книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

при D,

у д о в л е т в о р я ю щ е м условию

(7.196)

К а к

и в гл. 6, н а и л у ч ш а я оценка получается, когда

нее

пользоваться оценкой, с о д е р ж а щ е й только

значения

a, b

и X. З а м е т и м , что п р а в а я часть (7.196) превышает

b{(l

+ab)Д(1 + а Л ) ] 2 , где X— произвольная

верхняя гра­

ница Я І . П р и м е м D = b[(l -fab)/X(1 -fctA,)]2 .

Тогда

э ф ф е к ­

Следовательно,

общее

эффективное отношение

сиг­

н а л / ш у м по энергии удовлетворяет

неравенству

~

ab f 1 -f- ab у 3

, п

П Г ) Ч

в е 5 в - г -

та

• •

( 7 - 2 2 )

В ы р а ж е н и я

(7.20) и

(7.22)

показывают,

что исходная

система, в которой используется приемник

с к о р р е л я ц и ­

работает, по крайней мере, не х у ж е системы

с разнесе ­

нием и равными весами ветвей, использующей

оптималь ­

энергии (ab/X)[(l+:ab)/(l

+ a\)¥

и отношении с и г н а л / ш у м

по энергии на ветвь разнесения

аХ. Следовательно,

вели­

чину (b/X)[(l+ab)/(l+a.X)f

м о ж н о трактовать как

ниж ­

системы

с оптимальным демодулятором, обозначим ее еі.

Т а к и м

образом,

где b определяется

(7.11 в ) , а

К — произвольная

верхняя

граница

Я,,-.

К а к

и в гл. 6, поучительно выяснить, какое

наилучшее

качество передачи м о ж н о обеспечить с помощью

явного

разнесения . С

этой

целью

з а м е н и м

А, н а D~l

X,

a

b

на

D^-1 b, где Dc — степень

используемого явного

разнесения,

и, в а р ь и р у я Dc,

найдем

минимальную вероятность

ошибки.

П р и

такой

оптимизации в гл. 6 оказалось, что

опти­

мизация

по De

сводится к оптимизации эффективного

от­

ношения

сигнал/шум

по

энергии на

ветвь

разнесения

в системе с р а в н ы м и

весами

ветвей. Сейчас

положение

намного

сложнее,

поскольку

si зависит от Da

и,

значит,

сти ошибки и по ei и

по величине эффективного

отно­

шения сигнал/шум по энергии на ветвь разнесения

aK/De.

В некоторых з а д а ч а х

целесообразно проводить

т а к у ю

из

более

точных результатов," полученных при выводе

(7.23). Д л я

упрощения выведем формулы, которые

мож ­

но

было

бы

а н а л и з и р о в а т ь с помощью

результатов

гл. 5.

В частности,

выберем величину De так,

чтобы эффектив ­

разнесения ak/De

было равно а°Р,

величина которого за ­

дается

г р а ф и к а м и

на

рис. 5.4.

Следовательно,

De = aX/a°P.

(7.24)

П р и таком выборе степени явного

разнесения

результи­

рующее

значение

еь

которое

мы

обозначим

г%,

равно:

В ы р а ж е н и е (7.25)

является

оценкой эффективности

данной

системы

по отношению

к

оптимальной

системе

деляемом (7.24), имеет, по крайней

мере, т а к у ю

ж е поме ­

хоустойчивость, как и о п т и м а л ь н а я

система с

равными

Чтобы оценить численные

значения ег по (7.25), поло­

ж и м X равной доминантному

собственному значению Яо

и рассмотрим работу системы

в р е ж и м е сильного рассея­

значения которой приведены

в табл . 6.3.

Поскольку часто

е ' т о > 0 , 7

,

можно

ожидать , что

ег будет

больше

примерно

0,4 при

а% = 3

(ß

превышает

критическое

значение)

и

примерно 0,35

при

а % — > - о о .

Ф о р м у л а

(7.25)

удобна

своей простотой

и

тем,

что

достигнуто

за счет

некоторого ослабления д а в а е м ы х

ею

результатов . Более

сильные результаты можн о получить

с помощью

оценок,

приведенных в гл. 4 и приложении

3.

тельства) об одном

результате: при больших значениях ß

можно

принять

Ег =

Ь/Х.

М ы

описали

в а ж н ы е случаи, когда ядро оптимального

ного в реализации . К счастью,

в

некоторых случаях он

действительно проще. Н о в этих

случаях

можно

предло ­

жить другие, еще более простые

схемы

демодуляторов,

иногда более предпочтительные

д а ж е несмотря

на боль­

7.3. КАНАЛЫ СО СЛАБЫМ РАССЕЯНИЕМ

Напомним , что согласно (6.24)

б а з о в а я комплексная

корреляционная функция

нерассеивагощего к а н а л а

равна:

R

(t,

т) = u(t—r0)

и* (х—го)

ехр /ею {x—t),

(7.26)

где ad — 2nfd,

а г0

и

fa — номинальные

з а д е р ж к а

и доп-

плеровский

сдвиг

в

к а н а л е соответственно. И з

(7.4)

и

(7.26) с очевидностью следует, что

h(t,

т)

д л я нерассеи­

вагощего к а н а л а пропорциональна

R(t,

т ) .

Поэтому

вы-

ходнои сигнал zt

оптимального

д е м о д у л я т о р а ("-го ответ­

вления

м о ж н о

выразить

в

виде

I r (г) и* (t -

г0 ) ехр -

/ (%• - cod) tdt

(7.27)

где со,—

частота

несущей

г-го

передаваемого

сигнала,

з а д а в а е м а я

(7.1 в).

Структура

демодулятора

П р а в о й

части

(7.27)

м о ж н о дать несколько

полезных

интерпретаций

[13—16].

Все они

вытекают из

того, что

I f (^) ехр/соо^ 12

является

к в а д р а т о м

огибающей

функции

времени

R e [ / ( 0 е х р jmt],

а величина Re[$r(t)q(x—t)

X

Хех'р/шо(т—i)di]

равна

значению в момент времени т

сигнала

на

выходе фильтра с

импульсным

откликом

r(t)

Линейный

фильтр

с

Квадратичный1

уМ

постоянными

параметрами..

детектор

_

Импульсный

отклик

огид~аюш,ей.

xfr)

Квадратичный

Фильтр

нижних

у (г)

преооразова

тель

хЦх)

частот

5

Рис. 7.2. К анализу структуры демодулятора.

Re[<7(£)exp/cöo(l при подаче на

его вход вещественного

сигнала

r(t).

Следовательно,

\l

r(t,)q(x—f)exp/coo(t—

—t)dt\2

— это

значение

к в а д р а т а

огибающей

выходного

сигнала

фильтра

в момент времени т. Эти выводы отра­

ж е н ы

па рис. 7.2,Ö.

Д е т е к т о р огибающей

на рис. 7.2,а определен

только

математически, но если

полоса

частот

функций

r(t) или

q(t)

м а л а

по сравнению с несущей

частотой соо, то детек­

тирование

огибающей иівозведение в к в а д р а т

могут быть

п р и б л и ж е н но реализованы схемой pire. 7.2,6. Если полоса

пропускания фильтра

намного больше

полосы частот

г{()

и q(t), но значительно

меньше несущей

частоты, то

такое

фильтра н и ж н и х частот дает удовлетворительное

прибли­

жение к искомой процедуре [1.5, 16].

Вернемся

теперь

к

интерпретации

(7.27) -и

выразим

правую часть

этого

равенства

в виде

Zi =

\\r(t)q{ra-t)dl

(7.28а)

где

q (I) = и*{—

t) ехр / (щ — (od)t.

(7.286)

Фильтр с импульсным откликом Re{q(t)]

обычно

н а з ы в а ­

ют

согласованным с сигналом

Re[u (/)ехр/(ш,—(Od)/],

пли

просто согласованным

фильтром

[17,

18]. Таким

образом,

д е м о д у л я т о р

і-го ответвления состоит

из . согласованного

Ht)

Фильтр,

согласованный

Квадрати

чный

с

сигналом

детектор

Отсчет

в

Re[u(t}ey.pj(ÛJrùJd)t}

огибающей

момент

времени

ч

=г

"

'о

rft)

Фильтр,

согласованный,

Квадратичный

с

сигналов

детектор

кг[у(*)ехр/а>££]

огибающей

Отсчет в

мент времени

t—го. Т а к а я трактовка о т р а ж е н а на рис. 7.3.

Н а п о м н и м

результат из гл. 3, что данный к а н а л мо­

15—221

225

ф у н к ц ия рассеяния

к а н а л а

л о к а л и з о в а н ы

во

времени

(или по з а д е р ж к е )

и по

частоте

(по

допплеровскому

сдвигу) . О д н а к о

оптимальный

д е м о д у л я т о р

ответвления

при достаточно

малых ВТ

и

LW

всегда

м о ж н о

хорошо

но использовать и в тех с л у ч а я х , когда она

не

оптималь ­

на. П о э т о м у представляет интерес

определение

качества

такой системы, независимо

от того,

оптимальна

она или

нет. М ы рассмотрим 'более

общую

з а д а ч у

и

определим

ции R (t,

t) при всех

неравных значениях і и /г.

П р и

выполнении

этих условий а н а л и з системы упро ­

ется

гауссовским

случайным

процессом,

его о г и б а ю

щ а я

распределена по

рэлеевскому

закону,

ее к в а д р а т — по

за­

кону

X2 с д в у м я

степенями свободы

[19,

20]. К р о м е того,

ляторов ответвлений такое ж е ,

как и

в к а н а л е с рэлеев-

скими, или г л а д к и м и во времени

и п о

частоте з а м и р а н и я ­

среднее отношение сигнал/шум

по энергии,

Г =

J J о* (f) R (t,\)

v (т) dtdt,

(7.29)

R(t, т) — п о - п р е ж н е м у

базисная

комплексная

корреляци ­

онная функция

(4.4).

Значит, система работает к а к си-

вей

при

отношении

с и г н а л / ш у м

по

энергии

ае.

К а ч е с т в о

системы

зависит

от

характеристики

фильт­

ра

только

через

посредство

величины

е. Так

как

е < 1 ,

и это значение

д о с т и г а е т с я

в

нерассеиваюідем

канале,

естественно рассматривать s как меру эффективности си­

стемы,

п о к а з а н н о й

на

рис.

7.4,

относительно

нерассеи-

в а ю щ е й

системы. И н а ч е говоря, если в качестве

базового

сигнала

в системе

с

Д . - к р а т н ы м

явным

разнесением

и

р а в н ы м и весами ветвей используется

о г и б а ю щ а я

и(і)

и

если к а ж д а я

с о с т а в л я ю щ а я

сигнала

о б р а б а т ы в а е т с я

де ­

модулятором, построенным по схеме рис. 7.4, то

т а к а я

система

имеет

т а к у ю

ж е

помехоустойчивость,

как

и

си­

стема с разнесением и равными весами ветвей при отно­

шении сигнал/шум

по энергии

на

ветвь разнесения

ae/De

i и общем отношении

сигнал/шум по энергии

ае. В частно­

сти, если величина De

п о д о б р а н а

так,

что a£/De

= a°p,

где

а°р

определяется по

г р а ф и к а м

рис. 5.4, то

система

обла ­

дает такой ж е

помехоустойчивостью,

как

и

о п т и м а л ь н а я

система с разнесением и равными весами ветвей при от­

ношении

сигнал/шум

по

энергии

на

один

бит

и н ф о р м а ­

ции, с о с т а в л я ю щ е м

часть

е этого

отношения

сигнал/шум

в данной

системе.

Оптимальный

фильтр. Рассмотрим

теперь фильтр с та­

ким импульсным откликом, при котором величина е д л я

данного

комплексного

сигнала

u(t)

м а к с и м а л ь н а .

Найти

явное в ы р а ж е н и е д л я

такого

импульсного

отклика

в

об­

щем случае довольно трудно, но м о ж н о получить полез­

ное

косвенное

его описание. М о ж н о

показать,

что

е мак ­

симально

при

v(t),

я в л я ю щ е м с я

собственной

функцией

R(t,

т ) ,

соответствующей

ее доминантному

собственному

значению

Ко. Это экстремальное

свойство

собственной

функции — хорошо

известный

результат

теории

инте­

гральных

уравнений

Эрмита

[1, 2]. И з

нее т а к ж е

следует,

что

результирующее

м а к с и м а л ь н о е

значение

е

равно Ко-

Зависимость

оптимального импульсного

отклика

v(t)

от

функции

рассеяния

проще

всего

проиллюстрировать

на

п р и м е р а х .

С

этой

целью

п р е д п о л о ж и м ,

что

функция

рассеяния

имеет

в и д

двумерного

гауосовского

распреде ­

ления

J 5*

227

s (r, /) =

- f - exp -

- g - [(гВу

+

(/L) 2 -

2/f

| /

( £ L) a -

S*']

(7.30a)

и комплексный сигна л

т а к ж е

имеет

вид

импульса

гаус-

совской

форм ы

[и (0 =

- | ^

exp. -

*

( - f ) ' I 1 +

/ f

W

F

T

] .

(7.306)

Эта система, рассмотренная в гл. 6, имеет

комплексную

корреляционную

функцию, з а д а в а е м у ю

(6.37).

В силу (6.37) и (6.39) доминантное собственное зна­

чение Ло определяется

в ы р а ж е н и е м

(7.31)

К р о м е

того,

из обоснования формул ы

(6.39)

т а к ж е

сле­

д у ю щ а я функция

[21, 22]:

Л О - у ^ е х р - т г ^ у і І + у ^ / Ѵ і ^ Г - І ] ,

(7.32а)

где

т

=

Ѵп

+ Г>

Т

1 1 +

[ВТУ

+

(ШУ

+ 5 2 — 2У (TWy-\

V (BLy

— S"-\m

(7.326)

w

=

У& +

1 У {BLy — S2^1'1

T

(Bry

+

(LWy2V(TWy—

(7.32B)

Т а к им

образом,

u(t)

следует

положить равной

правой

части

(7.32а). Тогда результирующее значение е будет

равно правой части (7.31).

Величины Тг и Wr

я в л я ю т с я соответственно

длитель ­

ностью и

полосой частот фо(Х)- Хотя

общие

в ы р а ж е н и я

д л я Тг

и

WT несколько

громоздки, они

явно показывают,

превышат ь соответствующие

значения

д л я

фильтра, со­

гласованного

с u(t).

Этого следовало ожидать, поскольку

в «сигнальной»

компоненте

принятого

сигнала энергия

распределена

с о в р е м е н н о м у

интервалу,

значительно пре­

в ы ш а ю щ е м у

Т,

или

частотному интервалу,

значительно

О п т и м а л ь н ая

модуляция .

Д о

сих

пор

максимальное

значение

е отыскивалось

только

путем

подбора

фильтра

д е м о д у л я т о р а .

Ц е л е с о о б р а з н о

подобрать

т а к ж е

опти­

мальный вид п е р е д а в а е м ы х

сигналов

u(t).

Эта

двойная

в а р и а ц и о н н а я

з а д а ч а

о б л а д а е т

строгой

симметрией,

ко­

тора я

лучше

о б н а р у ж и в а е т с я ,

если

(7.29)

выразить

в виде

7=

J J

Ж (а, ß) Ѳи (ß, а) ö*u

(ß, а) dad$,

(7.33)

г д е ,

как

и п р е ж д е ,

31 (а, ß) =

j J a (r, f) exp j2it (ra +

/ß) drd/,

(7.34a)

6U

(ß, a) =

j U ^

-

- L j

u* ^

- f - L ^

exp / 2 i t a f ( 7 . 3 4 6 )

e„ (p, a) =

j

о

-

- i

- J

(t

-

f - t

j

exp

J2wafcft.

(7.34B)

П о л ь з у я с ь этой

симметрией и учитывая некоторые дру ­

гие соображения,

можн о

показать, что м а к с и м а л ь н о е зна­

чение

е

достигается

в

большинстве

случаев

при

u(t)

=

= v(ty.

Это значит,

что если

система

на рис. 7.4 оптими­

зирован а

по v(t)

и по и(і), то полученный фильтр в боль­

шинстве

случаев

согласован

с

u(t).

М ы не выяснили наиболее общих

условий

справедли ­

вости

полученного результата . То, что он не.всегда

верен,

ром,

когда

в к а н а л е

происходят

з а д е р ж к а сигнала

по

времени и смещение по частоте,

но отсутствует рассея ­

ние.

Однак о

д л я всех

каналов,

д л я которых M (a,

ß)

В

частности, в

силу неравенства Ш в а р ц а

[23]

' I j

J

(a. Р) Ѳи

(р, а) Ѳ \ (p, a) dad? |' < [ j j | &

(a, P) |

X

X

I Ъи (P, a) f аааЩ

(a, ß) || % (p, а) | 2

dad?].

Л е в а я

часть этого в ы р а ж е н и я

м а к с и м а л ь н а

при

и(і) —

= v(tl).

Следовательно,

max е <

max

l|G%(<x,ß)||6u(ß,a)| 2 dadß

,

(7.35)

( U ( ( ) L J J

1

229