Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3125 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>


ятности ошибки в данной		системе. Д л я		этого обычно
требуется применение численных			методов.
Н а	этом м о ж н о закончить	обсуждение		схем демодуля
торов.	П р и н ц и п и а л ь н ы е выводы		состоят в том, что о п т и

мальные демодуляторы обычно очень сложны в реализа ции, но при некоторых условиях м о ж н о без заметного у щ е р б а дл я качества пользоваться более простыми схе

мами . Хотя простейшей из схем	является	система
ф и л ь т р — к в а д р а т и ч н ы й детектор, ее	качество	несколько

падает при уменьшении доминантного собственного зна

чения по сравнению с единицей, т. е. при		возрастании
числа ветвей разнесения . Д р у г и е схемы, например				систе
ма фильтр — квадратичный детектор — фильтр,				иногда
работают достаточно хорошо при доминантном			собствен
ном 'значении, меньшем единицы. В частности,			это	спра
ведливо дл я к а п а л а с . р а с с е я н и е м	только	по	времени.
Если требуется количественная мера	ухудшения		качества

передачи, ее м о ж н о найти, проведя анализ, намеченный выше.

		С П И С О К			Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Р. К у р а н т		и	Д. Г и л ь б е р т .				Методы .математической физи
	ки. Т. 1. М.—Л.,		Гостехигздат,			1961, гл. 3.
2.	Ф. Т р и к о м и. Интегральные					уравнения. М., ИЛ, 1960,		гл. 2, 3.
3.	F. S m i t h i e s , Integral			Equations.			London: Cambridge University
	Press; '1938.
4.	J. V. E v a n s	and T. H a g f о r s. Ed. Radar Astronomy. R. Price,
	New York: QcGraw-Hill,			1968, Chapter 10, p. 547.
5.	J. C. H a n c o c k		and	P.	A. W i n t z. Signal Detection			Theory.
	New York: McGraw-Hill,			1966, Chapter 7.

6.E. Дж , Б а г д а д а . Лекции по теории систем связи. М., «Мир», 1964.

7. К. Х е л с т р о м . Статистическая			теория	обнаружения сигналов.
М., ИЛ, 1963, гл. 11.
8. H . L. V а п	T r e e s , Detection, Estimation,			and Modulation Theory,
part 2, New	York: Wiley, 1969, Chapter 3.
9. R. P r i c e ,	Optimum Detection of		Random	Signals in	Noise, with
Application	to	Scatter — Multipath	Communication,		IRE Trans.
Inform. Theory,		pp. 125—135, December 1956.

10.G. L. T u r i n . Communication Through Noisy, Random-Multipath Channels. IRE Convention, pp. 154—1C6, 1956.

11.	D. M i d d 1 e t о n,			On the	Detection of	Stochastic Signals	in Addi
	tive Normal Noise—Part				I . IRE Trans.	Inform. Theory»,	pp. 86—
	121, June, 1957.
12.	T. K a i l a t h ,		Correlation		Detection of Signals Perturbed by			a Ran
	dom	Channel.	IRE	Trans. Inform, pp. 361—366, June 1960.
13.	D. J.	S a k r i s o n ,		Communication Theory: Transmission of				Wave
	forms	and Digital		Information. New York: Wiley, І1968, Chapter 5.
16—221								241

14.	К. Х ё л с + іро.м. Стаѣкстнчеокая		теория		обнаружения			сипи алой,
	М., «Мир», 1963, гл. !..
15.	М. S c h w a r t z ,	W. R. D e n n e t t ,	and		S. S t e i n ,		Communica
	tion Systems and Techniques. New			York:		McGraw-Hill,			1966,
	Chapter 1.
16.	J. J. D o w n i n g ,	Modulation Systems and				Noise. Jersey:			Prenti
	ce—Hall, Chapter 3, 1964.
17.	Д ж . В о з е и к р а ф т , И. Д ж е к о б е .			Теоретические основы тех
	ники связи. М., «Мир», 1968, с. 216—225.						'
18.	D. J. S a k r i s о n, Communication		Theory: Transmission					of	Wave
	forms and Digital Information. New			York:		Wiley,	1968,		pp. 200
	and 240.
19. В. Д. Д а в e и n о p T, В. Л. Р у т . Введение						в теорию		случайных
	сигналов и шумов. М., ИЛ, 1960.

20.Дж . В о з е и к p а ф т, И. Д ж е к о б с. Теоретические основы тех ники связи. М., «Мир», 1968, с. 112.

21. R. P r i c e	and Р. G r e e n ,	«Signal	Processing	in Radar	Astro
nomy— Communication via		Fluctuating Multipath		Media.	Lincoln
Laboratory,	MIT, Tech. Rept. 234, pp		C78—CS5, DDC No,		246782,
1960.

22.H . В и'Help. Интеграл Фурье u некоторые его приложения. M . , Физіматгга, 1963.

23.	Г. Г.	Х а р д и, Д .	Е.	Л и т т л в у д ,	Г. П о л н а .		Неравенства.
	М., ,ИЛ, 1948.
24.	D. J. S a k r i s о n, Communication Theory: Transmission of							Wave
	forms	and Digital	Information. New		York:	Wiley,	'1968,	pp. 30
	and 31.
25.	A. A. P a p о u 1 i s,		The Fourier Integral and			Its Applications. New
	York: M c G r a w - H i l l ,			1962, Chapter 2.
26.	N. W i e n e r , The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing Ti
	me Series. New York: Wiley, 1949.

27.E. A. G u i 11 e m i n, Theory of Linear Physical Systems. New York: Wiley, 1963.

				Приложение		1
	Ц Е Н Т Р А Л Ь Н А Я П Р Е Д Е Л Ь Н А Я Т Е О Р Е М А
Д Л Я М О Д Е Л И Т О Ч Е Ч Н Ы Х Р А С С Е И В А Т Е Л Е Й
В этом приложении будут определены условия,					при которых
любое	заданное	подмножество коэффициентов zh		ряда	Карунена—
Лоэва	сходится	тто распределению	к статистически		независимым
гауссовским случайным величинам.
Рассматриваемые коэффициенты			определяются	выражением
		. ( 0 < р \ ( 0 е х р - / ш , * с К ,			(Ш . 1)

где фі(0 — собственные функции комплексной корреляционной функ ции R(t, т) (см. рис. 2.2). Совместная характеристическая функция любого подмножества из N таких комплексных случайных величин определяется как

'	N
M (v) = ехр / \	(zhv\ +	z\vh),	(Ш. 2)
	/(=і
где v — /Ѵ-мернын вектор с	комплексными	компонентами,	а черта

сверху обозначает усреднение по ансамблю. Если эти случайные величины являются статистически независимыми гауссовскнмп вели

чинами! с інулевьш средним и г,-2 =!І, их					характеристическая функ
ция	равна:			N
				N
	M (v) =		ехр - X	J	К І г ,	(П1.3)
				ft=i
где	ЯІ — собственное	значение ср,-(/).
	.Покажем теперь,	что	правая часть выражения (П1.2) сходится
к правой части (ТЛ 1.3),			если поперечные сечения всех отдельных
рассеивателей стремятся к			нулю. В	силу свойств		характеристических

функций [1] это является гарантией того, что г,- сходятся к стати стически независимым тауссовскнм случайным величинам с нулевым средним и дисперсиями X,-.

Прежде всего			напомним, что согласно (2.8) принятый				сигнал
можно	выразить в виде
у (0 =	A Re	СЕ	Ни (t	- rt)	ехр / [ К	— ш( ) / — a 0 r t - 6t ] j.	(П1.4)
Подставив		правую		часть	(ПІ.4)	в (Ш .1), получим
	z* = (Ep*ß«.exp-y8^ + ÇZp&b expiry						(П1.5)

16*

243

где

Bih = уА-ЩГ ( Е Х Р—С'а°гЛ \и (/ ~г^ ^*ь M Е Х ' Р ~~

А	Г
Bih = у—	(exp /со0Г() _]«(' — 't) fh (0 e x P — / (2 û ) o — û)t)

(ПІ.66)

Воспользуемся теперь 'предположением об узкополосности, вы сказанным в гл. 2, т. е. примем, что при всех і и А правая часть (ПЛ.66) обращается в нуль. Это практически эквивалентно предпо ложению (2.47) о том, что

j f h ( 0 ? і ( 0 ехр/2со0 Мг = 0.

Это предположение приближенно удовлетворяется для любой за

данной	системы, если шо достаточно велико. Правая часть				(П1.66)
тождественно равна нулю также, если полосы частот u(t)					и ФІ(0
строго	ограничены	интервалом	(—fi/2; + Q/2),	(рад/с)	и, кроме
того,	2шо больше	суммы fi/2	и максимальной	из величин
Обоснование этого		утверждения	аналогично уже использовавшемуся
в связи с выражением (2.47). Поэтому оно здесь				не приводится.

В силу принятого предположения выражение (П1.2) можно пе реписать в виде

M ( ѵ ) = exp / S p t e t c o s t o - e j l

(П1.7)

іJ

где

ß t e x p / ¥ i = E ß i h a \ ,

(П1.8)

причем ß i является действительным и положительным числом. Поскольку Ѳ,- статистически независимы друг от друга, М(ѵ) при любых заданных значениях pj и ВІ можно также выразить в виде

M (V) = J J exp UrtBt cos fa -

fl,)J.

(ПІ .9)

Вспоминм, что все 0,- равномерно распределены на интервале (—л, + л ) . Следовательно, средние значения, входящие в (Л 1.9), определяются выражениями

e x p [ / P l Ä t c o s ( ? t - f l t ) ] = - ^ T J e x p l / P i ß t c o s ^ t —Ѳ)]гіѲ. (П1.10)

—тс

Правая часть этого выражения дает функцию Бесселя нулевого по рядка первого рода / О ( Р І 5 , ) {2]. Таким образом,

Ж(ѵ) = [ ] / о ( р , о і ) . (ПІ . П)

244

Функция Jo(x) положительна при всех значениях х из замк нутого интервала [0, 1]. Поэтому М(ѵ) при всех значениях ѵи, удовлетворяющих условию

P i ß i ^ i ,

(ПІ.12)

является вещественной положительной функцией. Кроме того, раз лагая Jo(x) в ряд Тэйлора с остаточным членом, можно показать, что если р , В ( ^ 1, то

где d— константа, не зависящая от р,-5і [3]. Следовательно, при выполнении условия (П 1.12)

п Г , _ ( м , ) ] < Л ( ѵ ) < п [ . - ( ^ ) ' + < ^ ) * ] .

										(П1.13)
Далее		заметим, что для		любого		множества		положительных
чисел	{*,}, не превышающих единицы,
J]	(1 -	ХІ) = exp	In (1 -	xt)	> exp - ( l +		J Z T j )		J ]	* t .
I		i					i
где а — произвольная			верхняя	граница		для	Применяя			это нера-'
веиство к произведению в левой части						(П1.13),	получаем
п [ . - ( ^ ) > « , р - ( , + т ^ ) Е ( ^ у . <т.щ
і						і
где с — произвольная			верхняя	граница		для (p,-ßj/2)2 .			По	тем же
причинам
										(П1.15)
Найдем значения			сумм в	(П1.14)		и (П 1.15). В		силу		(П1.8)
		S(Ptßi)s = SS^^n2p2 ^Kß*tn								(П1.16)
или после подстановки			(ПІ.ба)
£	(РіВгУ -			Я	***{ t )	*"( X ) 4 " Р ! " ?			-

ik n

—n) и* (x — Гі) exp — /шг- (£ — t) c#£?x.

Наконец, сравнив полученные	в ы р а ж е н и я с (2.10),
(2.11) и (2.16), находим, что сумма	по I пропорциональ -

~ " 245

на комплексной корреляционной функции R(t, х), соот ветствующей u(t):

S	(?іВгУ =	SS « V * j f <P*fc (О Я С ч) <Р« W ^
t	ft	n

или, поскольку q>h(t) являются нормированными собст

венными функциями R(t,		х),
	2 ( р д а = Е ы а л * .							(Ш.17)
	i	ft
где	%k — это собственные значения R(t, х).
	Комбинируя (П1.13) — (П1.15)		и		(П1.17),	получаем
						N
е х р	- т" ( т = т ) Yilh 1Vh \|г<	^( ѵ )			(ехр ~~ ~4" SК Ы *}			<
	&		ft	'		ft=i
	< е х р — ^			К	І 2		(П1.18)
при	\| р , Я і / 2							(ПІ.І9)
при	условии, что	К с ^ Ѵ »
при	всех і.	К с ^ Ѵ »
при	всех і.
	Очѳвидио, что нижняя и верхняя				лраницы	в (ГТ1.18)	три с-»-0
стремятся к единице. Отсюда		следует,			что М(ѵ) сходится		к	харак

теристической функции множества статистически независимых комп лексных гауссовских случайных величин с нулевыми средними н дисперсиями Xh. Поэтому необходимо найти условия, при которых

с=0	при любых фиксированных			(комплексных)	значениях	Vu, k =
= 1		N.
	Из	(ПІ.ба)	и (П1.8) следует, что значение		( р , Б , / 2 ) 2	опреде
ляется		выражением
	Эта	сумма	удовлетворяет неравенству
( ~ Г " ) 2 < Т І ~ { 1 ] K l j « ( ' - ' • * ) ? % ( 0 е х р - / Ш і / Л I
или,			Шварца,	неравенству
или,	в силу неравенства ft

С другой стороны, из (2.10), (2.13) и (2.15) следует, что

£ г = ^ ^ | р „ Р j j l « ( 0 l ' d ' .

246

Поэтому имеем неравенство

Таким образом, с можно определить выражением

Очевидно,

что с = 0

при

фиксированных

значениях и;и

если

рав

ны

нулю

все

величины

|р,- | 2

( 2 n | p n | 2 ) - 1

. Следовательно,

если

попе

речное сечение каждого отдельного рассеивателя

стремится

нулю,

то

и с->-0. Значит, и характеристическая

функция

стремится

виду

(П1.13),

сами

случайные

величины

сходятся

по

.распределению

статистически

независимым

гауссовским

случайным

величинам

с нулевым

средним

и дисперсиями Я,-, что

и требовалось

доказать.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Ф е л л е р

В. Введение в

теорию вероятностей

ее приложения,

т. I I , М., «Мир»,

il967.

2. W. M a g п u s

and

F. О b e r h e t t i n g e r, Formulas and

Theorems

for the Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 11954,

p. 26.

I . S.

S o k o l n i k o f f

and

R. M . R e d h e f f e r,

Mathematics of

Physics and Modern Engineering. New York: M c G r a w — H i l l ,

1958,

pp. 143—144.

; ~			Приложение	2
В Ы В О Д Г Р А Н И Ц Д Л Я В Е Р О Я Т Н О С Т И О Ш И Б К И
В	этом приложении получены	математические	результаты	гл. 4'
и 5.	Выведены функциональные	границы (4.30).	Применение	их

к каналу с аддитивным белым гауссовским шумом позволило полу


чить формулы § 5.1. Затем выведены границы вероятности					ошибки
для каналов с замираниями л рассеянием.
П2.1. Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е ГРАНИЦЫ
Найдем сначала границы		вероятности (4.29).
	Р(е) = 1—Р(х>уи		/ = 1 , . . . , т — 1 ) .		(П2.1)
Это выражение можно переписать в виде
P	(s) .-= 1 — j p (x)		[P (y <	х)\т-Чх,,	(П2.2)
где y—случайные	выходные	величины		демодуляторов ошибочных
ответвлений. Справедливость		(П2.2) основана на том, что yt			стати

стически не зависят друг от друга и имеют один и тот же закон распределения.

247

		Л2.1.1.		Верхняя				граница
Заметим,		что
			\р(х)	[Р(У<х)}™-<				dx =
Il						00
{	Р (*)	[Р (У <	x)\™~>dx		+	J р	(х)	[Р (у < x)J™-« rfxs*
О						ft
со					оо
f P(x)[P(y<x)]™-ldx^					f	/J(X)	[1 — ( / л -		l)P(y2*x)]dx,
h					À
где A — произвольно			выбранное значение					х.
Следовательно,
							00
'	P(,)*zl-P(x>h)			+	{m-\)]			р(х)Р(у£*х)ах	(П2.3)

или

Р(е) ^P(xsCh) +mP(h<x^y). (П2.4)

Таким образом, выведена верхняя граница (4.30а). Этот результат ранее был опубликован в [1].

П2.1.2.

Нижняя

граница

Чтобы

найти

удобную

нижнюю границу

Р(&),

заметим,

что

J/>(*)[/> (ff < х ) ] т

- , < * *

^ р (х)ехр {(/и —

1) I n f i

— Я О / З г х ) ] }

dx.

(П2.5)

Но

логарифмическая

функция

удовлетворяет

неравенству

І п х ^ х — 1 ,

и,

таким

образом,

правая

часть

(П2.5) не

превышает

величину

р (х) ехр — (/н — 1) Р {у 5= х)

dx.

•Подставляя эту верхнюю границу в правую часть (П2.2), полу

чаем

P(e)ss 1 — j

р(х)

ехр — (те — 1) Я ( ( / > х )

rfx

(П2.6)

или

Р (e) sa

J р (X) [1 -

ехр -

(от - 1) /> (0 >

0)1

rfx.'

(П2.7)

Подынтегральное выражение (П2.7) неотрицательно при всех х,

поэтому

значение

интеграла

может

только

уменьшиться, если при

248

интегрировании ограничиться значениями х, не превышающими не которое число h. Значение интеграла еще больше уменьшится, если Р(у^х) замшить P(y^h). Поэтому Я(в) удовлетворяет неравен ству

^ О О ^ j Р(х) [1 — e x p - ( m - \)P(y^h)]

dx,

(П2.8)

—00

пли, что то же самое,

Р(е) 5гР(.ѵ-</і)[І— exp— (m— l)P(y^h)].

(П2.9)

Границу (П2.9) можно еще больше упростить, заметив, что при

e x p — 1 — и + и 2 / 2 .

Следовательно,

	X[\-—)mP(x<h)P(u>>h).		(П2.10)
Наконец,	заменим (1—1/т) в	(П2.10) ее максимальным	и мини
мальным	значениями: 1 и Ѵг	(при т~^.Ч)—предположим,	что h
подбирается так, чтобы
	тР{у>!і)^\.		(П2.1 la)

В результате получим

P(c)>-j-P(x<h)P(y^h)

(П2.116)

при условии, что Л удовлетворяет (П2.11а). Таким образом, уста новлена нижняя граница (4.306).

П2.2. КАНАЛ С А Д Д И Т И В Н Ы М Б Е Л Ы М ГАУССОВСКИМ ШУМОМ

Применим теперь неравенства (П2.4) и (П2.11) к каналу, в ко

тором единственным видом помех является аддитивный					белый гаус-
совский шум со спектральной плотностью				мощности	N0	(Вт/Гц)
(по односторонней	шкале).	При	выполнении	условий,	описанных
в § 5.1, случайные	величины	х	и у в (П2.4) и (П2.11)			являются

независимыми гауссовскими величинами с единичной дисперсией.

Среднее значение у равно нулю, а среднее значение				х	равно	Via,
где а — отношение энергии сигнала		к'спектральной		плотности		мощ
ности шума. Поэтому	вероятности Р(х^Іі)		и P<{y~^h)		можно	запи
сать как
P	(X < ft) = Ф (ft — ѴИя)				(П2.12а)
и	P(y>h)=d>(—h),				(П2.126)

г д е Ф ( - ) — ф у н к ц и я	распределения	гауссовской		случайной		вели
чины с нулевым средним н единичной дисперсией.

249

П2.2.1.	Нижняя	граница
В этом параграфе получена нижняя		граница вероятности ошиб

ки в канале с аддитивным белым гауссовским шумом. При выводе

потребуются следующие свойства						гауссовской функции распределе
ния при отрицательных			значениях			аргумента [2]:
где		£ і ехр(—23 /2) < Ф ( г ) s £ B 2 e x p ( — 2 2 / 2 ) ,								(П2.13а)
где
		B ,	=	(\/Vbi\z\)(l-^J,			•			(П2.136)
а Вп может быть принято равным						1 или
				ß a =	1/]/2^ \|з\|.					(П2.13в)
Используя		(П2.11) — (П2.13),				получаем
	Р (е) 3* К,т ехр _				4	[Лг +	(Л — V2~ï)*\			(П2.14а)
при условии, что „
и				тФ(—ft)s£l						(П2.146)
и
				0 < / г < / 2 с Т ,						(П2.14в)
где
		1		И —	Т Г ^ Г і		—	1-		(П2.14г)
	8яА ( Ѵ ^ —		h)	И —	Т Г ^ Г і		—	1-	v	(П2.14г)
1 —
Очевидно,		что неравенство				(П2.146) будет удовлетворяться,
если удовлетворяется следующее						неравенство:
				т е х р ( — / і 2 / 2 ) < 1 ,						(П2.15)

полученное из (П2.146) заменой Ф(—h) ее верхней границей, в ко торой принято для простоты ß 2 = l . В частности, если т. определить лараметрически через h:

				т=ехр	(Л2 /2),				(П2.16а)
то граница	(П2.14)		переходит в следующую:
		Р (е) Эг^гС, ехр —(/г — V2ây/2.							(П2.166)
Введем		теперь	величины		R — скорость передачи сообщений
в системе	и	С —пропускную способность					канала,	равные	по опре
делению:
			R = \ogmlx,			ібит/с,			(П2.17а)
			C = ^ - r ^ 2 - ,			бит/с			(П2.176)
где X—время,		отведенное		для	передачи		одного	сигнала.	Выразив
а и h в (П2.14г) и			(П.2.І6)	через R, С и т, получим
			P j » > / C , ; 2			-,			(П2.18а)

250

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3125 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ