книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

Д р у г а я , , более

компактная, форма

(2.236)

получает­

ся при

введении

двумерной

корреляционной

функции

сигнала

u(t)

[20]. Эта

функция,

обозначаемая

&(т, / ) ,

определя етс я

в ыр а ж ен и е м

Ѳ (т. f) =

и (t- -

^

и*

(t. +

exp j2nftdt

(2.25а)

пли равносильным

выражением

Ѳ (т,

f ) = j [/ ( О -

- L ) f/*

f Ü +

- L ) exp

- / 2 * £ Ы и ,

(2.256)

где снова U(f)

— п р е о б р а з о в а н и е

Фурье a(t)

*>.

Чтобы упростить (2.236), введем новые

переменные

интегрирования [/ = ß — а

и x = ( ß + a)/2]. Подставив

их

в (2.236), исключив те .и ß и перегруппировав

члены,

по­

лучим

Ry(t,x) =ErR4R(t,

x)exVjm(t-T)l

(2.26а)

где

R(t,

t)=f&{f,x-t)ü{*-t.

f ) e x p - / i u f ( /

+

T)rf/.

(2.266)

Итак, -модель -канала

построена

как на

основе

тео­

рии линейных

систем,

та к

и -на основе

понятия

точечно­

скольку более

общая

-модель

подробно

рассматривается

во многих работах

[19, 22;—24], ограничимся

установле­

нием соответствия

между

этими двумя

моделями.

Таік

как это соответствие

в последующем

не попользуется,

§

2.4 можно опустить

без у щ е р б а дл я целостности

изло ­

жения .

2.4.

МОДЕЛЬ С Л И Н И Е Й

З А Д Е Р Ж К И

в

В модели с

линией

задержки

принятый

сигнал

выражается

виде

' k

i/(0 =

Re I Ц - / П ( ( 0 " ( ' - М е х р / с о о ( / - Д ( )

|,

(2.27)

ее

*> Иногда вместо

0(т, /) используют

символ %(х, t)

(19]. Квадрат

модуля, |0(t, /) |2 , является

известной

в радиолокации функцией

неопределенности

(15, 20,

21].

где функции

nii(t)—комплексные.

Следовательно,

капал

можно

представить в

виде линии

задержки

с отводами,

как

показано иа

рис. 2.3.

(Как видно

из рис. 2.3,

на вход линии задержки

подается

сигнал

умножаются на соответствующий коэффициент передачи

отвода

nii(t). Результирующие сишалы суммируются

и выделяется

их дей­

ствительная часть, которая и является сигналом y(t)

на

выходе

канала.

Математическая модель, показанная па

рис. 2.3,

может быть

входной сигнал

Линия

задержки

Ry (t.

і) =

У (О У W •

(2.28)

Выражение для Rv{t,

т)

можно получить,

используя (2.28), но

это довольно трудоемкий

способ

[19]. Поэтому

для простоты, а так­

нарными случайными процессами. Последнее общее

предположение

состоит в том, что действительная и мнимая части

каждой

некоррелированы между собой и имеют одинаковые

корреляцион­

дения ШІ (г)т,- (/+т ) равно нулю для

всех С

и т.

Предыдущие допущения сводят

общую

модель, изображенную

на рис. 2.3, к модели, изображенной

на рис. 2.2. Чтобы показать

ставление

к а н а л а с

з а м и р а н и я м и

и рассеянием

в

виде

системы

с

разнесением.

Это представление

неоднократ­

но используется

в последующих

главах.

Результаты

данного

п а р а г р а ф а ,

по существу,

пред­

ставляют собой применение теории интегральных

урав­

нений

Фредгольма

и теоремы

разложения

Карунена —

Л о э в а .

Мы

используем

без доказательства

соответст­

вующие

результаты

этих

теорий; доказательства

м о ж н о

найти

в литературе

[25—28].

Разложение

Карунена—Лоэва

Теорема

Карунена — Л о э в а

утверждает,

что при

не­

у(і)

является

реализацией

действительного процесса

с нулевым

средним

значением

и корреляционной функ­

цией

Rv(t,x),

то

y(t)

можно представить в виде

y(t)=Ilym(t),

(2.34а)

где

Уі=ІУ(!)<9*іѴ)<ІІ.

(2.346)

Смысл «равенства» в (2.34а) обсуждается ниже.

Функции <Рг (0 — нормированные

собственные

функции

Ry(t,

t), т. е. к а ж д а я

?,(/) удовлетворяет

интегральному

уравнению

$Rv(t,

т ) % ( х ) й х = ^ ( 0 ,

(2.35)

где

ХІ — собственное

значение,

соответствующее

<?i(t).

Наоборот,

к а ж д о е

решение (2.35) можн о

выразить

в .виде линейной

комбинации

ср,(^).. В а ж н ы м

свойством

собственных

функций

является

то,

что

их

можн о

вы­

брать ортонормальными,

т. е.

• ~

~

(0,

если іФ\,

, п

о г .

•J

w

3 w

11, если

i =

i.

Коэффициенты

yi

в

разложении

(2.34) Карунена —

ные величины с нулевыми средними

и дисперсиями,

рав­

ными Кі, т. е.

Уі =

Ѵ,

УгУj =

0

Д Л Я

Іф\,

УІ=ІІ.

(2.37.)

Кроме

того,

если

y{t)

— гауссоівский

случайный процесс,

то

эти

коэффициенты — гауссовские

случайные

величи­

ны. В

этом

случае они

не

только некоррелированы, но

и статистически независимы друг от друга.

Р а з л о ж е н и е

(2.34)

обусловлено

требованием, чтобы

корреляционная

функция

Rv(i,x)

была

интегрируема

с квадрато м

« а

временном

интервале,

на

котором

вы­

полнено разложение .

Здесь

мы рассматриваем

только

бесконечный

интервал,

так

что

это

условие

имеет

вид

Л[Ry(t,

т ) ] 2 о г Мх< оо.

(2.38)

Хотя

(2.38),

вообще

говоря,

удовлетворяется

не

дл я

всех корреляционных

функций,

для

тех из

шіх,

которые

могут встретиться в нашей модели

к а н а л а

с

замирани ­

ями и рассеянием, оно выполняется. Действительно,

лег­

ко

показать,

что дл я

корреляционной

функции

вида,

приведенного на рис. 2.2, интеграл

(2.38)

не

превосхо­

дит

Ег-.

3"

" " . 35

Ч т о бы уточнить утверждение 'предыдущего

абзаца,

'нужно

было бы

выяснить,

в каком смысле

п р а в а я часть

(2.34а) представляет .или

сходится

к

ее

левой

части.

Мы не

будем углубляться

здесь в

этот

вопрос.

Доста ­

точно

сказать,

что ряд

сходится,

по

.крайней

мере,

в «среднем квадратичном», т. е.

N

Если привлечь

допущение

о конечности

суммы (2.8), то

реализации с конечной

энергией,

так как в этом

случае

в (2.34а)

имеется

л и ш ь

конечное

число членов.

Комплексное

представление

Р а з л о ж е н и е (2.34)

описывает,

сигнал на выходе ка­

н а л а как

сумму

статистически

'независимых

«состав­

ляющих» .

О д н а к о

для

наших

целей более удобно заме ­

что то ж е

самое,

к в а д р а т у р н ы е

компоненты

принятого

сигнала м о ж н о 'восстановить по

у{й). Математически

это предположение сводится к следующему:

Установим

сначала требуемое представление, предпо­

л а г а я , что

равенство (2.39) выполняется, а затем выяс ­

ним его с м ы с л .

(2.16а)], что Rv(t, х)

П р е ж д е

івсего

вспомним

£см.

можно выразить в

виде

Ry(t>

х) =ErRe[R(t,

t)exp/cüo(/ — т ) ]

(2.40а)

или, что то ж е

самое,

Ry{t,

ъ) = Цг№,

т)ехр/Ч(*-'0]

+

(2.406)

где

комплексная

корреляционная

функция

R(t, т)

зада ­

ется

в ы р а ж е н и е м

R

(t, х) =

j

а (г,

/) и (t — г) и* (х — г) ехр /ш (х — *)

drdf.

(2.40в)

Теперь

заметим,

что

т) — э р м и т о в о

ядро,

т. е.

,

R(t,

т) =R*(x,

t).

(2.41)

Поэтому ее можно

представить в виде

R(t,

x

) = I

lffi(t)9*i(v),

(2.42)

где Я, и ф'г(0 — собственные

значения и нормированные

собственные

функции

R(t,

т)

соответственно.

Строго

говоря, п р а в а я часть

(2.42)

сходится к R(t,

%)

в

сред­

сходимости почти

всюду,

если

привлечь допущение о ко­

нечности суммы (2.8).

П о д с т а в л я я

л р а в у ю часть

(2.42)

ів

(2.406),

получаем

Ry (I,

х) = Ег £

^

«J* (і) Г

г Ь) Л-

ГІ

(О Ь СО ] . I 2 - 4 3 * )

і = 1

где

обозначено

^i(t)—

(pi(t)exp jaot

(2.436)

и использована

вещественность X,-.

Функции т|),-(^)

и-ty*'i(t), рассматриваемые

раздельно,

ортонормальны tpi(t),

т. е.

\Ы*)Г*С)М=[ъ«)9*зМШ=10'

е С

Л И

І ф

1

(2.44)

J

J

и . если

i =

] •

Следовательно, функции я|н(0 и

о б р а з у ю т орто-

нормальное множество, если

^(t)^(t)dt=0

(2.45)

д л я

всех

і и /. Кроме

того, нетрудно

проверить,

что этот

интеграл

о б р а щ а е т с я

в нуль для всех і

и j ,

если выпол­

няется предположение

(2.39).

Ортогональность

комбинированной системы

функций

\\)i(t)

и

І|>І*(0 в сочетании с (2.35)

и

(2.43а)

означает,

что все rpi(l)

и

\\H*(t)

являются

собственными

функ­

циями

Ry{4, т) .

Точнее,

если %іг

Х2,

•••—собственные

значеіния R()t,

t ) , a фі ( 0 . фг('0.

••• — соответствующие

собственные функции, то:

а)

собственными

значениями

Rv((, т)

будут

Ег7ы/2,

і = 1,2, ... ;

(fn(t)exp

jmt

и <pi*(t)txp

— jaot

б)

две функции

будут

собственными

функциями,

соответствующими

£Ді/2',

Эти свойства дают возможность представить разло ­

жение

Карунена — Л о э в а

(2.34)

в следующем виде:

у (t) = | /

[г (t) ехр К* + z * (/) ехр -

jw0t)

(2.46a)

или

y (t) =

V2ET

RQ [Z (l) exp / « y ] .

(2.466

где

г (0 = 2 2 ^ ( 0

( 2 - 4 6 в )

Р а в е н с т в а

(2.46)

д а ю т искомое

представление;

они

у с т а н а в л и в а ю т

т а к ж е

смысл

в ы р а ж е н и я

(2.39), та к как

из

(2.46), я в л я ю щ и х с я

следствием

(2.39),

ясно

видно,

что

комплексная о г и б а ю щ а я

z(t)

может

быть

построена

по

y{t).

Или, говоря

иначе,

(2.39)

означает,

что

квад­

р а т у р н ы е составляющие

у(і)

м о ж н о

восстановить

из

Соотношения

(2.39)

и (2.45)

приближенно

удовлет­

воряются, если

несущая

частота

соо намного

больше ши ­

рины полосы

принятого

сигнала . Действительно, усло­

вие

(2.45) м о ж н о представить в виде

.

| ф г - ( / ) < Р ^ ) е х р / 2 ш 0 Ш =

0,

(2.47)

а оно выполняется в пределе при возрастании

соо для

любых

достаточно хороших

функций

ЦІ-І(І)

и

срД/)(29].

Следовательно,

можно

считать,

что (2.39)

и

(2.45)

вы-

достаточно велико. С другой стороны, условие

(2.45)

будет выполняться строго,

если

реализация

принятого

процесса имеет полосу частот, ограниченную

интерва­

лом (—2ü)o, +2шо) . В этом случае

фі('0

будут иметь-поло­

су от —©о до «о, их произведения ф£

(?)ф-э-(/)

— п о л о с у

от —2cöo До 2со0 и интеграл

(2.47), являющийся

преобра­

зованием Фурье ф і ( 0 ф і ( 0 . в точке 2ио обратится

в нуль.

Комплексные коэффициенты zi в (2.46) обладают не ­

которыми

свойствами, являющимися

непосредственным

следствием

р а з л о ж е н и я

Карупепа — Л о э в а

(2.34) и

Во-первых, действительная и м н и м а я части

коэффи­

циентов

г* всегда представляют

собой

некоррелирован­

ные случайные величины с нулевым средним.

Действи ­

тельные

части

некоррелированы

с

мнимыми ча­

стями, и действительная

и

мнимая части имеют одну и

ту ж е дисперсию

ХІ/2. И н а ч е

говоря,

5 * = 0 .

ZjZj =

0

для

всех

і

и /,

(2.48)

zt-z*j =

0

для

іф\,

ZiZ *i —

I Zf j " — Я^,

где Xi, как и прежде, і-е собственное значение

комплек­

сной корреляционной

функции .

Во-вторых,

£ я * = 1 .

(2-49)

Это утверждение

следует

из

(2.40)

и

(2.42):

X h

=

S [h

) % (0 f*i (0 dt] =

j R (t,

t)dt=l.

(2.50)

i

,

i

р а в н ым

h;, а фаза

каждой

2,-

не

зависит

от

амплитуды

и распределена

равномерно

в

интервале

(—л,

+ я ) ,

т. е.

; = Xtexp/'64 -,

(2.51а)

где

совместная

плотность

вероятности

случайных

вели

чин

ХІ

и

0/ равна

Р{Хі.

Ѳг)

=

при

| ( Г | < *

и

л *

3*0,

(2.516)

в

противном

случае.

Итак,

принятый

сигнал

в ы р а ж а е т с я

через z(t) —

сумму

известных

ортогональных

временных

функций

Ц>І(І)

с

весовыми

коэффициентами

z,-,

я в л я ю щ и м и с я

представление

позволяет

и з о б р а ж а т ь

любой

канал с за­

мираниями

и

рассеянием

в виде

классической

системы

с разнесением, т. е. в виде

системы,

в

которой

передава­

емый

сигнал

состоит

из нескольких

составных

частей,

к а ж д у ю

из

которых

м о ж н о

детектировать

независимо

от других [30—38].

Такая

интерпретация

иллюстрируется

рис.

2.4. На

нем

изображена

система,

в

которой

все

ортогональные

сигналы

)/2£ѴRe [<?,• (t)

expш0 г],

/ = 1 ,

2

передаются

одновременно.

Каждый из этих

сигналов

претерпевает

затем

в

канале

случайный

фазовый

сдвиг

Ѳг- с равномер­

ным

распределением

и случайное

затухание

(усиление),

лением

и со

средним

квадратом, равным X,-. Поэтому

иногда

%І называют долей общей

средней принятой энер­

гии, доставляемой і-й ветвью разнесения, или,

для крат­

кости,

парциальным

энергетическим,

весом

ветви.

Представление

рис.

2.4 легко

обобщить

на

каналы,

д л я которых выходной

сигнал

не

является

гауссовскнм

процессом. Н а самом деле, допущение

о гауссовости при­

влекается только

д л я

того, чтобы иметь основание счи­

тать Zi

статистически

независимыми

друг

от

друга,

а амплитуду

и фазу

z*— распределенными

соответст­

венно

по рэлеевскому

закону

и

равномерно.

Хотя

эти

утверждения имеют р е ш а ю щ е е значение при

определе­

нии вида оптимального детектора, іпри определении

ха­

рактеристик

этого

детектора

они

часто

не столь

в а ж н ы .