книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

P h _ ,)C r

( - а ,

... — af c _,,

— f x . . . - ( ! „ - , ) X

fe-1

//—1

Ä - l

\

X e x p / - ^ ^

at

\ V

y n

- ^ ^ j r f a r f ß .

(П4.6)

Пусть теперь длительность Г сигнала u,(t) стремится « беско­

нечности. Дл я

простоты

ограничимся

рассмотрением

непрерывных

двухчастотных

корреляционных

функций.

Это

достаточно

мягкое

ограничение. Из него, а также из непрерывности

Ѳо(т, t)

следует,

что

подынтегральное

выражение

в

(П4.6)

является

непрерывным.

Так

как величина

Cr (a,

ß)

при

Т—УОО

стремится

к

Si (О,

ß)Ѳо(0, а) , то это подынтегральное

выражение сходится

к

Л

(О, ß , ) ....

Si (О,

ßb - i)

Л

(0,

— ß i — . . . — ßh-i)e0 (0,

a,) . . .

lim

Г $ ] ( 7 ' «)" =

j ' « ( 0 , P , ) . . . Ä ( O i p f c . 1 ) « ( 0 . - p 1

-

Т-*оо

-

... -

Рн.-г) rfß

j ö 0 (0, a,) .. . Ѳ0 (0, af c _,) Ѳ (0, -

a,

-

- . . . - a n . O r f o ] .

(П4.7)

Наконец,

выразим

SI (0, ß)

и Ѳо (0, а) через ff(r,

/) и

ug(t).

Тогда после вычисления интеграла получим

Hm

= | [ "

j l «о (0 \*hdt,

(П4.8)

*' См. также теорему

Арцела <в книге:

Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц

«Курс

дифференциального

и интегрального

исчисления», T. I I , Физ-

матгиз,

1959 і(Прим. ред.)

П4.1.2.

Доминантное

собственное

значение

1 / ( п + 1 )

(П4.9)

Следовательно,

И т ^ Г ' / С

+•'">< lim

7"-юо

Г->оо

или в силу

(П4.8)

1 і т \ . Г я

/ « 1 + л ' <{j [a (f)]»+>rf/ j|«,(0|'"+*rf/

+

1)

(П4.10)

Т-юо

Наконец, устремив л к бесконечности, получим

l i m X 0 r < | « m | 2 a m .

(П4.11

Чтобы доказать,

что (П4.11)

является

в действительности ра­

венством, используем

неравенство

к>

(о

е.-о X* w dt d%.

(П4.12)

которое, как известно,

справедливо для всех

функций

% (t) с

единич­

ной нормой [4]. ПоложимJjx%(t) равнойя

(1/ѴТ)

Хо (t/T)

exp/2nf7, где

рбудет

определена в дальнейшем,

а

Хо(')н е

зависит

от Т.

Объе­

динив

теперь (П4.3),

(П4.5) и (П4.12), получим

л°^^\flICr{аТ'т_ 0ъ

х

Используя соображения об ограниченной сходимости,

'привед­

шие « (П4.7), можно получить

Hm Т Х 0 >

j " j Ja

(0, р) Ѳ„ (0, у)

jХ

о (x) I 2

X

X ехр — /2п (x// +

f P) rfxdr/</p

или, вычислив интегралы по у

н.р,

Н т П 0 > в ( Т )

Г Ы О N X . (О I 2

<«•

(П4.13)

Г->оо

J

Очевидно, что

выражение

в правой

части

(П4.13)

максимально

при

х°(0- равной

.константе

в

точках,

где

|ио'(<) | =

| и т | ,

и нулю

в остальных точках, и таком

f,

что

a(f)=om.

В

этом

случае

U m n 0 > £ m | u m p

fl'xo

(О

I* ^

=

am

I u m I * .

(П4.14)

Г-»ооЖ- ІаЧияЯг.

J

Так как правые части

(П4.11) и (П4.14) равны, то

lim

7Х0 =

em

I ат

I 2 ,

(П4.15)

Г->оо

что

и требовалось

доказать.

П4.1.3.

Граница

доминантного

собственного

значения

Докажем,

что

выражение

в правой части (6.76) является оцен­

кой сверху

доминантного

собственного, значения %0 Пусть

фо(0 —

собственная

функция,

соответствующая Хц, т. е.

Х0 фо(0 =

т),фо(т)й?т,

(П4.16а)

или, что

то

же самое,

*о¥о (0

=

JX J ехр

r

О а С -

r) a* (x -

r) <?„ (x)

(/ 2. ^ (х — f) drdfrfx.

X

(П4.166)

Умножив

обе

части

этого

выражения

на

u*(t—x) ехр 2nyt

и инте­

грируя

по t

получим

X„G (x, (/) =

j j a

(r,

f) Ѳ (r — x,

y —

f) G {r, f) X

X e x p M 0 - / ) ( x

+

r)d«ff,

(П4.17)

где

G (x, y) =

J<p0 (0 "* (t

и, как

и

выше,

— x) exp jiMjtdt

(П4.18a)

8 (x, f) =

j

к

^

— -J-^

и*

+ -g-)exp j2n/f <tf.

(П4.186)

*о I G (x, у)\<

J J a (r, f) I Ѳ (г -

x, у -

f) G (r, f)\ drdf.

(П4.19)

Наконец, выберем .ѵ п у таким

образом, чтобы

величина

\G(x,

у) I была максимальной. Обозначив

эти значения

х 0

и <jo, получим

I G (х 0 , г/0) <

J j ,

(г, f)

I Ѳ (r - х 0 , (/о -

f) G (г, f) I drdf

(П4.20)

или, поскольку

I G (л, /) I <

I G (x0 , #0 )|,

< m a x

j j o

(/-, /) I Ѳ (r — r ' ,

/' — f) | drdf.

(П4.21)

П4.2. КАНАЛЫ

С С И Л Ь Н Ы М

Д В О Я К И М

РАССЕЯНИЕМ

при а - > о о . С этой

целью

заметим, что из (П4.4)

вытекает

Sè =

a 2 j . . .

je? (*,,</,) С (— x,,— yjdxdy

(П4.22а)

и

S2 d

=

a* j .

. .

j C ( x „ i / 1 ) C ( x 2 , i / 2 ) C ( - x 1

- - x 2 ,

— </, — ( / а ) Х

X

exp /л (Xji/, — x,*/2 )

rfx

rfy,

(П4.226)

где

С (x, i/) = £ t (x, y)

Ѳ ((/, x)

(П4.22в)

и 8( . , . )

и

<Я-(.,.)

соответствуют и (t) и

a(r,f),

Выразим SI (...)

через двухчастотную корреляционную функцию

Si0 (.,.), соответствующую о0 (.,.),

и подставим

этот

результат в

(П4.22). Тогда после замены переменных получим

Sb =

j" J | Ä „ (a, ß)|*

Ѳ (-jp

rfarfß

(П4.23а)

S2rf

=j " . .

9j

<Я0 (a,,

0

2

2

0

(—a, — a2 ,

• Р 2 ).

^ ^ ,

'

- г -

ß,] Ѳ) <& (a

'

, ß

) <Я

У а

а

а

а

ехр /

- ^ ( а 2

р , — р2 «і)

rfadß.

(П4.236)

Теперь,

используя

соображения

об

ограниченной

сходимости,

высказанные

іпр.и выводе

(П4.7),

можно

сделать

вывод,

что •

HmS6 =

И Slo

(a,

P)|=rfarfp,

(П4.24а)

S-юо

l i m

S

M

S-+00-

<&o («i. Pi) <Я-о («2. Рг).

(П4.246)

Л0

(— a, — я, . — Pi — Рг)

dadß.

где

использовано

равенство

Ѳ (0, 0)

Выразив

St0(-,-)

через

а0 (.,.), получим:

l i m S ô

(П4.25а)

S-+oo

!imS*>d=[</ -f fГГ. «"о. (r, DVdrdf.

(П4.256)

S->oo

J J

Подстановка

этих выражений в (6.82) дает (6.85).

П4.3. МОДУЛЯЦИ Я

СИГНАЛАМИ С Б О Л Ь Ш И М

Т\у

Выведем существенные свойства Еи,

Ъа

и

du

-по

гауссовскому

ансамблю сигналов

u(t).

Вывод

основан на

трех леммах,

на

кото­

рых

базируется теорема,

содержащая

искомые

результаты.

'

Лемма 1. Пусть u(t)—реализация

комплексного

гауссовского

случайного процесса с нулевым средним, корреляционной

функцией

QU, т) и независимыми действительной

и

мнимой

частями.

Тогда

моменты этого процесса

удовлетворяют

соотношению

и ( / , ) и* (т . ) и

(.,)

и* ( х 2 ) . . . и (tn)

и*

(zn)

=

=S0('..^i)Q('«.'»ft)

- Q C » . ^ ) .

где суммирование проводится по всем

перестановкам

ji,

...,jn

це­

лых

чисел от

1 до

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Эта

лемма

является

перефразировкой

известного результата

[6].

Лемма 2. Пусть u(t)—реализация

комплексного

гауссовского

случайного

процесса с нулевым

средним, корреляционной

функцией

Q(t, т) и статистически независимыми действительной

и мнимой ча­

стями. В частности, пусть

ѴТ

т

V

II?2

(t-т.)

•

(ГІ4.26)

<3(/,

• — у г -

ехр — тс

т ) + Ѵ

т

+

—

Пусть также 0 u (a , ß)

задается

выражением

8 Ц

(«. Р) =

j

« [х

-

« *

Е

Х Р / 2

я М * -

( П 4 - 2 7 )

Тогда моменты

Ѳ ц (а , ß) удовлетворяют

следующим

соотношениям:

Ѳ Л О Г 0 ) = 1 .

(П4.28)

в„ (». Р) I 2

= {ехр -

я [ W

+

(РП 2 ]} ехр -

тс

( - у

+

ГП7 K l Н- с

ехр -

(1 +о:)- -(±)Ч

(П4.29)

+Ѳа(«і. Pi) Ѳ« ( « a . P*) «в (— »i — «a. — Pi—Рг) =

iЕ= l

Л .

(П4.30)

где

Л, =

Г Г Ф (Wa,) Ф (Wa2) Ф (W Koc.cu) ф (Tß.) ф (7%) Ф (Т

ѴШ>

Аг-—

Т\Ѵ(\

+ с )

Х Ф

\ 2W V1 +

с j '

Х Ф [

P a +

^

L

_

\

• ^ А

'Г XV/

ф

{V

| - W

( « , + « , ) )

Ф

- X

TWjr+сУ

/

0

0 2

\

/ 2

/ І + с Ч і / 2 , / —

гг-

\

Л

б ~ 3

+

4с

faih—

а г Р Л

Гт

= exp — =7" ( а > 2 + a 2 2 + a i a 2 ) .

Ф (x) = exp — яд;2 ,

с = ( 7 " Г ) - 2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Формула

(П4.28)

доказывается

тем, что

8« (0, 0) =

j

I « (/) I2 rf<= j* I и (t) I 4t

=

j Q (/; f)

dt

и, следовательно,

в силу (П4.26)

ѲЛОТО) =

[ exp — 2TZ

dt,

что

после вычисления интеграла

дает

(П4.28).

Чтобы доказать

(П4.29) .и

(П4.30), рассмотрим среднее

значе­

ние

величины

Ѳ«(сц, ßi)e„(a2 ,

ß 2 ) = A 1 2 .

Обозначение Л і 2

использовано

для

упрощения

дальнейших

вы­

кладок.

По определению Л и и согласно свойствам

средних

X и* (х2

+

- y - j

exp /2я (х,р, + x2 ß2 )

dxidxj.

(П4.31)

Используя лемму 1, получаем

Аі2=ІІ [Q

Х

і Q

( х 2 — " 1

/

a,

O

U

. -

+ Q

X i — - Ô -> x 2 + -

Д

I

exp /2я (Xjß, • + x2 ß2 )

dXidx2.

(П4.32)

+

rtU?2

—

( « . 2 + «22 )

+

TtlF2

dx,dx2.

(П4.33)

+

exp — TtW2 (Xi — x 2 ) 2 exp — — (a, -f- a2

зультат

[7]:

Л 1

2 =

{exp -

- J - [ ( а ^ ) 2 +

{*,Wy

+ (Р.7-)» + ( Ь Г ) » ] } Х

X

exp — - у -

+ :Т\ѵѴ\ + с X

Х|ехр -

- J - {W* (а, +

а,)* +

Г 2 (P, +

Р2)2]J X

Хіехр — -у-

(рѴ

а,2 +

о2

(П4.34а)

с ) № 2

2(1 +

где

c=(\/TW)2.

( П 4 . 3 4 6)

|Ѳ„(о. ß)|»=e„(a, р ) Ѳ , ? ( - а ,

- f l ) ,

среднее

значение

1Ѳ ц (а, p) | 2

можно

найти

из

(П4.34),

положив

а, = а ,

Р і = р ,

а, = — а и ß2 = — р. Таким образом,

получим

I

9Ц (а,

Р) I 2

=

{ехр -

я [(aW)2 +

(рГ)2 ]} ехр -

я

( а / Г ) 2

+

+

^ Г + 7 ) е х р - т : [ ( 1

+ c ) - >(p/ït7) 2

+

(a/7')2 ],

( П 4 - 3 5 )

т. е. (П4.2Э).

Вернемся

теперь

к доказательству

(П4.30). Д л я

упрощения обо­

значений введем

где

Л ш = Ѳ и(а1 #

ß O 0 „ ( a 2 ,

ß 2 ) 9 u ( a 3 ,

ß 3 ) ,

(П4.36а)

а 3

= —

(аі + а 2 ) ,

(П4.366)

ß 3 = — ( ß i ' + ß 2 ) .

(П4.36в)

По

определению

Ѳ и ( . . . )

и согласно свойствам

средних

среднее

значение Л і 2 3

можно

найти

как

Воспользуемся леммой 1 и разложим

Л і 2 3 (П4.37) по

произведе­

ниям вторых моментов:

Лиз — \ і

At,

(П4.38)

(=1

где

о

A = J J j* Q (^І — -у"»

Х-І +

- у - ^ е х р / 2nx^tdx,

( Л г з )

— Л ,

X

Q ^*»

— ""f"'

*і +

ехр;'2л

х&аХіахгаХз,

Au — - ^ 5 * »

и A t j является функцией вида

(П4.31)

или

(П4.34)

с соответствую­

щим изменением

индексов:

Aik=

jexp

Y

[[atW)*

+

(akW)*

+

(PJT

+

( Р ь Г ^ Х

X exp

jexp — - | -

X К + <**)2 + T' (h + fo)*] } exp -

«

Г

( Р І - Р Ь ) 2

-5-

[ j

( T + 7 ) 1 ^ +

, ° i 2

+

« h 2

1

. (П4.39)

Докажем

утверждение

леммы

для

величин Л ь

At.

В случае «-корреляционной

функции

Q(.,.),

имеющей вид

(П4.26), интегралы в выражениях для Ai,

...,

Ai

можно вычислить

19—221

289

{

з

\

з

е х Р — f "

[ ( а * П 7 ) ' +

(ЬТ-)*]

e x p - - ^ -

feY,

[ е х Р - - І ~ ( ^ ) г ]

(П4.40)

^ 2 = | е х Р - - ^ - [ ( а 1 Г ) =

+ (Р,7')2 ]}

( А м ) - Л ,

2 3/2

+Т-* [a.'+aH+a.a. l Jx

{ е х р - * Ç^j

ш

(ехр — /2гсух') ехр — —^- xD ~ 'x'rfx

X f ( 2 « )

3 ' 2 | D |

1 ' 2 ]

(2к)3'2

I D I 1 / 2

(П4.42)

где x = (х,,

Хц, х3), у = (Уі, ylt у,),