книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

К р о ме

того, можно показать, что

многие каналы,

содер­

ж а щ и е

большое число точечных

рассеивателей и

такие,

чинами с дисперсиями Я,-, с

амплитудами

и ф а з а м и , рас ­

пределенными

соответственно

по

рэлеевскому

и

равно ­

мерному з а к о н а м ,

если

число

рассеивателей

стремится

BsmSb

разнесения.

Фаэѵоый

сдЗиг

• xflïÊr

Re[,Pl(t)exçj(ùj0t

*В,[

РзлееВское

_

затухание

х,

Ветбь

разнесения,

\f2TrRefy>(t)expj<^t]-\

Фаэобый

сд8иг

^

РзлееВское

_

затухание

Рис. 2.4. Представление

канала с замираниями и рассеянием в виде

системы с

разнесением.

к бесконечности,

и

при

этом

доля

общего

о т р а ж а ю щ е г о

поперечного

сечения, п р и х о д я щ а я с я

на один

рассеива -

тель, становится исчезающе

малой.

З а м е т и м ,

что

т а к а я

трактовка

принятого

сигнала

обусловлена знанием передаваемого сигнала.

Когда

ж е

рассматриваются

системы связи

(гл.

4),

то

требуется

представление, справедливое

д л я

всех

сигналов

из

не­

ваемому здесь

представлению.

Следует т а к ж е отметить,

что,

когда

речь идет

об ана­

лизе систем, нет существенной разницы м е ж д у

подлин­

ной системой

с разнесением

и каналом

с

замираниями

и рассеянием. Оба описываются совокупностью

переда­

ваемых сигналов (или собственных функций) и

совокуп­

ностью

соответствующих

средних

энергий

ветвей

(или

собственных значений) .

Однако

при

расчете

систем

связи

возникает

принципиальное

различие.

Конструктур системы с разнесением

может з а д а т ь

как

число

ветвей разнесения, так

и передаваемые сигналы,

в то

время как конструктур

к а н а л а

с замираниями

и

ных задач является выяснение зависимости ср*(0

и

ХІ

от используемого сигнала. З а д а ч а

эта чрезвычайно

тя­

ж е л а из-за трудностей определения собственных

значе­

ний заданной

комплексной

корреляционной

функции.

Поэтому полученные точные результаты будут

дополне­

ны упрощенными, но полезными описаниями,

использу­

ющими грубые

свойства

функции

рассеяния

канала

и

комплексной огибающей .

Эти

описания

рассматривают ­

ся в гл. 3. Там

ж е и в

дальнейшем мы

иногда

будем

использовать

понятие

эквивалентности,

описываемое

в § 2.6.

Хотя

обычно бывает

трудно

находить

собственные

значения

и собственные

функции

комплексной корреля ­

ционной

функции, существуют некоторые

преобразова ­

вывод

об эквивалентности (в некотором смысле) кана ­

лов

с

функциями рассеяния определенного вида.

Чтобы проиллюстрировать характер этой эквивалент­

ности,

рассмотрим два к а н а л а

с функциями

рассеяния

Oi(r,f)=g(r,f)

(2.52а)

Oz(r,f)=g(f,-r)

(2.526)

и с

комплексными огибающими

ut(t) и « г ( 0

входных

каналов

тесно связаны,

если ц 2

( 0

является

преобразо­

ванием

Фурье

Ui(t).

В

частности,

комплексная

огибаю ­

щ а я сигнала

на

выходе

второго

канала является

преоб­

разованием

Фурье

комплексной

огибающей

выходного

реляционные функции обеих систем обладают

одним и

тем

ж е множеством собственных значений, а

собствен­

ные

функции являются парой преобразований

Фурье.

целью,

используя (2.266),

получаем

#

i С

х ) =

J <$і

( а -

t — 0

0, (t —

«) ехр

- / н а

(/-fx)

rfa

и

(2.53а)

t ) = j " e % 2 ( a . t

— ^ О Л ^ — a )

ехр — /itx(£-f-x)c/a,

(2.536)

где

ШІ

(• •) и a%3 (.,.) — двухчастотные

корреляционные

функции, соответствующие Оі( . , . )

и

аг ( •, - ) > а

Ѳі (•>•)'

1 1

Ѳг(.,.)

— д в у м е р н ы е корреляционные

функции,

соответ­

ствующие

Ui(i)

и tiz(t)

[см.

(2.25)].

Из (2.22) и (2.25) видно, что

в рассматриваемой

нами

задаче д л я двумерной и двухчастотной

корреляционных

функций

имеют

место

следующие

соотношения:

Ѳ2 (р,

а ) = Ѳ і ( — a ,

ß),

(2.54a)

<&2 («.

Р) =

^ ( Р .

-<*)•

(2 -54б)

П о д с т а в л я я правые

части

этих равенств

в (2.536)

и беря

от обеих его частей двойное преобразование Фурье,

по­

лучаем

после некоторых

преобразований

f j X C . *)'expj2n(tx

— iy)dtd-z

= Rl(x,

у),

(2.55)

что

и требовалось показать.

Теперь

покажем,

что

Ri(t,

т)

и

Rz{t,

т) о б л а д а ю т

со­

в п а д а ю щ и м и множествами собственных

значений

и

име­

ют собственные функции, которые связаны друг

с

дру ­

гом

преобразованиями

Фурье. Действительно,

если

J

Я, (t,

•=) ? І W dz=Xffi

(f),

(2.56a)

то

прямым

преобразованием

интегралов

получим

где

j

R,

(t,

*) ?i Wrf-*=

Яі?< (f).

(2.566)

^

(/) =

j

<pz- (x) exp

— j2-d*di.

(2.56в)

Л е г к о

т а к ж е показать,

что

если

имеет

место

равенство

(2.566),

то

справедливо

и

(2.56а), причем ф г - ( 0 — о б р а т ­

ное

преобразование

Фурье срг(/). Следовательно,

Ri(t,x)

m RzU,

т)

имеют один

и тот ж е набор

собственных зна­

чений,

а

собственные

функции R2(t, т ) ,

как и утвержда ­

венных функций

Ri(t, т ) .

Чтобы показать, что комплексные огибающие выход­

ных сигналов обоих к а н а л о в связаны

преобразованиями

Фурье, воспользуемся

разложением

(2.46в).

В соответ­

ствии с результатами предыдущего абзаца

р а з л о ж е н и я

(2.46'в) для обеих комплексных огибающих

различаются

только тем, что

ортонормальные функции

одного

раз ­

л о ж е н и я представляют

собой преобразования

Фурье

ку эти

р а з л о ж е н и я

линейны, то преобразование Фурье

первого

р а з л о ж е н и я

дает второе, т. е. комплексный

слу­

чайный

процесс z(t),

соответствующий выходному

сиг­

полученному с помощью

преобразования

Фурье

комп­

лексного

процесса

z(t),

соответствующего

выходному

сигналу

первого канала .

Эти простые примеры можно резюмировать следую­

щим образом: собственные значения системы

инвариант­

ны к одновременному повороту

функции

рассеяния на

90° против часовой стрелки и двумерной

корреляцион­

ной функции на 90°

по

часовой

стрелке.

Комплексная

о г и б а ю щ а я сигнала

на

выходе канала

при

этом

враще ­

нии переходит в свое преобразование

Фурье.

Описанное выше свойство является примером частот­

но-временного д у а л и з м а , обсуждаемого еще

в

работах

[19, 39];

используем

его

в гл. 3.

Оно т а к ж е

иллюстриру­

ваемому сигналу и

функции

рассеяния канала .

Т а к а я

инвариантность или

эквивалентность в а ж н а

потому,

что

она расширяет класс каналов, к которым

применимы

излагаемые ниже конкретные результаты.

Д о к а з а т е л ь ­

ство этой эквивалентности

мы опускаем,

т а к

как

оно

выводы формулируются с л е д у ю щ и м

образом .

По определению

два

к а н а л а эквивалентны,

если для

• любого возможного

д л я

передачи

сигнала,

использую­

но передавать по другому к а н а л у так, чтобы

множества

собственных значений в обеих этих системах

были оди­

наковы. Н а п р и м е р , каналы, з а д а в а е м ы е

ѵсловиями

* (r, f) = g (or

- 4 - okr

+ ~

î)

(2.57)

эквивалентны независимо от значений с, k и а.

В част­

ности, если по іканалу с

функцией

рассеяния

ï(r,f)

= g{r,f)

(2.58а)

передается сигнал с комплексной огибающей вида

U{t) = V~ä \ j « (а) ехр / л

(2аа[5—cpa _2^—kf)

<Ща,

(2.586)

-{г.

î) = g(ar--^-f,

a/er +

i

^

f )

(2.59)

и сигналом с комплексной огибающей

u(t).

Кроме

того,

комплексный

случайный процесс z(t)

на

выходе

послед­

ней системы связан с комплексным процессом

z(t) на

выходе первой системы

в ы р а ж е н и е м

г (/) = Va j \ z(a)

exp i% (ka- +

2aß - f cß2 -

2аЩ dßda.

(2.60)

Эти

соотношения

представлены

на

рис. 2.5. Д л я приме­

ра

положим:

а — cos q>, k — t g

ф,

с =

sin ф cos

ф,

где

ф — произвольный

угол.

П о д с т а в л я я

эти

значения

в (2.57), получаем

°г ('г ) /) = g ' ( ' ' cos

ф — / з і п ф , г sin

ф+jf

COS ф) .

(2.61)

8.

Y. L. A l p e r t,

Radio Wave Propagation and Ionosphere. New

York: Consultants Bureau,

1963.

9.

R. A. S i l v e r m a n and

M . B a i s e r ,

«Statistics of

Electromag­

netic Radiation

Scattered

by a Turbulent Medium».

Pliys. Rev.

560—563, November, 1954.

10.

M. S c h w a r t z ,

W. R. B e n n e t t , and S.

S t e i n ,

Communni-

cation Systems

and Techniques, New

York:

McGraw-Hill, 1966,

13.

R. W. E. M с N i с о I,

«The

Fading

of

Radio

Waves

of

Medium

and High Frequencies*. Radio Section,

No. 891. 517—524,

October

1949.

14.

H. N. S h a v e r ,

B. C. T u p p e r, and

J. B. L о m a x,

«Evaluation

of a Gaussian HF Channel Model». IEEE Trans. Commun Techno­

logy, 79—88, February 1967.

15. J. W. E v a n s

and

T.

H a g f o r s ,

Eds.,

Radar

Astronomy.

P. E. Green. New York: McGraw-Hill, 1968, Chapter

1, pp.

1—77.

16. T. H a g I о r s,

«Some

Properties of

Radio

Waves Reflected

from

the

Moon and Their Relation to the Lunar Surface», J. Geophysics

Res, 66, 777—785, 1961.

17. T.'

K a i l a t h , «Measuromenls

on

Time-Variant Communication

Channels». IEEE Trans. Inform. Theory, 229—236,

September

1962.

18.

T.

K a i l a t h , «Time-Variant

Communication

Channels»,

IEEE

Trans. Inform. Theory, 233—237, Oktober 1963.

19.

P.

A. B e l l ö w ,

«Characlerization

of Randomly

Time-Variant

Linear Channels». IEEE Тгаш>. Commun Systems, 360—393, Decem­

ber

1963.

20.

W. M. S i e b e r t , «Studies

of

Moodward's

Uncertainty Function».

Quarterly Progress

Report,

Research

Laboratory of

Electronics,

M . I . T., 90—94, April

15, 1958.

21.

Ф. M . В у д в о р д. Теория

вероятностен

и

теория

информации

с

применениями в радиолокации. М., «Сов. радио», 1955.

22.

J.

С. H a n c o c k

and

P.

A. W i n t z ,

Signal Detection

Theory,

New York: McGraw-Hill,

1966, pp. 16—30.

25.

Р. К у р а н т ,

Д. Г и л ь б е р

т .

Методы «математической физи­

ки. Т. 1. М.—Л., Гоетехпздат,

.1951, гл. 3.

26.

Ф. Т р и к о м и .

Интегральные

уравнения. M., IIЛ, 1960.

28.

В. Б. Д а в e и п о p т, В. Л. P y т. Введение в теорию случайных

сигналов и шумов. М., ИЛ, 1960.

29.

Е. Т и т ч м а р ш. Теория функций. М., ИЛ, 1951.

31. J. С.

H a n c o c k and P.

A. W i n t z , Signal Detection Theory,

New

York: McGraw-Hill,

1966, pp. 191—198.

3

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И К А Н А Л А

В этой главе приводятся дополнительные

материалы

о

математической

модели каналов с з а м и р а н и я м и

и рас ­

сеянием. С этой целью, во-первых, будут описаны

функ­

ции рассеяния некоторых типичных к а н а л о в

и проведе­

на

классификация

каналов по характеру возникающих

в

них искажений .

З а т е м исследуется распределение сред­

нятого

сигнала. В заключение вводится грубая

мера

числа

ветвей разнесения, о б р а з у ю щ и х

систему с

з а м и р а ­

ниями

и рассеянием . Она является

связующим

звеном

между эвристическим

и п р и б л и ж е н н ы м описанием в

этой

главе

и точной, н о более с л о ж н о й трактовкой в преды ­

дущей .

Д л я

наших целей

функция рассеяния может

быть

нения существенных

свойств

к а н а л а .

Действительно,

та­

кое преобразование

просто

меняет

номинальную

за­

д е р ж к у и смещение

несущей

между

передаваемым

и

изменению м а с ш т а б а временной

и

частотной

ш к а л

н а

приеме.

Такие изменения

легко

учесть и мы

не будем

касаться

их здесь. Таким

образом,

предположим,

что

время з а д е р ж к и и смещение несущей равны нулю.

3.1.

ТИПИЧНЫЕ КАНАЛЫ

1

Нарис. 3.1—3.5

показаны функции

рассеяния

неко­

торых каналов . При этом на рис. 3.1 приведена

функция

рассеяния,

полученная д л я слоя F

ионосферы на

корот­

ких волнах

'[1]. Она

свидетельствует

о наличии

трех раз ­

личных лучей, или групп рассеивателей,

к а ж д а я

из

кото­

валу пространственных з а д е р ж е к примерно в

100

мкс

и

допплеровскому интервалу приблизительно

от

ОД

до

1,0 Гц.

4—221

49

Вторая функция

рассеяния

(рис.

3.2)

получена

из

а н а л и з а однородной

шероховатой в р а щ а ю щ е й с я

сферы

[2]. Три части рисунка

относятся .к различным скоростям

вращения сферы. Если этот анализ применить

к Л у н е

при несущей частоте 400 МГц, то оказывается,

что мак­

с и м а л ь н а я

ширина

функции

рассеяния

по

времени

р а в н а

примерно 10 мс, . а по частоте — примерно

20 Гц.

Д л я

сравнения на

рис. 3.3

представлены

значения

а (г,

f),

полученные

из

картографирования

Л у н ы

[3]. На

этом рисунке к а ж д ы й интервал (строка) примерно

соот­

ветствует

400

мкс пространственной

з а д е р ж к и ;

расстоя­

ние

возрастает

вниз

по ш к а л е

интервалов.

М а с ш т а б н ы е

коэффициенты,

приведен-

пые

на

рисунке,

пред­

ставляют

собой

норми­

рующие

постоянные,

слу­

ж а щ и е

дл я

приведения

данных

к

удобному

виду.

Г MC

Так,

например,

значение

а (г,

f)

в

интервале

3 в

176 803/5.299

раз

больше,

чем ее значение в интер­

вале

10.

Общее

сходство

Рис.

3.1.

Примерная

функция

между рис. 3.2 и рис. 3.3

очевидно.

рассеяния

слоя

F ионосферы.

Некоторые сечения дру­

гой

интересной

функции

орбитального

дипольного пояса

(проект

«West

F o r d » ) ,

созданного

в мае 1963 г. [4]. Рисунок, в основе

которого

л е ж а т измерения,

проведенные 20 мая 1963 г., ясно сви­

детельствует о наличии двух групп диполей

(двух

«ле­

пестков» функции

р а с с е я н и я ) , разделенных по

з а д е р ж к е

примерно

на 60 мкс и по допплеровскому

сдвигу

при­

мерно

на 500 Гц. Р а з м е р ы

каждого лепестка

приблизи­

тельно

равны

30

м к с X 2 5 0

Гц.

Результаты

последую­

щих измерений, проделанных после того,

как пояс был

полностью развернут, показаны на рис. 3.5.

Очевидно,

что в этот

период

(19 июня 1963 г.) диполи

были

рас­

пределены

более

равномерно .