книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

в силу (3.22)

Тс может быть принято

равным

любому чи­

слу, д л я

которого

справедливоприближенное

равенство

«Й(а,

W

,

а) « О

(3.25)

при

всех

значениях а

и

всех

значениях

/, больших

Тс.

М о ж н о получить несколько грубых

верхних границ

для

величины

Тс,

удовлетворяющих

(3.25). Одной

осо­

Тс^Т,

'(3.26)

где Г — д л и т е л ь н о с т ь

передаваемого

сигнала.

Ее

(спра­

ведливость вытекает

из замечания,

что 0(7',

а) « О

или

принятого

процесса

в

рассматриваемые дв а момента.

Итак,

мы н а ш л и ,

что в первом приближении Тс

мень­

ше как Т, так и В-1.

П о к а ж е м , что Тс

может

быть

зна­

чительно

меньше Т

и

В~1. Д л я - э т о г о

рассмотрим

к а н а л

с

рассеянием только

во

времени с функцией

рассеяния

по

з а д е р ж к е

a(,-) =

^ - e x p - Ç

(3.27а)

и (t) = {)/2~/Т)]/2\хр-ъ

{t/T)2

V{TWf-

1].

(3.276)

П о д с т а в л я я

это

выражение в

(3.18) и

(3.22), полу­

чаем

' F { t

) =

vï^T*

e * P - - 7 J r W '

( 3 ' 2 8 а )

Х е х р

—T^Jj{t>{[Jr$)JrS{[

- ß )

] t

(3.286)

где

.

$=Y(TW)*—l.

(3.28в)

R(t, т ) » 0 при t—rp»TIWL.

(3.29)

счеты п р е о б р а з о в а н и я

Фурье его

комплексной

огибаю­

щей

независимы. В силу эквивалентности,

рассмотренной

в §

2.6, это преобразование

ведет

себя ЕО всех

отноше­

ниях так, как если б ы

оно" являлось

комплексной оги­

бающей принятого сигнала

при передаче

U(i)

(вместо

и{і))

по к а н а л у с функцией

рассеяния

a(f,

—г)

(вместо

а (г,

/ ) ) . Таким образом,

ширина

полосы

когерентности

Wc

не превосходит L - 1

и

W.

Иа этом закончим качественное описание принятого

сигнала с помощью величин В, L , Т и W. Хотя эти вели­

чины не заменяют приведенного в § 2.5 описания

системы

как

системы с разнесением, они часто бывают

полезны

при

оценке параметров

этого описания,

п р е д в а р я ю щ е й

более точный анализ . Обратимся теперь

к обсуждению

этих оценок.

существует лишь конечное число, с к а ж е м

D, этих

соб­

ственных

значений,

которые

достаточно велики,

чтобы

считаться

«существенными».

Кроме

того,

во многих

з а д а ч а х к а ж д о е из

D «существенных»

собственных

зна­

нена — Л о э в а

(2.46в) д л я

процесса

(комплексного) на

выходе к а н а л а

содержит, по существу, D членов,

причем

дисперсия к а ж д о г о из них

равна 1/D.

В таких

з а д а ч а х

Анализ случая D р а в н ы х собственных значений

ва­

жен

потому, что, к а к показано в гл. 5, он

тесно связан

с исследованием оптимальных систем связи. Н о

д а ж е

если

'собственные значения неодинаковы,

грубую

про­

можно получить, предполагая, что система ведет

себя

так, как будто существенные собственные значения

рав­

ственными значениями обычно оказывается трудоемкой .

С в я ж е м число

D «существенных»

собственных

значений

с величинами

В, L , Т и W. Д л я

этого найдем

сначала

верхнюю, а затем и нижнюю границы D. В заключение

выведем точное в ы р а ж е н и е дл я

D в случае, когда вес

бой. Все эти результаты

в

совокупности

д а ю т

полезные

оценки D, а т а к ж е

иллюстрируют

недостатки

таких

оце­

нок.

Верхние

границы

Аппроксимируем

комплексную

огибающую

принятого

сигнала в ы р а ж е н и е м вида

z(t)=^(nVi(t),

(3.30)

t=i

где ѴІ(І)—некоторое

множество

известных

функций;

о,—ігаусеовские

случайные

величины, NS

— функция

па­

раметров

системы.

Смысл

приближенного

представления

(3.30) в

том,

что оно позволяет представить комплексную

корреляци ­

онную функцию принятого сигнала как

R(t,

t) = • S

£

еца*5 Vi (t) V*t (<c).

(3.31)

;=i ,-=i

рожденными

ядрами . К а к

известно, они обладают не бо­

лее чем NS

положительными собственными

значениями

[19, 20]. Таким образом, в

той .мере, в какой

представле -

z (0 = у =

щи (t -

П) exp -

/ («у'* +

"J).

(3 -32a)

где

т)і = Лрг ехр—/Ѳ* .

(3.326)

Обозначим опять ширину полосы огибающей

и(і)

через

W и воспользуемся

тем

обстоятельством,

что

сигнал

с шириной полосы W в первом

приближении

не

меняет­

ся за время, равное

W~\

т. е.

u(t—ri)~u(t—k/W)

(3.33а)

при условии, что

\n—k/W\^l/2W.

(3.336)

Р а з д е л и м теперь

область суммирования

в

(3.32а) на

ряд интервалов

\k/W—ri\^l/2W,

k = 0, ± i l ,

± 2 , . . .

(3,34а)

В результате получим

приближенное

равенство

z { t )

~ VW S S v

u

( f

~ ~ ^ ~ ) e x p _

; { ю ° Г і + W i t ) '

k

A

(3.346)

где Au — множество

значений i,

для которых

удовлетво­

ряется (3.34а).

Введем обозначение

а* (0 = у==

Т\І exp -

/ (<•>„/•* +

(Off).

(3.35a)

Тогда получим

\

со

z ( 0 ~

S aK(t)u{t-klW).

(3.356)

A=—oo

Д л я

простоты опять

предположим,

что

функция рас­

сеяния

равна нулю

вне интерзала

(—L/2,

L/2) :

тц = 0

при

\n\>L/2.

С л ед о в а т е ль н о,

ß/f('i) = 0

при

I/гI > ( l +

lFL)/2,

и мы можем

представить

(3.356) к а к

2 ( 0 = 2 a f t

( / ) « ( / — W ) ,

(3.36)

где суммирование выполняется

по всем

тем /г, дл я

кото­

рых

2\k\<l+LW.

Равенство

(3.36) в ы р а ж а е т

принятый

процесс

в

виде

комбинации

примерно

l+'WL

известных

функций

вре­

мени. Функции

aiL(t)

і (комплексные),

на

которые

умно­

ж а ю т с я эти известные функции, статистически

незави­

симы, поскольку значения различных функций

определя­

ются

р а з л и ч н ы м и

рассеивателями .

Следовательно,

с точностью до

используемой

аппроксимации

детальный

характер принятого

к а н а л а определяется

совокупностью

]+WL

статистически

независимых

случайных

функций

времени.

Д л я

представления

(3.36)

в

виде

(3.30)

необходимо

лишь :к

к а ж д о й

из

функций

аи(і)

применить

теорему

(комплексную)

отсчетов

[21], а

именно:

ап (t) =

£

щк

[exp / 2 * О й

[t

-

] ^

І

^

)

'

<3-37)

где с,7і — значение ait(t)

в момент і/Ві,, а Ви

и Q/t —

соот­

ветственно

допплеровская

зона

и средний

допплеровский

сдвиг рассеивателей с пространственной з а д е р ж к о й

k/W.

П о д с т а в л я я (3.37) в і(3.36), получаем

z ( f ) = S S

• - • £ - ) [ e x p / 2 7 t ü * ( ' - ^ )

X

ft

i

\ /

sin ri (г — Bht)

.„ ооч

где à принимает нелочисленные значения,

удовлетворя ­

ющие условию

2\k\<\+LW.

В ы р а ж е н и е

(3.38)

имеет

тот ж е

вид,

что

и

(3.30),

с той только разницей, что в

(3.38) использован двойной

индекс вместо одинарного. Таким образом,

число

членов

в (3.38)

дает

значение

NS.

Чтобы получить

оценку

этого

обращается

в нуль. Это допущение

означает, что

при

к а ж д о м к в

сумму по і входит лишь

около І+ВиТ

чле­

меньшие ( \ + WL) /2, то общее

число ненулевых членов

в (3.38), а значит, и величина

Ns примерно р а в н ы '

Ns~2(l+B,J),

(3.39)

2\k\<\+LW.

Если функция рассеяния имеет вид, близкий

показан­

ному на рис. 3.9, то

(3.39) сводится к более привычному

в ы р а ж е н и ю . В этом

случае Ви равно В — допплеровской

зоне к а н а л а и

Ns~([+BT){l+LW).

(3.40а)

ния

имеет

вид, показанный

на

рис. 3.10,

(3.39)

обращает ­

ся в

следующую:

Ns~(\+ST/L)(l+LW).

(3.406)

Соотношение

(3.40а)

является

хорошей

оценкой

чис­

ла «степеней свободы»

канала

(комплексных)

;[22, 23].

Однако

следует

подчеркнуть,

что

\6(r,f)

если

функции,

фигурирующие в

(3.38),

линейно

зависимы,

то

оно

дает

з а в ы ш е н н ы е

значения

Ns-

Что­

бы

проиллюстрировать

этот

факт,

применим

комплексную

теорему

от­

счетов

непосредственно

к

принято­

му

сигналу.

fuc.

П р е д п о л о ж и м

снова,

что

функ-

о.а

прямо-

ц и я

рассеяния

имеет

вид,

показан -

угольиая

функция

ный на рис. 3.9. Тогда

ширина

поло-

рассеяния,

сы

принятого

сигнала

равна

при­

близительно

W+B,

а

его

длитель­

ность — приблизительно

Т.

Таким

образом,

дискретное

представление

процесса

состоит

приблизительно

из

(B + W) (L + T)

отсчетов,

отстоящих

друг

от друга

на

(B-r-W)-1-

на

интервале

L + T,

т. е. процесс

м о ж н о

выра ­

зить

в виде

(3.30)

с.

N,=

(B + W){L

+ T).

(3.41)

£ > < ( > ! + Л

(B + W),

если BL и Т\Ѵ>\,

(3.42)

(1 +ВТ)

(1 +LW)

в противном

случае.

Существует несколько других способов,

позволяющих

получить лучшие оценки

D — числа существенных

поло­

жительных собственных

значений. Н а п р и м е р , D іприбли-

Нижние

границы

Н а й д е м нижнюю границу числа статистически

неза­

висимых

отсчетов комплексной

огибающей

принятого

процесса.

Это в а ж н а я величина,

так как она

дает

ниж­

ний или ветвей разнесения. Действительно,

если процесс

содержит Ni статистически

независимых

отсчетов, то р я д

Карунена — Л о э в а для огибающей

состоит,

по

меньшей

мере, из Ni членов. Следовательно,

Л',- есть

н и ж н я я

гра­

ница D.

П р е ж д е

всего вспомним,

что согласно

выводам

§ 3.4

мощность

принятого

сигнала

имеет

заметную

величину

на временном интервале

примерно

в T + L .

Вспомним

далее, что

отсчеты

комплексной огибающей,

отстоящие

друг от друга примерно на Т

или на В~\

можно считать

значения

комплексной

огибающей в

моменты

времени

(L + T)jT

или (L + T)B,

'можно получить н а б о р

попарно

статически независимых

отсчетов.

Более

того, по­

скольку

процесс является

гауссовским, п о п а р н а я

незави­

симость

отсчетов означает, что они в совокупности

стати­

стически

независимы .

И т а к ,

D > l + L / r при

ВТ<\,

(3.43а)

D^(\+L/T)BT

при Й 7 > 1 .

(3.436)

Разумеется, время корреляции может оказаться зна­

чительно меньшим Т и В - 1 и, следовательно,

границы

(3.43)

могут

быть

чрезвычайно с л а б ы м и . Чтобы проил­

люстрировать

это,

рассмотрим

снова

пример

(3.27).

В

соответствии с (3.29)

отсчеты, отстоящие друг от дру­

га

на

T/WL,

будут

независимыми,

если

T^>'L.

Поэтому

D^{L

+ T) +>(TIWL)

« WL.

Если

ж е к а к

Т, т а к

и W,

намного

больше

L, но

эта гра­

ница, в ы т е к а ю щ а я

из (3.43).

Д р у г а я н и ж н я я

граница дл я D получается из рассмо ­

бающей

принятого процесса. Согласно §

3.4 она

имеет

полосу

частот шириной около W + B.

К р о м е

того,

значения этого преобразования Фурье на двух

разных

частотах

приближенно можно считать статистически не-

D^l+B/W

при WL<[,

(3.44а)

D^(\+B/W)WL

при WL^l.

(3.446)

В случае, когда функция рассеяния имеет вид, 'пока­

занный па рис. 3.9, и TW=l,

в е р х н я я и н и ж н я я границы

D различаются максимум в

2 раза . Однако, когда

про­

изведение TW становится большим, эти

границы

могут {

различаться, но меньшей мере, в TW раз дл я простой

функции рассеяния, 'показанной на рис. 3.9, а в более

общем случае .и еще больше. Поэтому ими следует

поль­

зоваться

с осторожностью.

Разумеется,

эти результаты

можно улучшить ценой дополнительного усложнения, но

остается

еще вопрос о равенстве «существенных» собст­

венных

значений. Поскольку

наш . первоначальный

план

з а к л ю ч а л с я в использовании

D к а к оценки общей

вели­

Положим, что к а ж д о е из D положительных

собствен­

ных значений

равно D~l.

Тогда

где

D=l/b,

(3.45)

о = Е я :

(3.46а)

i

или

согласно

(2.42)

6 = 5 j

\R(t, -z)\-dtdi.

.

(3.466)

Подставив теперь (2.266) в (3.466)

и изменив поря­

док

интегрирования, получим

Ъ = j j ' j M

(X, у) Ѳ (у, х)

I 2 dxdy,

(3.47)

где

Q% (x, у) — двухчастотная "корреляционная

функция

(2.22) к а н а л а ,

a Q(y, х)—двумерная

функция

корреля-