книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

ного рассеяния часто

называют

частотно-селективными

замираниями

[14—16].

Равенства

(3.9) и

(3.10) означают

также , что струк­

одинакова. Действительно,

из условия WL<^.l вытекает,

что

/-/(/) » S тц

при I / | < UP,

(3.11)

i

т. е. Y (f) отличается от S(f)

только комплексной

.'посто­

вод,

что

к а н а л с

рассеянием

только во

времени

ведет

себя

при

заданном u(t) как

нерассеивающий,

если

U ^ L - c l .

Характер 5(f ) и YQ)

при

WL>\

иллюстриру ­

ется

рис. 3.7.

Каналы

с рассеянием

только

по

частоте

К а н а л называют рассеивающим

только по частоте,

если его функция

рассеяния имеет вид

Ф,!)='Ь(гМП,

'(3 . 12)

пространственная

з а д е р ж к а

рассепвателей

равна

нулю.

К а н а л ы

с рассеянием

только по

частоте

во

многих

отношениях являются дуальными к к а н а л а м с

рассеяни­

ем только во времени [17]. В

частности, рассмотрим нор­

мированную

комплексную

огибающую

z(t)

выходного

•процесса, получающегося

при использовании

огибающей

u(t) входного

сигнала и

функции

рассеяния

ö(r)a(f).

В соответствии

с

результатами § 2.6

z(t)

есть преобра­

чается,

когда в качестве огибающей

сигнала

на входе

к а н а л а

с функцией рассеяния

6(f) о (г)*'

используется

обратное преобразование Фурье от и(()

Таким

образом,

если рассматриваются только

комплексные

огибающие,

сеянием только во

времени и с функцией рассеяния по

з а д е р ж к е ,

равной

а (г),

имеется

такое ж е

соответствие,

как м е ж д у

п р е о б р а з о в а н и я м и Фурье огибающих с

функ­

цией рассеяния по частоте a(f).

Следовательно,

боль­

шинство результатов, относящихся к к а н а л а м

с

рассея­

нием, только во времени,

можно

применять

к

к а н а л а м

лями

u(t) и

его преобразование

Фурье

U(/)

пли

анало ­

гично

7" и W,

а т а к ж е

заменить L

па

В.

Н а п р и м е р , если ширина полосы W

огибающей и(і)

много меньше допплеровской зоны В, то

ширина

полосы

принятого сигнала значительно больше W, т. е. в

к а н а л е

происходит

уширение

преобразования

Фурье передан­

ного

сигнала.

С другой стороны,

если

допплеровская

зона

В много меньше величины, обратной

длительности

Т~1 огибающей

и(і),

то

переданный

н принятый

сигналы

сдвигом

несущей,

т.

е.

если

ВТ

много

меньше

еди­

ницы, то

к а н а л с

рассеянием

только

по

частоте

ведет

себя как

нерассеивающнй .

Третья

ситуация

возникает,

когда

BW<^\,

a

ВТ^І.

Эти условия аналогичны тем, которые встречались

при

обсуждении к а н а л о в

с

рассеянием

только

во

времени.

выполняются только

тогда,

когда произведение TW^>\

д л я огибающей и(і).

В этом

случае не происходит или

Передаваемый

Принятый

сигнал

сигнал

- Г *

f*.

Рис. 3.8. Типичные сигналы для каналов с рассеянием

только

по частоте:

а — вт<\. б —вт>\.

ваны в табл . 3.4 и проиллюстрированы

на

рис. 3.8. Е щ е

раз подчеркнем, что они теряют

силу, если

о г и б а ю щ а я

u(t) не сконцентрирована

во времени и-по

частоте

или

функция рассеяния не сконцентрирована по частоте.

Альтернативное

описание

каналов

с

рассеянием

только по частоте вытекает из (3.10) и аналогии

м е ж д у

рассеянием

во времени и

по частоте. В

частности, комп-

Т а б л и ц а

3.4

Характеристики

сигналов для каналов с рассеянием

только

по частоте

Сигнал

ВТ

biw

искажен­

с расширен­

Примечание

ны іі

ной полосой

частот

Нет

Нет

Следует

из ВТ

<^1, так

как

TW

> 1

>1

Да

Нет

Означает,

что TW

^>1

>{

Да

Да

Следует из В ^> W,

так

как

TW 3== 1

лексную функцию, т. е.

у (t) =

tfWr

Re [g (t) и (t) ехр joy| ,

(3.13)

где g(t)—комплексный

гауссовский случайный

процесс

с нулевым средним, причем

ШШ

= 0,

(3.14а)

Ж

)

= й ( 0 , х - / ) ,

(3.146)

т. е. сигнал на выходе

канала получается из передава­

емого сигнала к а к бы путем его амплитудной и

фазовой

модуляций амплитудой

и фазой функции g(t)

соответ­

рых отрезках времени. Поэтому проявление

частотного

рассеяния иногда называют время-селективными

зами­

раниями

[11]. Используется

т а к ж е

в ы р а ж е н и е

гладкие

по

частоте

замирания,

так как все

существенные

часто­

ты

передаваемого

сигнала

модулируются

одной

и

той

ж е

функцией [11].

Двояко-рассеивающие

каналы

К а н а л ы

с рассеянием

как во времени, так и по

часто­

те будем называть двояко-рассеивающими.

Вообще

го­

воря,

в

таких к а н а л а х

наблюдаются как

время-селек­

тивные, так частотно-селективные

з а м и р а н и я ;

иначе

говоря, з а м и р а н и я

обычно

не являются гладкими

ни во

времени, ни по частоте.

Качественные характеристики двояко - рассеивающих

каналов

можно установить,

р а с с м а т р и в а я

их

как

супер­

позицию

к а н а л о в

с

рассеянием

только

по частоте.

Д л я

этого

сначала

ограничимся

рассмотрением

тех

рассеивателей, которые

о б л а д а ю т

заданной

пространст­

венной

з а д е р ж к о й

г,

и

установим

свойства

их

в к л а д а

в сигнал

на выходе к а н а л а .

З а т е м

определим

характер

взаимодействия сигналов с различными з а д е р ж к а м и

при

их объединении в общий выходной

сигнал.

Свойства этих

составляющих выходного

сигнала уж е

пространственной

задержкой, мы

имеем

дело

с каналом

с рассеянием только по частоте. Если

допплеровская

зона, с к а ж е м В (г), этих

рассеивателей

значительно пре­

вышает

ширину

полосы

W

огибающей

и (t),

то

соответ­

ствующие

им

компоненты

выходного

сигнала

заметно

расширены по полосе частот. С другой

стороны,

если

B(r)<^W,

но ß ( r ) 3 > 7 ' - 1 ,

то

расширение

полосы

частот

незначительно,

хотя искажения

велики.

Наконец,

если

В (г)

< С ^ _ 1 , то

нет ни

искажений,

ни

расширения .

Приведенные

соображения,

разумеется,

справедли­

вы при допущении, что рассеиватели с заданной

прост­

ранственной - задержкой достаточно равномерно

распре­

делены в частотном интервале шириной

В (г).

Д л я учета

взаимодействия вкладов

от

разных

групп

рассеивателей

с различными

пространственными

з а д е р ж к а м и

следует

т а к ж е рассмотреть абсолютные

значения

допплеровских

сдвигов.

Если

В(г)Т<^

\ при всех значениях г, то

оказывается,

что

рассеиватели

при любой

заданной

пространственной

з а д е р ж к е

г о б л а д а ю т

одним

и

тем

ж е

допплеровским

сдвигом, скажем

f(r).

И х вклад

в выходной

сигнал мож ­

но примерно выразить

как

Refo (г) и (i-r)exp

j[m (t-r)

-

2nf

(r) t]},

где

т | ( г ) — с у м м а

r\u з а д а в а е м ы х

равенством

(3.76), по

всем

рассеивателям с з а д е р ж к о й

г.

Тогда

общий

приня­

тый

сигнал равен

у (t) == Re ( S т, (,-) a (t -

r) exp j К (t -

r) -

Щ

(r)

t]},

(3.15)

где суммирование ведется по всем значениям

з а д е р ж к и ,

соответствующим

данному

расположению

рассеивателей.

Д а л е е

допустим, что и f(r)T<g.l.

Это

предположение

не всегда, но часто удовлетворяется, если

5 Г < с 1 . В э т о м

случае

к а ж д ы й

экспоненциальный

член

ехр/[—2nf{r)t]

в интервале времени, для которого u(t—г)Ф0,

по

суще­

ству, равен некоторой

постоянной

С (г)

и

выходной сиг­

нал

приближенно

равен

y(t)

= Re

S i] (r) С (r) и {t — r) exp7<D (t

,(3-16)

0

5—221

65

вопросы, относящиеся к увеличению

длительности

и

искажениям его,

можно ответить так же, как и

в

§

3.3.

По мере роста Т можно, в конце

концов,

достичь

точки, в которой либо величину Tf(r)

нельзя более счи­

тать

постоянной,

либо В(г)Т^\

при

некоторых

значе­

ниях

г. П о мере

дальнейшего

роста Т

появляются

иска­

стот принятого сигнала и в первом грубом

приближении

определяются

т а к ж е ,

как

п

д л я к а н а л о в

с

рассеянием

только по частоте, т. е. если

B/W<^1,

то

расширение

полосы частот

мало

тогда

к а к при В/\Ѵ^>1

.наблюдается

значительное

расширение полосы.

Определив

влияние

на

выходной

сигнал

частотного

рассеяния,

можно оценить

влияние временного

рассея­

ния. Поскольку этот анализ аналогичен анализу

кана ­

лов с рассеянием только во времени, мы не

будем

его

повторять

и

перейдем

к

выводам,

резюмированным

в табл . 3.5.

В а ж н о , однако,__отметнть,

что справедливость резуль­

татов табл .

3.5 еще

более

ограничена, чем

справедлн-

Т а б л и ц а

3.5

вость

табл . 3.3 и 3.4, соответствующих

к а н а л а м с рассея­

нием

только во времени или

только

по частоте. Д е л о

в том, что характер 'принятого

сигнала

зависит от 'формы

платой за простоту

описания.

Мы качественно

связали поведение принятого

сигна­

ла с величинами В,

L , Т и W. Теперь установим

некото­

F(t) = [yW-

(3.17)

Воспользовавшись определением

корреляционной ф у н к ­

ции Ry[;t,

%), в ы р а з и м эту мощность в виде

или

P(t)=Rv(t,t)

(3.18а)

P(t)=Erl\u[t—г)

\2a{r)dr.

(3.186)

Если

| « ( 0 | 2 — дельта - функция, то (3.186)

принимает

вид

P(t)=E,.o(t),

(3.19)

времени. В

более

общем случае

Р(і) пропорционально

а(і), если

\u(t) | 2

ведет себя к а к дельта - функция по от­

ношению к

a (it),

что имеет место,

когда длительность Т

5*

67

F{t)=Er\u{t)\K

(3.20)

Это в ы р а ж е н и е

остается

приближенно

верным,

если L

значительно

меньше

величины,

обратной ширине

полосы

| ц ( £ ) | 2 ;

оно является

точным, если

преобразование Фу­

рье o{t)

равно константе дл я всех

тех

значений

/, дл я

которых

преобразование

Фурье

\u(t)

| 2

отлично от

нуля.

Рассмотрим

случай,

когда L

много меньше Т, но боль­

ше величины,

обратной

ширине

полосы

\u(t)

| 2 . В

этом

случае (3.19)

и

(3.20)

не верны

и единственное, что мож­

но с к а з а т ь — это, что

функция

P(t)

положительна на

временном

интервале,

примерно

р а в н о м T + L .

Т а к а я

ситуация

возникает только если

TW^> 1 дл я модуля оги­

бающей

\u(i)

I передаваемого сигнала; она не имеет ме­

ста, если TW= 1 дл я передаваемого сигнала или если

большое значение произведения TW достигается

путем

использования

фазовой

или частотной

модуляции.

Д л я

сигналов, у .которых произведение полосы модуля

оги­

бающей

на ее длительность равно

единице,

полученные

если L/r^>l, средняя мощность приближенно

задается

(3.19), если

ж е L/r<cl,

она определяется (3.20).

Полезно

т а к ж е рассмотреть

распределение

средней

мощности в

частотной

области

или, иными

словами,

острим внимание только на комплексной

огибающей, а не

на всем сигнале.

И с к о м а я плотность легко получается

из (2.17):

ïzWM=(-7>|t/(/-7)|2d/;

( 3 - 2 1 )

где Z(f)

— п р е о б р а з о в а н и е

Фурье

z(i) и, к а к и

выше,

и\І)—преобразование

Фурье

u{t).

Это

в ы р а ж е н и е по

форме

подобно

в ы р а ж е н и ю

(3.186)

дл я

распределения

средней

мощности принятого

сигнала . З а исключением

несущественного

множителя,

они

различаются

только

подстановками а(—f) вместо

сг(г)

и

\U(f)\2

вместо

| и ( ^ ) | 2 .

Следовательно,-свойства \Z(f)\z

можно

вывести

из

известных свойств P(t).

Н а п р и м е р ,

плотность

средней

энергии

принятого сигнала

пропорциональна сг(—f), ког­

да

U(f)

представляет собой короткий

импульс, т. е. ког­

да

передается с м о д у л и р о в а н н а я

несущая .

Вообще,

| Z ( / ) | 2

отлична от нуля па частотном интервале

поряд­

ка

B+iW.

сигнала к а к во

временной,

та к и в частотной областях.

Точнее говоря,

нас интересует оценка

интервала

времени

7'с, за

пределами

которого

отсчеты

комплексной

огиба­

ющей

принятого

процесса

независимы, и аналогично —

независимы. Эти

интервалы называются соответственно

временем

корреляции

и полосой

частотной

корреляции

процесса.

Часто т а к ж е

пользуются терминами

время ко­

герентности

и ширина

полосы

когерентности.

•Рассматриваем

комплексную

огибающую

процесса,

новятся

независимыми .

Соотношения

между

отсчетами

процесса, разнесенными

на интервал

времени,

меньший

одного периода несущей, нас не интересуют.

Время

когерентности

Поскольку принятый

процесс

и его комплексная оги­

б а ю щ а я

являются гауссовскими

процессами с

нулевым

сильно требованию

их некоррелированности.

Поэтому

найдем значение разности t—т, при котором

комплекс­

ная корреляционная

функция R(t, т). обращается в нуль.

R(t, т ) = 0 ,

(3.22а)

где

R(t,

т) =

j

§1

(а, т — t) Ѳ (т -

/; а) ехр — /яа (/ - f

t) da,

(3.226)

( Л (а,

т: — 0 =

J J

er (/-,

/) ехр ;'2it [га + / ( x - / ) ] d r r f / ,

(3.22в)

Ѳ (х — t,

а) =

j " и

—

j ы * (л * "f" —у^-^ ехр

ßnaxdx.

(3.22г)

« ( 0 = 0 ,

(3.23а)

и ( т ) = 0 ,

(3.236)

fö(0, т

- 0 = 0.

(3.23в)

Первые д в а из

этих

условий

означают,

что средняя

мощ­

ность в одном

или

в обоих отсчетах

равна нулю.

Так

временной интервал Тс, за пределами которого два

от­

счета независимы,

определяется

из

соотношения

(3.23в),

а именно: Тс равно минимальному

интервалу

времени,

для которого

&(0,

х)

= 0

при

всех

| х | > Г с .

(3.24)

Если М(0,

х) — достаточно

гладкая

функция

х,

ее

полуширина

ненамного

отличается

от

Тс.

С другой

сто­

роны, эта полуширина

приблизительно

р а в н а

о -

1

— ве­

личине, обратной ширине

функции

рассеяния

по

часто­

те*' . Таким

образом, в первом приближении ТС^В~1,

где

В — допплеровская

зона

к а н а л а .

Значение

Тс

д л я

двояко - рассеивающих

к а н а л о в

зави­

сит от используемого сигнала.

Например, если ширина

полосы передаваемого сигнала

W<^L-\

то к а н а л

ведет

себя к а к

'рассеивающий только по частоте

(табл.

3.5), и

поэтому

время корреляции ТС^В~1.

В

общем

случае