книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

D

Г evn t ѴПч" lt\

1

+

е Х Р ( О ^ ? ) " ( 0 ] j ( * D - ' e * P - * {

Г Y" (О

о

I 1/2) N

(П3.43а>

+ Ч ^ J })"^'

(П3.43б>

или после интегрирования

Bt = ^ l + t [:^fLy2yD

e x p - ö j Q l f

(П3.446):

где

ö* / , ,

r

f (Q 11/2)'

(П3.45а)

i=D ~\1 +

Ч

д

J г

i = 0

Найдем теперь нижние границы Q0

и Q t . Сначала рассмотрим (?0.

Qo^(D°/D\){l+t[Y'(t)ID)4*}i>.

(П3.46)

Следовательно,

B^;{DDID\)^—D

(П3.47а)

при условии

— [ / J / Y " ' ( / ) ] ' / 2 < f < 0 .

(П3.476),

также

при

условии

(П3.476). Наконец,

заметим,

что

у " ( 0 —

=

&

\

°g

t

) S П Р " Р а в н ы х "І< т а

к

ч т о

(П3.476)

удовлетворяется

при

всех t

<

0.

Следующая

задача — найти нижнюю

границу

для

коэффициен­

та Qi, заданного формулой (П3.456),

при

условии, что

t

положи­

тельно,

HÜ 'меньше

" о - 1 . Удобную

границу

ш о в a

можііго

получить,

заменив

сумму

(П3.456) одним слагаемым:

Qi^lDD-4(D—l)\]{l+^y"(t)lD]iß}°-i.

(П3.49)

Следовательно,

Bi^{D"/D\)

ехр — D]{\+t[y"(t)jD]4^ - K

(П3.50)

Заменив факториал его оценкой сверху по

(ПЗ.ЗО),

получим

при

неотрицательных

t

v0t

0,96

1 —

—

, r

-.

(пз.51)

Полезно сравнить нижние границы (113.48) и

(П3.51)

с

верхни­

ми границами, которые вытекают из

(П3.16)

и (П3.17), когда имеет­

ся

D положительных

о"<, равных Со каждая . При

этом

условии:

y"(t)=D(t—

I M , ) " 2 ,

(П3.52а)

Следовательно,

i)=D.

(П3.536)

° - 9 6 ( D T T ) 1 / 2

< ß ^ 2 ^ < ( I - ^ r ) ( ö = r ) 1

<п з -5 3 >

при

( ^ О и

при

условии, что

O s ï < T o « l .

(П3.546)

Выражения

(П3.53)

и (П3.54)

с очевидностью

показывают,

что

верхняя и нижняя границы Во и Ві являются

достаточно

точными

при

больших значениях

у"(і)

только в

том

случае,

когда

только D

значений at положительны и равны а0 .

Д л я случая,

когда

они

по­

ложительны, но не равны между собой, точных оценок Во

и

Ві

еще

нет. Поэтому рассмотрим поведение Во и Ві при больших

у"(і),

не

накладывая ограничений на значения о,-.

ПЗ.2.3.

Асимптотические

выражения

для

коэффициентов

Асимптотические выражения для В0

и Вг

получены

в

предполо­

жении, что

3 =

0.

Для

простоты

примем, что

а 4

неотрицательны.

Показано,

что В0

и

В ,

стремятся к [ | t\

V2^"{t)\-1

при у "

(t)-*oo.

Точнее, если о0

— максимальное значение

а4

в.(П3.8)

и

à—t

Vf"(t)>

то

lim

[ДБ,] = l/KJto

(П3.55а)

Д - ю о

Ори

•yCJlOB'HWX, что

ö =

0,

0<foo=Cl

(П3.556)

и /Оо не стремится «

единице

с увеличением

Л. Кроме

того,

lim

[| Д I В0] =

1/V2Ü

(П3.56а)

Д - ю о

при

ô = 0

и три

(•П3.566)

Так

как

ход

вывода

формул (ТІ3.55) и

(П3.56)

одинаков, при­

ведем только

вывод

(П3.55). Согласно

(П3.19), (П3.21) и (П3.23)

(П3.57)

где

t Ѵч" (0-

д =

(П3.58а)

g

и

=

[ - | _ е х Р - / ^

(П3.586)

•mi

при условии,

что 0 ^ / О о ^ 1

и Сто/ не стремится к единице с ро­

стом Д.

интеграла Ri в (ПЗ.бОа).

Остается

оценить значение

Прежде

всего заметим, что по теореме Тэйлора [4]

( П З 6 8 )

1-усор,

= е

х Р -

[~2 — f

при условии,

что ш р ; < 1 . «Остаточный

член»

гі удовлетворяет нера­

венству

I юр, I 3

1

'J

-

ы < *

з

| i - i p t o > r

( n 3 - 6 î ) )

Согласно

(П3.21) и (П3.68)

g(œ) можно

представить в

виде

. g (а) =[ехр(—ш72)]ехр г.

(П3.70)

Здесь использовано равенство

S

р ? = 1,

(П3.71а)

(П3.716)

Поскольку р і > 0

и | ш | ^ 1 / р о ,

величина г

удовлетворяет не­

равенствам

и3—з~

Po

1 ^*1 ^

з 2LJP£ i1 —і

1 - І Р о Ч І 3 '

(П3.72)

при

I w I

A «s; 1/р0.

Полагая

Л = ( 4 р 0 ) ~ 1

и выражая

ро

через

т|,

определяемое

(ПЗ.ЗЗа), получаем

g (со) — ехр -

I со I 3

ехр

с о 2 /

(П3.74а)

Vi

при

с = 4»/34

(П3.746)

и при

условии,

что I со I

Ѵт\ /4.

Ri,

Возвращаясь

теперь

к

выражению

(ПЗ.бОа)

для

заметим,

что

УІГ14

ѴТн

Г е х р ( - с о 2 / 2 )

Г

g ( м ) - е х р

( -

со2/2) tfcû.

А -Ѵ-П

14

д + / ш

rfco+A

J-Y^/4

Ä

+

W

—

Второй^=из этихJ_

(П3.75)

интегралов

обозначим

Я з .

Он удовлетворяет нера­

венству

Vf

14

| « з К

\

I g

N

— ехр (— со2/2) I

rfco (П3.76)

- Ѵ Т/4

18*

275

или согласно

(П3.74) неравенству

2с

Ѵѵ

/і

wa

/

с

,

f

Я3

I <

- г т =

I

exp — ~Y

( 1 — "2"

I d < ù '

о

4c

1

00

Г

u

Вычисление

этого

интеграла

дает

Значит, #з-»-0 тривозрастании

г) или, как

это следует из

вывода

(П3.67), Rs—ьО,

когда

Д—>-<» при условии,

что О ^ О о ^ ^ І

и a0t не

стремится к единице.

обозначим Rt,. Его можно пред­

Оставшийся

интеграл в

(П3.75)

ставить в виде

** =

2

С ехр (— ш2 /2)

(П3.78)

J

2

J е х р — - ^ І + - ^ - j < / c o < / ? 4 <

2

J e x p — - Ç d c o .

(П3.79)

о

о

Окончательная верхняя граница Ri получается,

если

заменить верх­

ний предел

интегрирования бесконечностью. В результате

получим

« 4 < К й Г ,

(П3.80)

Нижняя

граница

выводится путем

представления

выражения

в

левой части (П3.79)

в виде

( т т Ѵ ) ' / 2 [ ' - 2 ф ( - 4 - ^ / 1

+

_2_

Д2

где Ф(х) —функция

распределения

гауссовской

случайной

величи­

ны с нулевым средним и единичной дисперсией.

Так как [5]

Ф (— I X, I X [ехр — (^Р-ІЩІѴЪ.

\х\,

значение ^4

удовлетворяет неравенство

ч\ I

2

1 + 2/Д2

і Л + 2 / Д 2

е х р - - г ? -

1 + - Г Г

ѴъГч\ e

A F

16 \

~

А

(П3.81

следовательно, т) стремятся к бесконечности, У?ф

стремится

к

Ѵ2ъ.

Так как при тех же условиях

Л3 —>0, то R1-*V2n.

Кроме

того,

R2 -* 0.

Поэтому /?[ + ^ 2 -> Ѵ2п.

Следовательно,

согласно

(П3.57) и

(П3.59)

предельное значение

A ß ,

равно 1/Ѵ~2к,

что и требовалось

•Пусть yo(s)

и Vi'(s )—соответственно

производящие

функции

семиинвариантов

хну.

Кроме того, пусть

р»(х) и

— н к

плот­

ности вероятностей. Очевидно,

со

оо

P(h<x<y)=^Po(x)dx

^Ptü)dy

(П3.82а)

Я (ft <

% <

у) =

jV» (x)

dx jVi [У) (exp ty) exp -

tydy

(П3.826)

h

'x

при

любом

значении

t.

Ограничимся теперь только неотрицательными значениями t, так

что

—ty^.—tx

іттри у>х.

Тогда

со

оо

Р ( Л < х < ( / ) <

hj/?0

(x)

ехр — tx

dx

xjVi

(</) exp tydy.

(П3.83)

Правый

интеграл в выражении при замене нижнего

предела

инте­

грирования

по

у

на

— о о может

только

увеличиться. Значит,

оо

P ( A < x < ( / ) < [ e x p f , ( / ) ]

J A M

ехр — txdx,

(П3.84а)

где

h

1

Y i ( 0 = l n f f i ( 0 .

ОО

Я. ( 0 =

J A

(</) expfi/rf;/.

(П3.846)

—со

Введем

новую плотность

вероятностей

/ М =[/7ofJc)exp—гх]/ехр

\>o(—t).

(П3.85а)

Соответствующая производящая

функция

семиинвариантов

cp(s)

равна

cp(s)=Yo(s—0— Yo(—0-

(П3.8&6)

Подстановка

(Л3.85а)

в,(ГІ3.84а)

дает

00

P ( A < x < r / ) < { e x p [ Y l

(0+Ya(OJ ) j'fW

dx.

(П3.86)

00

.

Применив

результаты

§ П3.1 к интегралу

(х) dx,

получиl , l , M

Р (A < X < y) <

{ехр [

Y L

(/) + Y, ( - 01} ß

ехр -

[Г

' (Ô—

(П3.87а)

2

Т

¥

(Г)],

где

h = f(î),

(П3.876)

В2 =

(х) ехр — ТхУч"

(Г) dx.

(П3.88)

о

Нормированная перекошенная плотность вероятностей q(x)

опреде­

ляется производящей

функцией

семиинвариантов

Ц<(ч) ©ода

^(ѵ)

= ч(т7=^=^г)-ѵ-^к1=-ѵ{-7).

(П3.89)

\Ѵѵ"[?)

)

Уч"{г)

Наконец,

используя

(П3.856)

для .исключения

<р (г") из (П3.87) —

(П3.89), получаем

при

/ ^ О

P(h<x<y)<B2^p-\[t

+

r)-(0- ( r ) - Y „ ( 0 - Y ,

(/)].

(ПЗ.ЭОа)

где

A =

Y.'C-)

(П3.906)

и где обозначено

г =

л —

Коэффициент

ßo можно 'Представить как

оо

Вг = j

с (х) ехр — X (/ +

г) V-u"

(г) dx,

(П3.91а)

о

где'Производящая

функция семиинвариантов, .соответствующая

q(x),

равна

^ ^ • ( ^ ш ^ ' У - т ш - ^ - 1

- ^

І П З ' 9 І 6 )

Очевидно, что выражение для Вг

имеет

тот же

вид, что и выра­

жение (ПЗ.бб)

для ß ,

при ô =

0.

Единственное существенное

отличие

состоит в том, что t

V~i" {t)

в (ПЗ.бб)

заменено

в

(ПЗ.ЭІа)

на

(•/ +

определяющие

плотности

q(-) в

(П3.6)

и (П3.91),

отличаются

в границах для Вг только

подстановкой уа( • )

вместо

у(-) и г

вместо t. Таким

образом,

верхние

границы

для

Ві можно преобра-

зовать

в

границы

для

Вг.

Например,

ß i ^ l ,

если

принять ô = 0 и

s^O.

Аналогично

5 2 < І

(П3.92а)

при

условии, что

r + t^O.

СШ.926)

С

другой

стороны,

если

уо{ • )

имеет

вид

(П3.8),

границу

(П3.17а)

можно

также преобразовать

таким

образом,

что полу­

чится

-

Вг<

х Г

- U r - h -

(ПЗ.ЭЗа)

при

условиях

O^r

+ t

и г < а _ 1 о ,

где Оо — максимальное значение а,-

в (П3.8). Величина 11 определяется (П3.18) как

T1

= Y " 0 ( r ) (г—І/сго)2 -

(П3.936)

Следует отметить,

что значения

t

в этих формулах

должны

бирается

так, чтобы

минимизировать

значение границы. Так как эта

оптимизация

зависит

от конкретного

вида Y i ( - ) и Yo(")> для

пред­

ставляющих

интерес

случаев она выполнена в приложении 2.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.

С. Е.

S h a n n o n ,

Unpublished

Seminar

Notes,

Summer

1956,

M . I . T.

2.

P. Ф а и о. Передача

информации. M., «Мир», 1966.

3.

W. M a g n u s

and

F. O b e r h e t t i n g e r . Formulas and Theorems

for the Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1954,

p. 4.

4.

1. S.

S o k o l n i k o f f

and R e d h e f f e r,

Mathematics of Physics

and

Modern Engineering. New York: McGraw-Hill,

1958, p. 144.

5.

В. Ф е л л е р .

Введение в теорию вероятностей. Т. 2. М., ИЛ, 1960.

где <\i\u0(t)\*dt=\j\u0{f)\*dt=

1,

и будет

рассмотрена

асимптотика

собственных значении Я,- при

Т—»-оо,

т. е. будут

выведены

формулы (6.45), (6.58), ' (6.72),

(6.76).

П4.1.1.

Степенные

суммы

собственных

значений

Выражения

(6.45)

и

(6. 58) основаны на незначительном

обоб­

щении некоторых известных свойств тешшцевых форм

рі].

Ниже

приведен их подробный вывод.

Известно, что степенные суммы собственных значений ХІ ком­

плексной корреляционной

функции

молено выразить

в виде

[2]

Е * * = jX(U)tfr,

(П4.1)

где

Rl(t,x)

=

R(t,i),

(П4.2а)

Rh

(t, т) =

]я,

(t,

x)

Я к _ ,

(x,

x) dx

(П4.26)

при

А >

1.

Кроме

того,

R

(t,

x) =

Je

(o.Jx — 0

ехр — /wx

+ 1 )

rfo,

(П4.3а)

где

C ( o , t

— /) =

й ( о , 1 — t)b

(z —

t.a).

(П4.36)

Подставляя

(П4.3а)

в

(П4.2)

и затем

в (П4.І), получаем

S

J---

Jc

( x i>

tfi) ••• C

( * h - i - Уь-i)

C

(—x<

••••

- —

i

—

X h - ! ,

— l / t ,

...

, —

l / l l - l )

X

ft-I

/ t ' - l

ft-I

\

X

ехр /п 2

I S

Xfj/„

— E

xt r/„

Ux

rfy,

(П4.4)

1 =

1

\ л = І

n=i+l

J

где

dx

и

dy

обозначают

соответственно

dxydx*

• • •

dxk

и

duidyz

...

dyh.

Выразим

теперь C ( . , . )

через

нормированное коле­

бание

uo(t),

из

которого

выводится

u{t).

Легко получить,

что

со­

ответствующая

зависимость

описывается

выражениями

С (а, ß) =

C r

( а Г . р ) ,

(П4.5а)

где

Ст

(x,

у)=®,

(х/Т,

у)

Ѳ0 (у/Т,

x),

(П4.56)

и

80

(т,7)

= j

и,

^

-

а„ ^

+

- 5")ехр І2фМ.

(П4.5в)