книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

П о д с т а в л я я правую часть (7.366) в

(7.36а), получаем

Zi =

I « (р) afp | J и (t — р) r (t) ехр / К

— cnd) ("Л | \

(7.37)

П р а в у ю

часть этого

в ы р а ж е н и я

м о ж н о

интерпретировать

схемой,

показанной

на рис. 7.5.

Н а этой схеме

первый

Фильтр,

согласован­

Квадратичный

Фильтр,

согласованный^

ный, с

сигналом

детектор

с

сигналом

огиВающей

6(

г)

Отсчет

8

момент

времени

Рис. 7.5. Демодулятор с

корреляционным

ядром

для

капала

с рас-

сеянием только во времени.

времени.

Величина на выходе последнего

измеряется

в момент

/ = 0.

Схема

на рис. 7.5 эквивалентна схеме

оптимального

значения R(t,

х) равны

м е ж д у собой

и к а н а л

является

рассеивающим

только

во времени. С

другой

стороны,

пользование

д а ж е тогда,

когда, она

не оптимальна . М ы

еще вернемся к этому вопросу, но

сначала

рассмотрим

схему д е м о д у л я т о р а с корреляционным ядром

дл я кана ­

ла с рассеянием только по частоте.

Канал

с рассеянием

только

по частоте

К а н а л ы ,

о б л а д а ю щ и е

только

частотным

рассеянием,

описываются

функцией

рассеяния

вида

о (r,

f) =

ô(r-r0)a(f).

Соответствующая комплексная корреляционная

функция

равна

R (t, т) = и (t -

r„) [ f з (f) ехр /2nf (г -

t) df] и* ÇÎ

- r 0 ) .

(7.38)

тогда приходится

у м н о ж а т ь на

действительную

и мни­

мую части u(t,—І'О)

и полученные сигналы

пропускать че­

рез фильтры с импульсными откликами,

я в л я ю щ и м и с я

действительной и мнимой частями gi(t).

Схема

такого

приемника п о к а з а н а на рис.

7.6,6

д л я

случая,

когда

gi(t)—вещественная

функция .

Хотя

она

иногда

может

лее предпочтительная . Она

п о к а з а н а

на рис. 7.7 и выпол­

няет приблизительно те ж е

преобразования сигналов,

что

и схема на рис. 7.6,6". Точнее говоря,

м о ж н о показать,

что

она выполняет те ж е операции, если

полоса частот

при-

Импульсный отклик

Интегратор

r(t)

Импульсный

отклик

а — ч(І) — вещественная

функция,

fiff(0—произвольная

функция; б — и(і) —

комплексная

функция;

gt(l) — вещественная

функция.

несущей

ю; [4—6].

детектор — интегратор. Иног­

Фильтр — квадратичный

да

ж е л а т е л ь н о

обойтись

без умножителей в демодулято ­

рах

ответвлений.

Р а с с м о т р и м

схему, в которой

они не

н у ж н ы .

Т а к ка к а ( / )

неотрицательна и интегрируема,

[o(f)][/2,

интегрируема

в к в а д р а т е . Е е преобразование Фурье рав ­

но

h(x).

Следовательно,

M(0,

t,)

является

корреляцион ­

ной

функцией

h(x):

M

(0, /) =

J /г* (і + л-) Л (л-) dx,

(7.43а)

где

h (x)

=

J

[a {f)}1'2

exp -

}2nfxdf.

(7.436)

Подставив

правую

часть

(7.43а) в (7.40) и изменив пере­

менную

интегрирования,

получим

Zi =

[

dy\ J

/' (/) и* {t -

г0 ) Іц {y — t) dt

\-,

(7.44a)

где

\ц

(i) =

h (t) exp jioit.

(7.446)

Второй

интеграл

в

(7.44a)

аналогично

интегралу

в

(7.27)

является

к в а д р а т о м

огибающей

сигнала

Re[j г

—г0 ) Iii {у—t)dt],

1 1

е г о

можно

вычислить

в схеме,

аналогичной

схеме

на

рис. 7.2,6. Выходной сиг­

н а л

этой

схемы

затем

пропускается через

интегратор и

в результате получается

z,-. Таким

образом,

весь

демоду­

тельных значениях аргумента . Но это

не так

в а ж н о , по­

скольку обычно он спадает до нуля

при

достаточно

точно аппроксимировать

с помощью реализуемого филь ­

тра, импульсный

отклик

которого равен:

^ =

m t - * ) w t > o .

( 7 4 5 )

\ 0

при г*<0,

которых фильтр на схеме рис. 7.8 является

реализуемым .

Условия реализуемости фильтра. При построении де­

модулятора

с корреляционным

ядром

по

схеме рис. 7.8

м о ж н о использовать фильтр с

л ю б ы м импульсным от­

кликом, у д о в л е т в о р я ю щ и м соотношению

(7.43а).

Поэто ­

му вопрос о реализуемости фильтра более

правильно по­

ставить так: существует ли фильтр с импульсным

откли­

ком, у д о в л е т в о р я ю щ и м

(7.43а)?

Д л я

того чтобы

ответ

Амплитудная

Импульсный,

Квадра

-

модуляи,ия:\и(і-г0%

тичный

отклик

Фазобая

модуля­

детектор

ция •• -arg

и (t-r0)

огибающей.

Рис. 7.8. Демодулятор

типа

фильтр—квадратичный детектор —

на этот вопрос

был

положительным,

преобразования

Фурье обеих

частей (7.43а) д о л ж н ы

быть

равны . С дру­

гой стороны,

если

h(t)

удовлетворяет

некоторым доволь ­

ние Фурье правой части (7.43) равно к в а д р а т у

обратного

преобразования h(t)

[24, 25], т. е.

где

<тШ = | Я ( П | * ,

(7.46а)

Я ( Л =

JA (t) ехр \2vftdt

(7.466)

(7.47)

Наоборот,

если

последнее

неравенство

удовлетворяется,

существует

такой реализуемый импульсный

отклик,

пре­

о б р а з о в а н и е Фурье которого удовлетворяет

(7.46а).

Кро ­

ме того, если этот импульсный отклик, допустим

ll(t),

удовлетворяет

некоторым

достаточно

мягким

м а т е м а т и ­

ческим ограничениям,

преобразование

Фурье

от

| Я ( / ) | 2

равно

корреляционной

функции h(t)

и,

значит,

h(t)

удовлетворяет

(7.43а)

[24, 25].

Этим

з а в е р ш а е т с я

а н а л и з д е м о д у л я т о р о в

с

корреля ­

оптимальности или неоптимальности частично

оправды ­

вается их простотой.

К р о м е

того,

можно о ж и д а т ь , что

система,

и з о б р а ж е н н а я на рис. 7.5,

д о л ж н а

при

ß7"<Cl

работать

не

х у ж е

д е м о д у л я т о р а с корреляционным

ядром . Аналогично системы,

п о к а з а н н ы е на

рис. 7.7 и

7.8, д о л ж н ы

работать

не х у ж е

демодуляторов с

корреля ­

ционным

ядром при

LW<^\.

К с о ж а л е н и ю ,

эти

сообра­

жения м а л о что говорят о «приемлемых» схемах

демоду­

ляторов

дл я к а н а л о в

с з а м е т н ы м рассеянием по обоим

измерениям . Перейдем теперь к обсуждению этой

задачи .

Схема

демодулятора

П р е д п о л о ж и м п р е ж д е

всего,

что

функция р а с с е я н и я ,

к а н а л а может быть в ы р а ж е н а в

виде

взвешенной суммы

функций рассеяния:

(74.8)

в которой к а ж д а я

функция

а,(7, f) — функция рассеяния,

a рі — положительные числа,

равные

в

сумме

единице.

Если функция

рассеяния имеет

такой вид, иногда

м о ж н о

к а ж д ы й

из демодуляторов

ответвлений

с

корреляцион ­

ным я д р о м составить

из н а б о р а

более

простых

д е м о д у л я ­

торов. В частности, это возможно, когда ОІ(Г, f)

стано­

вятся функциями только одного аргумента .

Действительно,

комплексная

к о р р е л я ц и о н н а я

функция,

соответствующая

(7.48), равна:

Я ( М = £ л & М .

(7.49)

где

i

% (t, t)=[u(t

—

г) at (r, f) ы* (x -

r) exp j2%f (x —f)

drei].

(7.50)

Из в ы р а ж е н и й

(7.3)

и (7.49)

вытекает,

что выходную ве­

личину Д К Я к-то ответвления

можно представить

в виде

z/t =

2 ? f t

,

(7.51а)

где

zik =

pi J f r {t) Ri

(t, x) r (x) exp К

(t -

x) dtdz..

(7.516)

Следовательно,

zu

можно р а с с м а т р и в а т ь

как сумму эле ­

ментарных величин

Z i h . .

а(г,

f)

Если

э л е м е н т а р н ы е функции рассеяния

явля ­

способ н а х о ж д е н и я z,vi очевиден,

и полный

демодулятор

оказывается

относительно

простым в

реализации

при

условии,

что

число членов

в (7.48) не слишком велико.

Конечно,

при

увеличении

числа

членов

его

р е а л и з а ц и я

становится практически

невозможной .

О д н а к о в

этом

o ( r , f ) = -

2 f t 8 ( f - 8 , ) |

;(г),

(7.52)

где рі>0

(=i

и £ р г = 1 .

Это значит,

что она состоит из

суммы

элементарных

функции рассеяния только

По за-

при этом

почти не

у с л о ж н я е т с я .

*

«•

Действительно,

если

УѴ возрастает так, чтс

^ Ѵ ^ Р і Х

І

Хехр—j2%bit

стремится к пределу vù{t), схема на рис. 7.9,о

сводится

к

еще более

поостой схеме,

показанной

на

рис. 7.10.

Хотя демодулятор на рис. 7.10 построен

путем

доволь ­

вует

структуре

Д К Я . Это верно, например,

в

случае,

когда функция

рассеяния имеет

вид двумерного

гауссов-

r(t)

Фильтр,

Квадратичный

Фильтр,

согласобанный

согласобанный

с сигналом

детектор

с

сигналом

огибающей

Отсчет

Re[u,(t)ur(t)expjùjkt^

6

(г)

"6 момент

-

бремени

t=0

Рис. 7.10. Демодулятор рис. 7.9, б в

пределе,

когда

5J

Ѵр~і X

і

ского

распределения

и комплексная

о г и б а ю щ а я

сигналов

т а к ж е

имеет гауссовскую

форму,

т. е. если они

описыва­

ются

соотношениями

(7.30).

Краткий

анализ

качества

приема

Хотя схема д е м о д у л я т о р а на

рис. 7.10 о б л а д а е т мно­

печивает

худшее

качество

приема ка к по сравнению

с

оптимальным

демодулятором, та к

и по сравнению

с Д К Я - О д н а к о

из в ы в о д а

этих схем

следует, что они

д о л ж н ы хорошо

р а б о т а т ь

в к а н а л е

с рассеянием

только

по

одному

измерению, о б л а д а ю щ е м

одинаковыми

поло­

оценки качества можно получить из

приведенных

н и ж е

рассуждений .

Анализ

систем с

д е м о д у л я т о р а м и

ответвлений, по­

строенными

по схеме

рис. 7.10, легко сводится к опреде ­

лению совместной плотности вероятностей выходных

вели-

чин m д е м о д у л я т о р о в

ответвлений при з а д а н н о м пере­

д а в а е м о м

с и г а а л е . Эта

з а д а ч а

сильно

упрощается,

если

различия

м е ж д у СОІ настолько

велики,

что выходные

ве­

статистически независимы друг от друга .

В этом

случае

нужно определить только статистические

свойства

к а ж ­

тичных детекторов для слабо рассеивающих

к а н а л о в .

Воспользуемся им и теперь.

Искомые статистические свойства м о ж н о достаточно

просто

установить,

перестроив

схему

на

рис.

7.10

так,

как

показано на

рис. 7.11. Т а к а я перестройка

в о з м о ж н а

Ht)

к-й

Коадратичныш

согласобанный

детектор

Интегратор

фильтр

огиРа/ощей

Рис. 7.11. Представление величины на выходе демодулятора

как

интеграла от квадрата гауссовского случайного процесса.

ввиду того, что сигнал y(t)

на

рис. 7.11

является резуль­

татом

линейного

п р е о б р а з о в а н и я принятого

сигнала

т(і),

a r(t)

представляет

собой

случайный

гауссовский

про­

цесс

с

нулевым

средним. Следовательно, y(t)—это

так­

ж е

гауссовский

случайный

процесс с нулевым

средним.

А именно,

сигнал y(t) можно р а з л о ж и т ь в

р я д К а р у -

нена — Л о э в а

со статистически независимыми

случайны ­

демодуляторов

ответвлений

в ы р а ж а ю т с я

тогда

в

виде

суммы к в а д р а т о в этих коэффициентов . С

такими

сумма­

ми мы у ж е сталкивались при а н а л и з е

оптимальных

де ­

модуляторов, где были определены их

производящие

функции

моментов. Аналогично

могут

быть

.получены

производящие

функции моментов

д л я схемы на рис. 7.11.

З н а я их,

м о ж н о воспользоваться

границами

вероятности

ошибки

(4.30)

и границами

распределения вероятностей,

приведенными

в приложении

3, и получить

границы веро-