книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

г де ii

— начальное

время

задержки;

ц —скорость

изме­

нения

з а д е р ж к и ;

это константы, не

зависящие от

вре­

мени.

Если передатчик и

приемник,

расположены

в од­

рости

рассеивателя .

М о ж н о воспользоваться

более

об­

щими

в ы р а ж е н и я м и

для

з а п а з д ы в а н и я , однако, ослож ­

нив анализ, это н е

даст

ничего существенного

д л я

при­

Подобные ж е

рассуждения

применимы

к допущению

о постоянстве

эффективного

поперечного

сечения

рас­

сеивателя . М о ж н о

допустить, что

оно является функцией

времени,

и тем

с а м ы м

учитывать

такие

эффекты,

как

время

облучения

антеннами

данного

рассеивателя.

О д н а к о

оказывается,

что усложнение, вносимое таким

римента. Используемая

здесь модель,

как

оказывается,

дает

хорошее

согласие

со

многими

представляющими

интерес з а д а ч а м и .

Детерминистическая

модель

• Рассмотрим

сначала

в к л а д какого-либо

одиночного

рассеивателя

в принятый

сигнал.

Будем

считать,

что

в к л а д от

г-го

рассеивателя,

уі{і),

есть

з а д е р ж а н н а я и

ослабленная копия переданного сигнала, т. е.

УІ (0 =

Арі

Re [и (t — -л — lit) exp

/ш0 [t — %i — ці)],

(2.3)

где

A — несущественная

постоянная,

которая

впослед­

ствии опускается.

Ограничимся ситуацией, в которой можно на интере­

сующем н а с временном

интервале

пренебречь

измене­

нием

Xit в

аргументе и,

т. е. полагать

эти

изменения

полосы огибающей

u{t). И з

этого допущения

следует,

что

и (t -\f

- т # ) ! «

и (* - -ч - 4Q

(2.4)

для любого

значения

to

на рассматриваемом

интервале.

В

частности, можно

без

потери

общности предпо­

ложить,

что

начало

отсчета

времени

т а к ж е

находится

на этом интервале;

отсюда

и (t

—

it — ъ1) ^

и (t — т.,-).

(2.5)

Иначе

говоря,

полагаем,

что временные

изменения

з а д е р ж к и

распространения, связанные с і-м. рассеивате-

лем,

не

приводят

к

сколько-нибудь

заметной

паразит­

принятого

сигнала. Это допущение часто

удовлетворяет­

ся

на

практике [6].

Д а л е е

предположим,

что

ширина

полосы

огибающей

u(t)

много

меньше

несущей

частоты

соо. Это — общепри­

нятое д л я систем связи условие «узкополосности».

Оно

означает, что

изменения

п

приблизительно на

я/соо

мало

изменяют

u(t—-г,-),

хотя

yi(t)

может

при

этом

изменить­

ся

весьма

существенно,

поскольку

в

этом

случае

шо(/—т;—г it)

изменяется на

я р а д и а н .

Так как точные

значения

т,- редко

бывают

известны

и т а к

как

д а ж е их

малые

отклонения

в а ж н ы ,

целесооб­

разно

представить

к а ж д о е

т,- в виде

Tf = r ( +

9f/o)o.

(2.6)

В

этом

выражении

означает известную

«ли

большую

часть

т;, а

отклонения

от

этого

значения

учитываются

величиной

Ѳ;,

которая

считается

переменной

и

прини­

мающей значения в интервале (—я,

+ я ) .

Используя

(2.5)

n

(2.6),

а т а к ж е

предшествующие

замечания,

можно (2.3) представить в виде

yi{t)=ARz{piU{t—ri)expj[(a>o—toi)i—aori—Qi]},

(2.7а)

где

щ =

ъш0.

(2.76)

В этом в ы р а ж е н и и со;—допплеровский сдвиг

рассеива-

теля, измеренный

в р а д и а н а х

в секунду,

a

Гі,

к а к

и п р е ж ­

д е , — его

средняя

временная

или

пространственная

за­

д е р ж к а ,

в ы р а ж е н н а я в секундах.

Равенство (2.7) характеризует вклад, вносимый і-ы

рассеивателем в принятый сигнал . Если, -как мы

-и пред­

полагаем, вторичное

рассеяние несущественно,

то выра-

у (/) =

A Re j S

p-iu {t—

n) exp

/ [(ш0

-

щ) t — ш0гг- — Ѳг-] j .

(2.8)

Мы

получили

в ы р а ж е н и е - д л я

принятого

сигнала,

но

оно может включать в себя очень

большое

число

пара­

метров,

которые

либо

неизвестны,

либо

случайны

по

своей

природе. Целесообразно

поэтому обратиться к ста­

тистическому описанию

процесса,

з а д а в а е м о г о

в ы р а ж е ­

нием

(2.8).

Статистическая

модель

П р е ж д е

всего,

отметим, что неопределенность,

свя­

з а н н а я

с к а ж д ы м

б*,

соответствует

отклонению

з а д е р ж ­

ки примерно на

половину длины

волны. Поскольку об­

щ а я з а д е р ж к а

обычно

составляет

многие

тысячи

длин

волн,

то относительное

отклонение

будет весьма

малым,

и есть

все

основания

считать,

рассматривая ѲІ

как

слу­

чайную

величину,

что

она д о л ж н а

быть равномерно

рас­

все Ѳ;

равномерно

распределены

на

интервале

(—я,

+ я ) . Аналогичные

с о о б р а ж е н и я

относительно разности

между

з а д е р ж к а м и

для различных

рассеивателей

по­

друга и

от значений случайных

фазовых

углов ѲІ. Бу­

дем, считать,

что к а ж д а я

из них

описывается

плотностью

вероятности Рі(рі).

При т а к о м

описании рі(рі)

д л я неслу­

чайных

поперечных

сечений

является дельта-функцией.

Сделанные

допущения

означают,

что

среднее значе­

ние у (t) величины у (t) равно

нулю, а

ее

корреляционная

функция

Ry(t,

*) =

y(t)y(*)

(2.9а)

з а д а е т ся в ы р а ж е н и е м

П)и*(х —

- п) ехр / (ш0

— wi)(t

(2.96)

где звездочкой

отмечаются

комплексно

сопряженные

величины, а черта сверху - указывает

на

усреднение по

ансамблю .

Среднее значение и корреляционна я

функция сигна­

ла y(t) не д а ю т

в общем случае полного

статистического

корреляционной функцией.

Из

них

прежде всего следует отметить эксперимен­

тальное подтверждение того факта, что принятый

про­

цесс

м о ж е т

быть гауссовским. В частности, его огибаю­

щ а я

и

ф а з а

часто о б л а д а ю т свойствами, типичными

д л я

гауссовского случайного процесса [7—14]. Имеются

так­

ж е основания полагать, что поперечные сечения

рассеи-

вателей

рі 2

ведут себя как случайные величины с

^ - р а с ­

пущение

в

сочетании с нашими предыдущими предпо­

ложениями,

касающимися рі и Ѳ,-,

д а ю т

основание

счи­

тать

принятый

сигнал

гауссовским

случайным процес­

сом.

С

другой стороны, если

число

рассеивателей

очень

велико,

а

поперечное

сечение

к а ж д о г о расееивателя

очень

м а л о

(независимо от

того,

будет

оно случайной

величиной илн

н е т ) , н а ш е

допущение

относительно Ѳ<

гарантирует

гауссовское

распределение

(принятого

про­

Мотивы,

изложенные

выше,

н а р я д у с трудностями

других способов описания

с л у ж а т

достаточным

осно­

ванием для допущения о гауссовском х а р а к т е р е

приня­

того процесса. Впредь мы таким его

и будем считать.

Теперь математическое

описание

принятого

процес­

са у (4), по существу, закончено. Это случайный

гауссов-

ский процесс

с нулевым

средним,

характеризуемый кор­

реляционной

функцией,

з а д а в а е м о й

в ы р а ж е н и е м

(2.9).

О д н а ко в таком виде интерпретировать

эту корреляци­

онную функцию -и пользоваться ею

неудобно;

поэтому

предпочтительнее представить ее в

виде

интеграла, со­

д е р ж а щ е г о плотность распределения

среднего

попереч­

более реалистическое

описание

к а н а л о в с

з а м и р а н и я м и

и рассеянием.

.2.2.

ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ

Очевидно,

п р а в а я

часть

(2.96)

зависит

только

от

общего среднего поперечного сечения, связанного

с к а ж ­

дой парой значений г, и ш*; число участвующих

раосеи-

вателей при этом несущественно. Удобно поэтому

ввести

среднее

эффективное

поперечное сечение

рассеивателя

a (r,

f), связанное .с жаждой такой нарой, т. е.

Г(г, f)="SpV;

(2.10а)

где

с у м м а

берется

по

всем

тем

рассеивателям, для

ко­

торых

Гі=г,

(2.106)

<ùi = 2nf.

(2.10в)

Тогда корреляционную функцию Ry{t,x)

м о ж н о

за­

писать в

виде

Ry(t,

1:) =

Re

[â^^u(t-r)u*(*-

-г)в

(r, f) ехр / К

- » ) ( * - * ) ] ,

(2.11 а)

где

û) = 2nf

(2.116)

и суммирование проводится

по

всем

п а р а м

г и

f,

д л я

которых

о (г, /) =^=0.

Чтобы не возникала проблема сходимости, допустим,

что

число

рассеивателей, составляющих среду, конечно.

С другой

стороны,

н а с

часто

могут

интересовать

ситуа­

ции,

в которых

невозможно

различить

в к л а д

отдельных

кой

г и допплеровским сдвигом

/ имеется

много

других

раесенвателей

с

пространственными з а д е р ж к а м и ,

отлич­

ными

от г

на

величину,

много

меньшую

величины,

об­

ратной

ширине

полосы огибающей u(t), и

имеется

так­

ж е

много

раесенвателей

€ допплеровскими

сдвигами,

отличающимися

от f меньше, чем н а величину, обратную

длительности огибающей

и (it).

В этом

случае

к а н а л

ведет

себя так, что дискрет­

ная

функция а(г,

f)

заменяется

непрерывной

плотностью

и с у м м а в

(2.11)

заменяется интегралом . Поскольку

из ­

сать

плотностью,

имеющей

вид

дельта - функции,

то

в дальнейшем

будем использовать

описание

с помощью

функции

плотности *\

Итак,

будем

рассматривать

а (г,

f)

как

плотность,

определенную для всех значений г и /. Пр и

этом

попе­

речное

сечение,

связанное

со

значениями

з а д е р ж к и и

допплеровского

сдвига

в

интервалах

от

(г, r+dr)

и

(f,

î+df),

соответственно

будет

р а в н о

ст(г,

f)é-rdf,

а

(2.11а)

.примет следующий

вид**':

Ry

(t, т) =

Re [ àL

fp { r ,

f) и (t -

r) u* (*

-

-

r) exp j К

-

<•>) (/ -

T ) drdf\,

(2.12)

г д е

cü =

2itf.

Функция o(r,

f)

описывает

как

распределение

сред­

него

поперечного

сечения,

так

и

общую

величину

тако ­

го

поперечного

сечения. Аналогично u(t)

описывает

как

р о м — с р е д н ю ю

принятую энергию.

Р а з д е л и м теперь эти

две

характеристики

системы в

определении

Rv(t,r).

В

частности,

будем

предполагать

u(t)

нормирован­

ной так, что

*> Задача

измерения

функции рассеяния

решалась различными

способаіми в

[40—45].

**> Если «ет специальных

оговорок, /то нижний и верхний

преде­

лы во

всех интегралах равны

соответственно

— о о

и + о о .

$\u{t)\4t

=

l.

(2.13)

Это предположение на с а м о м деле

не является ограни­

чением, так как оно всегда

может

быть

удовлетворено

выбором 'надлежащего

значения

А.

Мы

введем т а к ж е

o{r,f)

— н о р м и р о в а н н у ю

плотность

поперечного сечения,

или,

к а к

ее

обычно

называют,

функцию

рассеяния канала*)

[15—19]. Она

определяется

как

*(/-.

/)==('• .

/ )

^ Г

-

( 2 Л 4 )

Очевидно, j

j

a(r,

f)drdf=\.

Отметим, наконец, что средняя принятая энергия Е,-

задается следующими

соотношениями:

Er=^W)Ydt

=

^Ry{t,

t)dt

=

^-^o{r,

f)drdf.

(2.15)

Используя

(2.13) — (2.15),

равенство

(2.12)

м о ж н о

представить

в

виде

Ry(t,

т) =

Re[ErR(t,

т) е х р / о о ^ — т ) ] ,

(2.16а)

где

R(t,

х ) =

Ç J a ( / - ,

f)u(t-r)u*(i-

-

/•) ехр /ш (т -

t) drdf.

(2.166)

Функция

R(t,x),

определяемая

(2.166), в

действи­

цией

комплексной

огибающей

y(t)/yr2Er,

т.

е.

если

(2.8)

представить

в

виде

то

y(t)

=

V2ËÏRe[z(t)expjm0t],

(2.17а)

z(t)z*(t)

=

R(t,

г).

(2.176)

Равенство (2.8) и предположения, касающиеся

Ѳг,

озна­

чают

т а к ж е , что среднее

значение z(t)

равно

нулю

и

Z ( * ) Z ( T ) = 0.

(2.17B)

Мы

упоминаем

об

этом,

поскольку удобнее,

оказывает ­

ся, иметь дело

с z(t)

вместо

y{t).

Кроме того,

в наших

исследованиях

обычно

употребляется

R(t,x),

так

как

она

полностью

определяет

Ry{t,x).

*і Используется также обозначение

5 ( . , . ) ,

например,

в [19]. 1

Т а к им о б р а з о м , построено математическое описание

физических

рассеивающих

каналов,

изображенных

на

рис. 2.1.

Они

характеризуются

функцией

рассеяния

о (г,/),

а

принятый

сигнал,

соответствующий

любому

переданному

сигналу,

является реализацией

гауссовско­

го случайного

процесса

y(t)

с нулевым средним и кор­

реляционной

функцией,

з а д а в а е м о й

в ы р а ж е н и е м

(2.16).

Краткое

описание

этой

модели

приведено

на

рис. 2.2.

Рассмотрим

теперь

вкратце описание

канала ,

не со­

д е р ж а щ е е

понятия

рассеивателей.

Это

описание

опи­

рается на

характеристики

передачи,

и в нем

подчеркну­

то различие роли .передаваемого сигнала

и среды в олре-

s(t)

Функция

рассеяния

б(г,-р)

y(t)

s(.t)*Re[u(t)expjc<j0t]

y(t)=JzFr

Re[z(t)expjcü0t]

Рис. 2.2. К

модели

точечного

рассеивателя.

г (/) при заданном s (t)

есть комплексный

гауссовскиіі случайным процесс

с

нуле-

w вым средним с г (0

г (т) = О, z

(0

г* (т) =

R (t, т)

и R (<, г) =

J

J о (г, [)jt

(t —

—r)u*(X—r)e\pj2nl(X—l)drdf;

тогда !/(/) — гауссовскніі случайный

процесс

с

нулевым

средним

и

кор­

реляционной функцией

R,j(t,

т ) = К е [ Я г # ( / ,

т) ехр/Шо(?—т)].

делении

корреляционной

функции

принятого

сигнала.

будут ли они реальными

рассеивающими к а н а л а м и

или

нет.

2.3. ДВУХЧАСТОТНАЯ

К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я ФУНКЦИЯ

Р а с с м а т р и в а е м ы е среды, в которых происходит

рас­

Следовательно, если к о м п л е к с н а я

о г и б а ю щ а я u(t)

выра­

ж а е т с я

суперпозицией

элементарных комплексных сиг­

н а л о в ,

то выходной сигнал будет

суперпозицией

откли­

ков

на эти элементарные сигналы,

т. е. если

u(t)= Ju e ( 0 d a ,

(2.18а)

то

y{t)=$oJt)âa,

(2.186)

где

vj_(t) — отклик на иа

(t).

Из (2.186) следует, что корреляционная функция

принятого

процесса

может быть в ы р а ж е н а ка к

/?„(/,

, ) = J J / ? ^ ,

x)d«rfß,

(2.19)

где

/?яр (£,

т) — взаимно корреляционная

функция

процес­

сов

va(t)

и 0р(£). В частности, для модели

точечного рас-

сеивателя

(§ 2.1) легко показать, что

R^t,

z) =

ErRe[Ra?{t,

ехр К

( * - • * ) ] .

(2.20а)

где

% с • г

) = Я 3

^ я

^ - г ) "*Р ^ - Г ) Е Х Р / Ш

(2.206)

и ( / ) = : $ £ /

(/) ехр У2я/М/,

(2.21а)

где

t/(f) — преобразование

Фурье

u(t),

т. е.

U(f)=[

и (t) ехр -

jtotftdt.

(2.216)

При

таком

представлении и

(t) =

U (а) ехр }2nat

и

(2.206)

принимает

вид

/?в р (*, т) =

U (а) £/* (ß)

(ß _ а,

т - /) ехр /2я (te -

tß),

-

(2.22a)

где

q% (.,.) —д в о й н о е

преобразование

Фурье

функции

а (г,

/ ) , т.

е.

&

(О,

*) = J j

(r, /) ехр /2* ( r û + /0-

(2.226)

П о д с т а в л я я

(2.22а) .ц (2.20а) в (2.19) и перегруппи­

ровывая члены,

получаем

где

Ry(t,x)

= £ r R e [ # ( / , T )

exp

jw0(<t—т)],

(2.23a)

R (t,

т) =

f f

(a) £/* (p) ^

(p -

a,

T - * )

exp /2тг

( a / -

— ßx)rfadp. .

(2.236)

Д л я

модели

точечного

рассеивателя,

рассмотренной

в §§ 2.1, 2.2,

в ы р а ж е н и е

(2.236)

может

быть

получено

более

просто — подстановкой

преобразования

u(t)

Первое состоит

в

том,

что среда предполагается линеп-

ной. Согласно

второму

взаимно к о р р е л я ц и о н н а я

функ­

ция м е ж д у откликами

на

две

синусоиды с

частотами

a

и ß может быть выражена

в

виде

R-e{U{a)

U*(ß)M

(ß — a, т — / ) е х р /[со0 (/— т)

+

+

2n{rQ

+

ft)]},

где М(-,-)

з а д а е т с я

выракенмем

(2.226),

т. е. ^ ( . , . )

я в л я е т с я

двойным

преобразованием

Фурье

некоторой

не­

отрицательной

функции

и

M

{0,

0 ) = ь 1 .

Модель с рассеивателем,

рассмотренная

в § 2.1, разу­

меется,

удовлетворяет

вышеуказанным

допущениям,

роком

смысле

к а н а л а м и

с

некоррелированным

рассея­

нием

( С Ш С И Р ) ,

представляют

собой

полезные

модели

многих реальны х

к а н а л о в

связи

[19].

Л ю б о й заданный

С Ш С Н Р

к а н а л м о ж н о

рассматривать

к а к

канал

с

рас ­

сеянием,

описываемый

функцией

рассеяния

a (/-,

f) =

J J

о% (a,

p) exp

-

j2n

(or +

ß/) da.d%

(2.24)

независимо от того, имеется ли

в

реальном к а н а л е

рас­

сеяние или нет. Такое описание

к а н а л а

будет

полным,

если известно, что выходной сигнал является

гауссов-

ским

случайным

процессом

с

нулевым

средним.