книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

Но согласно (ГІ4.28)

(лемма

2)

0„(О, 0) = І !

для

данного

ансамбля.

Следовательно,

Еи = \.

Рассмотрим теперь среднее значение Ъи величины Ьи.

Подста­

новка в

(Ш.4) k=2

дает

известный результат:

е ц =

ЭДЛМ)

I2

I ѲЦ (Р, «) I sd*d$.

(П4.49)

Усредняя

по ансамблю, меняя

порядок интегрирования

и

усреднения

и воспользовавшись

формулой

(П4.29)

(лемма 2)

для

| 8Ц (ос, p) | г ,

получаем

5-

= J j ! fft (P, а) I =ф (aW) Ф (РГ) Ф

darf?

+

(П4.50а)

где, как и

прежде,

Ф(.ѵ-)=ехр—я*2 ,

(П4.506)

с=(\/Т\Ѵу-.

(П4.50в)

Значение модуля подынтегрального выражения во втором инте­

грале в этом -равенстве ограничено сверху

функцией

|<£t(ß,

a ) | 2 ,

которую

мы считаем

интегрируемой. Кроме

того, ковда

7" и W стре­

мятся

к

бесконечности и, следовательно, с стремится к нулю, это зна­

чение

сходится

к | Ä ( ß , a)

I 2

. Таким образом,

по соображениям об

ограниченной

оходимости

[3] соответствующий

интеграл

сходится

к интегралу

Si

Ш. (P, а) I 2

dad?,

который равен

величине,

обратной

5 — п л о щ а д и

рассеяния

в канале.

Следовательно,

Hm ТШи

= S-1

+ lim TW X

Г-5-00

Т-*оа

№->оо

№-»оо

X

J j "

I SI (P, a} I 2

ф (aW) ф (РГ) Ф ^у-)

rfadp.

(П4.5Г)

Остается показать, что предел интеграла в правой части

этого вы­

ражения

равен

единице.

С этой

целью

заменим

оначала

aW на а',

a f>T на

ß'. Тогда получим.следующее

выражение для

этого

пре­

дела:

г!І» ЯIл

("^"'

2ф {а']ф m ф

(^)r f a 'rfp''

W-*co

а\==

J ..—.

?, — ?») [ е х р / Я

(а2 р, — а , р 2

) ] Х

(аи

p,) SI (а2

,.р

2 ) SI (—

— а 2 ,

X Ѳ (ос,, Р,) Ѳ (а2 , р2) Ѳ ( — а, _ а2 , -

P, - Р2) da.da^dh-

(П4.Б2)

Воспользуемся

леммой

2,

которая

позволяет

представить

сред­

нее значение в

(П4.52) как

б

i=l

где At определены

в

лемме

2. Следовательно,

с7„ можно

выразить

в виде

б

du=(l/TWyyi

Bt,

(П4.53)

1=1

где

=r (TW)* J ... ^<a(a,, p,)^ . (a 2 , Р2 )<Я,(

Bt

— а, —

аг,

— Pi — Рг) [ехр /л (а2 р, — а,р2 )]

/ l t

rfa,da2dp,rfp2.

(П4.54)

Вычислим

теперь

пределы

Hmj3 t , ( =

1,

6.

Г-ѵоо

1Ѵ'->оо

Согласно

(П4.54)

и лемме 2

первый

из них может быть

представ­

лен в следующей

форме

(переменные

интегрирования ai, a2 ,

ßi, ß:>

заменены

соответственно

на aJW,

a2 /W, ßi/Г и

ßz/T):

l i m ß ,

== j" ... j

Sl (jp,

-^SL

T~)x

X Ä

-

"l + « 2

P. +

h

ехр /я

TW

X

W

X

[exp -

T, (a,* +

a2

2 + a,a2

+

p,= +

p2= + p,p2)] X

X

ехр — ТтЩГ (<*i2 + «г2

+

«іа г)

rfa,rfa2dp,rfp2.

(П4.55)

H m ß , =

Ç ...

f е х р - Ц а , = + а2= + <х1а2 + р Г - - И г г

+

7"-->оо

J

*

\Г-»оо

+ ß,ß2) tfa,(/oc,rfp,dp,,

ИЛИ

*

H m ß , = * , ' 3 .

(П4.5С)

Г-+00

Л

(0, 0)

i А (а„ f\ ) Г exp — «/«я [(«,)* + (Pi)2 ]

и которое также ограничено сверху интегрируемой

функцией при

всех значениях Т н №. Следовательно,

Hm ß 2 =

| |

I Si (ce, P) I2 d*d$ 1 exp — З я ^4")

rfa

'

l i m ß ^ V j S - 1

, і' = 2 , 3 , 4 .

(П4.57)

Г-ѵоо

IP -+00

Для вычисления предельного

значения Вв объединим-

(П4.54)

Ѵз !<&(«,, Р.) Зі

(а2 , р2) (Й. ( — а,— а2 , — ßt

— р2) |

и мажорируется той же функцией.

Легко показать, что эта функция интегрируема,

если

интегриру­

ема

функция I Si

(с, ß) I . Поскольку

в некоторых интересных

слу­

чаях

I Si (a, P) I

не интегрируема,

предпочтительнее

потребовать,

чтобы интегрируемой была только функция

| <Я-(а, ß)

| 2 ,

т. е.

чтобы

S=£0. Это предположение

гарантирует, что

мажорирующая

функ­

ция

принадлежит

L 2 и можно

воспользоваться усиленной

теоремой

об ограниченной

сходимости. В

результате

«получим

[8]

r

l i m ß e = ~

! . . . | < Ä ( c c , ,

Р , ) ^ ( « г . Рг)

(— «j — «2. — Рі —

W -+00

— ß2)

da.ldaid^id^i.

^ііга ß 6

=

- J " j j [a (r,

drdf.

(П4.58)

Наконец,

почти

идентичный

вывод

предела для # 5

дает

r l i m ß 5

=

-

| -

j ••• j ^ ( « ь Р О ^ К . Р г ) ^

(—«i — «2.—Pi —

W-WO

— ßj) exp /2л (aa ß, — a,ß2 )

do^dajdßjrfß.,,

или, что то нее самое,

| i l i m ß

6 =

-|-J

••• j"0

(''і. /.)0

(r2> W ° (/"s. ft) exp — /2 л [/, ( г 2 —

r-

Г-»оо

DO

0 : + h (rt

r2)\

drJridrJUdhdU-

-

-

г,) +

(/", -

(П4.59)

Для

завершения

доказательства

заметим,

что

согласно.

(П4.53)

б

б

И т ( Л Р ) г < г и

= Н т

Ц Bt=

£

H m f i t .

(П4.60)

Г-*оо

Г - ю о .

,

.

, Г-*оо

4

'

W

-+00

№'-»001=1

1 = 1

№->оо

Утверждения леммы следуют непосредственно из (П4.56)—(П4.60).

Теперь можно установить результаты, использованные

в

гл. 6.

Они непосредственно вытекают из леммы 3.

Теорема

1. Пусть u(t)

является реализацией

комплексного

гаус-

совского случайного процесса с нулевым средним, статистически-не­

зависимыми

действительной

и мнимой

частями и обладающего кор­

реляционной

функцией

Q(r,

*

Ѵ~2~

U 1 Y

( х

V

w ~

+^ГѴ-Ѵ-

) = — е х р - я

[[-J-J

+{—)

Пусть

Вп,

5U

и du

определены, как в гл. 6 и лемме 3. Тогда

EJJr=U

(П4.61а)

lim

TWbu

= 1 - f - S - i,

(П4.616)

Г-юэ

W-»co

r » m

(ЛР)'» du

=

4_{1.+/ ( + 3 S - « . +

f

j "

[a (r, f ) ] 1

tfrtff j

,

. (П4.6ІВ)

№-»00

где S — площадь рассеяния

в канале,

и

Л =

і

j 0

( г " ^ 0 ( Г г '

0 (г з- /з) ехр —/2n[f,

(гг — г,) +

+

Ы (г» -

r , ) : + f, (r, -

r,)] dr.dr^df.df.dh.

(П4.6ІГ)