

6

3.

Сопоставляя

условия,

оговоренные

для

ситуации

Cz

и условия

действия

ф-л

(5.28) — (5.35),

устанавливаем, что

для

ситуации

Cz

расчет

вероятности

р($;

к)

должен производиться

по ф-ле

(5.30).

4. Определяем пределы интегрирования на

основании

следующих

сообра­

жении:

— для рассматриваемой ситуации в перечне оговорены предельные значения

параметра

к:

К2н=0<Ск<к1п=\\

к < . к я и „

—

на

основании

ф-лы (5.31) при

р(|5;

к ) = 0 , следовательно, в рас­

сматриваемом случае шнжннй предел интегрирования может

быть перенесен в точ­

ку, определяемую из

условия

1

1

3_

К " ~ K i " " :

~

1 — 2(5 ~

1 +

2-1/6 " 4

5.

Подставляя

данные,

определенные

в

пп. 1—4,

в ф-лу

(5.42),

получим

1

1

Г

2 к а2

1 7

I \

I

3/4

где функция /з((5; к)

вычислена

по ф-ле 5.30.

Определяя

аналогичным

образом

все вероятности

p(Ci),

р(Сч)

и подставляя

.найденные выражения

в ф-лу

(5.37),

получим

после 'приведения подобных членов общее выражение

для

рот

'в

виде:

р0Ш

=

A +

B + C +

D -

E -

F ,

(5.44)

где

А 4 11/2

2/с а2

рА

[(— 1/2); к] с1к;

(5.45)

(1 + к2а2)2

В 41

1

2/с а2

(5.46)

рв[3/2;

к}с1к;

(1 +

к2а2)2

1/2

4 1

2/с а2

рг [3/2, к)с1к;

(5.47)

(1 + /с2а2)2

8 J (1 + /с2а2)2

И п [\

2 /'

с1к;

(5.48)

1/4

Е

4

J (1 + /с2а2)2

(5.49)

(4)-

4

4(1 + /Ах2)2

d/c;

(5.50>

2/с а2

3/4

PA,

РВ, РС, PD, РЕ, PF

определены

по ф-лам (5.30), (5.28),

(5.34),

(5.30),

(5.33),

(5.30)

соответственно.

Интегралы

(5.45) — (5.50)

для

различных

значений

параметра

а2 были определены численно. Результаты

вычислений

приведены

в табл. 5.1. Итоговая

кривая, определяющая

вероятность

ошибок

при

цифровом

приеме

чаетотноманипулированных сигналов

при

рэлеевском распределении амплитуд сигнала и помехе

типа

бело­

го шума, построена

по данным табл. 5.1 (рис. 5.7, кривая

/).

1

(5.51)

Рош = 2(1 + сх2)

2 + / t 2