книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

редаваемых

сигналов

д о л ж н о

п р е в ы ш а т ь значение

пра ­

вой части в ы р а ж е н и я

(6.100а). В частности,

еслиМ{х,у)

может

быть

представлено в

виде (6.99),

п р а в а я

часть

(6.100а)

равна a°PL;

отсюда

следует, что

максимальное

мых

сигналов д о л ж н о

возрастать

пропорционально

L .

Мы рассмотрели з а д а ч у синтеза сигналов с несколь­

ких точек зрения дл я того, чтобы достичь

некоторого

понимания этой в а ж н о й проблемы . Хотя

мы не в состоя­

нии еще в полной

мере

решить ее, все полученные

резуль­

таты показывают, что дл я выбора достаточно

хороших

сигналов

м о ж н о

использовать

относительно

простые

оценки разнесения

и что эти сигналы

зачастую

обеспечи­

вают

качество передачи, сравнимое с качеством

передачи

в

оптимальной

системе.

Д р у г и е

подходы

к з а д а ч е

син­

теза

сигналов

приводят

к подобным

ж е

з а к л ю ч е н и я м

[6,

9,

17,

18].

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Л л .6 о у

и др. Пояс «West

Ford» каж среда

для

осуществления

. связи. — f ИИЭР, 1964, № 5, с. 574.

2.

R. S. K e n n e d y

and

I . L. L e b o w ,

«Signal

Design for

Disper­

sive Channels».

IEEE. Spectrum," pp. 231—237, March 1964.

3. R. C o u r a n t

and

D. H i l b e r t , Methods

of

Mathematical

Phy­

sics. New York: Interscience

1953, p. '133.

4.

Ф. Tip и к о м и .

Интегральные уравнения. M., ИЛ, 1960.

5. F. S m i t h i e s ,

Integral Equations. London: Cambridge Univer­

sity Press, 1958, pp. 130—135.

6.

H.

L.

V a n

T r e e s ,

Detection, Estimation,

and

Modulation

Theory,

New York: Wiley, 1970, 2, Chapter 4.'

7. R. P r i c e

and

P. G r e e n ,

«Signal

Processing

in

Radar

Astro­

nomy— Communication via

Flictuating Multipath Medja,»

Lincoln

Laboratory. MIT, Tech. Rept. 234, pp. C78—C85,

DDC No

246782,

I960.

8.

Г.

Г. Х а р д я ,

Д.

E.

Л и т т л ' в у д ,

Г. П о л и

а.

Неравенства.

М., ИЛ., 1948.

9.

N. J. B e r s h a d .

«On the ОгЛітит Design

of Multipath

Signals.»

IEEE Trans. Inform. Theory.-pp. 389.

October

1964.

10.

R. C o u r a n t

and

D. H i I b e r t, Merhods

of

Mathematical

Phy­

sics. New York'

Inlerscience. 1953, p. 65.

11.

J. W. P i e r c e ,

«Error Probabilities for

a Certain

Spread

Channel.»

IEEE Trans. Commun. Systems, pp. '120—122,

March 11964.

14*

211

13.

J. N. P i e r c e ,

«Ultimate Performance

of M — ary

Transmissions

on Fading Channels.» IEEE Trans. Inform. Theory, pp. 2—5, Janua­

ry

1966.

связи. — В

14.

К.

Ш е н н о н .

Математическая теория

кн.: Труды по

17. N . J. B e r s h a d , «Optimum Binary FSK

for Transmitted Reference

Systems Over Rayleigh Fading Channels.» — JEEE Trans. Com­

mun. Technology, pp. 784—790, December

[966.

Д Е М О Д У Л Я Т О Р Ы

Д о сих пор

предполагалось, что в

р а с с м а т р и в а е м ы х

системах связи

используются

оптимальные

демодулято ­

ры.

Математические

операции,

которые д о л ж н ы

выпол­

нять т а к и е демодуляторы, определены

в гл. 4.

О д н а к о

их

ф у н к ц и о н а л ь н а я

схема т а м почти не

р а с с м а т р и в а л а с ь .

Цель данной главы — д а т ь более подробное

описание

лено, что построить оптимальные

д е м о д у л я т о р ы

часто

очень трудно. П о э т о м у будут рассмотрены

более простые

в р е а л и з а ц и и субоптимальные демодуляторы .

7.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ Д Е М О Д У Л Я Т О Р Ы

Вспомним, что, ка к показано

в гл. 4,

оптимальный

демодулятор состоит, по существу,

из m — по числу

пере­

д а в а е м ы х сигналов — п а р а л л е л ь н ы х ветвей, в к а ж д о й

из

которых включен д е м о д у л я т о р

ответвления. З а м е т и м

так ­

ж е , что к а ж д ы й демодулятор

ответвления в системе

с

D-

сочетание из

D

элементарных

демодуляторов,

причем

к а ж д ы й

такой демодулятор

является о п т и м а л ь н ы м

д л я

одной из D компонент

составного сигнала . Т а к и м

обра ­

зом,

достаточно

рассмотреть,

структуру

демодуляторов

д л я

систем, в которых

не используется явное разнесение.

И з

в ы р а ж е н и я

(4.17)

следует, что k-\\

д е м о д у л я т о р

ответвления

д о л ж е н определять

величину

(7.1а)

I

г д е

г л

== у^Г^г

(О У** О е

х о — / ®ьШ>

(7.16)

û f t =

2*[f 0

+

( 6 - l ) A ] .

(7.1в)

В

этих в ы р а ж е н и я х

r(t)

— принятый сигнал,

оэь — ча­

стота несущей k-vo передаваемого сигнала,

Ег — средняя

энергия

принятого

сигнала,

а — среднее отношение

сиг-

чения комплексной корреляционной функции R(t,

х),

за­

данные

ф о р м у л а м и

(4.4). Коэффициент

1/2 в

определе­

нии Zij

опущен,

т. е.

в

(4.17)

равно

У~2гц.

Функциональное

описание

П р е о б р а з у е м

правую

часть

в ы р а ж е н и я

(7.1а) в

функ­

циональное в ы р а ж е н и е ,

которое

о т р а ж а л о

бы

существо

операций,

выполняемых

н а д г(і).

Д л я

этого

подставим

(7.16) в (7.1а) и изменим порядок интегрирования

и сум­

мирования . Это изменение допустимо, так как

предпола­

гается,

что

число

рассеивателей

конечно.

Тогда

корре­

л я ц и о н н а я

функция

в ы р о ж д а е т с я

в функцию с

конечным

числом

положительных

собственных

значений.

В в е д я

функцию

а2

~

hu {t,

=

-щ-

h (t, i)

exp jwk

{t — x),

(7.2a)

где

получаем

2 f c = J J r ( 0 A * ( f , x ) r ( x ) d W x .

(7.3)

И з

в ы р а ж е н и я

(7.3)

следует,

что

з а д а ч а к а ж д о г о

де­

ядром

демодулятора.

В ы р а ж е н и е (7.26), я в л я ю щ е е с я определением h(ï,

т ) ,

трудно

поддается расчету, поскольку оно с о д е р ж и т

соб­

но из (7.26). Они получаются

т а к ж е как следствия того

факта, что —h{t, х) является

резольвентой Фредгольма

П е р в ое

в ы р а ж е н и е

позволяет

проверить,

является

ліі

некоторая

функция двух

переменных ядром д е м о д у л я т о ­

ра д л я данной функции

/?(/, х).

В

частности,

известно,

что h(t,

х)—единственное

решение

интегрального у р а в ­

нения

оо

-

h {t,

x) -f-

R {t, т) =

a

j " fiß, x) R[{x,

x) dx.

(7.4)

—0

Второе

в ы р а ж е н и е

дает

способ

вычислений

h(t,

х)

д л я

не с л и ш к о м больших

значений a, а

именно:

00

А

=

£

(-*)*-*Ri(t,*)t

(7.5)

i*=i

где

Rl(t,z)

= R(t,z),

(7.6а)

Ri

[t, x) =

\

~<i_,

(t. x)

Âf, (x,

z)'dx

при i >

1.

(7.66)

Этот р я д сходится, вообще говоря, только при

значениях

а, не п р е в ы ш а ю щ и х соответствующего доминантного

соб­

ственного

значения .

Уравнение (7.4) будет использоваться мало .

Р а з л о ­

жение (7.5) позволит н и ж е предложить некоторые полез­

ные схемы субоптимального приемника. Д о п о л н и т е л ь н ы е

сведения о работе оптимального д е м о д у л я т о р а

ответвле­

ния можно получить, преобразовав интеграл (7.3) к дру ­

гому

виду. Р е з у л ь т а т ы

этих преобразований,

выполнен­

ных в работах [4—12], используются н и ж е при

а н а л и з е

субоптимальных

схем.

Структурные

схемы

И з в ы р а ж е н и й

(7.2)

следует,

что

все функции

hj(t,

т)

о б л а д а ю т

следующим

видом симметрии:

hj(t,

x)=h*j(x,

t).

(7.7)

Поэтому интеграл

в

(7.3)

можно переписать

в

виде

00

t

Zj

=

2

\r(t)dt

J [Re hj

{t, т)] r (x) dx.

(7.8)

Т а к и м образом, демодулятор /-го ответвления

может

быть

построен

по

блок-схеме,

показанной

на

рис.

7.1.

В соответствии с этой схемой принятый

сигнал

проходи!

через физически

реализуемый линейный

фильтр

с

изме­

н я ю щ и м и с я во времени

п а р а м е т р а м и

и

импульсным от­

кликом 2Re/jj(4

т ) , п вычисляется в з а и м н а я

корреляция

сигналов на выходе и на

входе

этого

фильтра .

М о ж н о

показать, что

фильтр

на рис.

7.1

обеспечивает

минимальную

среднеквадратичную

ошибку

при

оценке

сигнальной компоненты в смеси сигнала

и ш у м а

па

входе

приемника

при

условии,

что передается

/-и сигнал. Т а к и м

образом, д е м о д у л я т о р ]-хо ответвления

м о ж н о рассматри -

Линейный,

фильтр

X

с

переменными

Интегрирование

параметрами

вать

к а к

процессор,

который

вычисляет

наилучшую

в среднеквадратичном смысле

оценку переданного

сигна­

ла, с о д е р ж а щ е г о с я в

принятом

сигнале при

передаче

/-го

сигнала,

и з а т е м находит взаимную

к о р р е л я ц и ю принято ­

го

сигнала

и этой оценки. Т а к а я

интерпретация

принци­

пиально верна, но не очень удобна практически

ввиду

трудностей

реализации

фильтра

с

переменными

параме ­

трами,

показанного

на рис. 7.1.

Я д р о

hj(t,

х) м о ж н о

т а к ж е представить

в

виде

°fa

і) =

\Яі

(*, X) q*l{x,

x) dx,

(7.9)

где

qj(t,

x)—ограниченное

и

интегрируемое

эрмитово

ядро .

Тогда выходные

величины

д е м о д у л я т о р а

/-го

от­

ветвления

м о ж н о выразить к а к

+00

I +00

[!

(7.10)

^ dx

V (t)

qj(t,x)]dt

Т а к а я

форма

записи

соответствует

представлению

демо ­

д у л я т о р а

/-го ответвления в виде

последовательного

со­

единения

линейного

фильтра,

квадратичного

детектора

огибающей

и

интегратора .

ными

п а р а м е т р а м и . Трудно т а к ж е

получить

явное

выра­

ж е н и е

д л я ядра д е м о д у л я т о р а h(t,

т ) . К р о м е

того,

струк­

стей

рассмотрим некоторые субоптимальные структуры .

М ы

придем к ним, р а с с м а т р и в а я сначала частные случаи,

Имеется два интересных случая, когда h(t,

х)

пропор­

ционально

комплексной

корреляционной

функции

R(t,

х) *\ Один из них

(менее

в а ж н ы й ) ,

когда а

очень

мало . Тогда

у к а з а н н а я

пропорциональность

следует не­

посредственно из

р а з л о ж е н и я

(7.5). Второй

(значитель­

но

более в а ж н ы й )

связан

с

х а р а к т е р о м

используемых

сигналов.

А именно, h(tj

х) пропорционально

R(t,

т ) , если

поло­

жительные собственные

значения

R(t,

х)

равны

м е ж д у

собой. Этот вывод, который легко получается из

(7.26),

если воспользоваться р а з л о ж е н и е м

(2.42),

в а ж е н

потому,

что сигнал, у которого все положительные

собственные

значения R(t,

х) равны

м е ж д у

собой,

является оптималь ­

ным. Конечно, мы вправе использовать

R(t,

х)

вместо

h(t,

х) независимо

от того, пропорциональны

они

или нет.

близки друг к другу, потери качества

передачи при

такой

з а м е н е будут невелики. Оценим их количественно.

Это можно сделать в два этапа .

С н а ч а л а

качество

передачи в такой системе сравнивается с качеством

пере­

дачи в некоторой другой системе, использующей

опти­

мальный демодулятор . З а т е м полученная оценка

сводит­

ся к оценке,

с в я з ы в а ю щ е й качество

в исходной

системе

с качеством

передачи в системе с равными весами ветвей.

Д л я

сравнения рассмотрим использование

оптималь ­

ного приемника в случае, когда собственные

значения

равны

КІ

и отношение

сигнал/шум по

энергии

равно

а.

О ш и б к а

в т а к о м приемнике возникает,

если

J

Ъ I ХіК Is <

J ] t ^

I ^

Г

ПРИ / ф

k,

(7.16)

где хщ

и

определяются

(7.15),

в

которых

а

и

Яг- за ­

менены

соответственно

на

а

и Яг-. Заметим,

что

Хіи

и

jCij

обладают теми ж е

статистическими

свойствами, что

И JÛjd И JCij.

Ясно, что верхней границей

вероятности ошибки

в д а н ­

ной субоптимальной системе м о ж н о считать

вероятность

того, что

Ц

Яг-( 1 vj-аЯг) I JCife 1а<С 2

*~г I JCij I2

при /=^=/г,

(7.17)

і

і

где

ХІ — произвольная

верхняя

граница Яг-. В частности,

%І

можно

определить

выражением

At (i + g*t)

1 + o A t ( I + a \ t

) / ( l + < Л ) '

где X — произвольная

верхняя

граница КІ. Это позволяет

нам представить (7.17)

в той

ж е

форме, что и

(7.16),

с

ваемой

соотношением

(7.11).

Хотя

оценка (7.11)

помехоустойчивости

приемника

с корреляционным

ядром и имеет определенную ценность,

она о б л а д а е т т е м и

ж е

недостатками, с которыми прихо­

(с корреляционным ядром)

по сравнению

с

системой,

в которой

используются

как

оптимальный

приемник, так

и разнесение с равными весами ветвей. Таким

образом,

получена

менее сильная

оценка, так как

только часть

только оптимального

приемника .

Потери

по

сравнению

с

системой

с

равными

весами

ветвей

И с к о м а я

оценка

получается

непосредственно

из

ниж ­

ней

границы

(5.77)

и

оценки

ухудшения

помехоустойчи­

вости

относительно

оптимального приема

(7.11).

Из

(5.77)

вытекает,

что

система

с

оптимальным при­

емником и заданными величинами а, Я;

и

ѵ

обладает,

по

меньшей

мере,

такой

ж е

помехоустойчивостью,

как и

система

с разнесением

и равными

весами

ветвей,

в

ко­

торой

полное

отношение

сигнал/шум

по

энергии

равно

a,

a отношение

сигнал/шум

по

энергии

на

в е т в ь

разне­

сения

— a V^ö/D,

где

е =

і / D b , .

(7.18a)

6 =

1!

я;,

(7.186)

5

=

£

^ .

(7.18в)

і

Э ф ф е к т и в н о е разнесение D может

быть

произволь ­

ным в

пределах

ограничения

D<9jd\

(7.18д)

И з

(7.18) следует, что система с оптимальным

прием­

ником, х а р а к т е р и з у е м а я

(7.11), обладает,

по крайней

ме­

ре, той ж е помехоустойчивостью,

что и система

с

разнесе ­

нием

и

равными

в е с а м и . ветвей

при

общем

отношении

сигнал/шум по энергии еа и отношении

сигнал/шум

по

энергии

на ветвь

разнесения

<^Ъ\й'

г Д е