книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

мость

которого д о к а з а н а

в приложении

4:

Я =

maxj' Ja

(r, /) 10 (r -

Л

/ -

/ ' ) | drdf,

(6.76)

где 0 ( r , / ) определяется (6.9).

Отметим, что (6.76) дает асимтотически

верные

границы

Хо, по крайней мере,

в двух

случаях, представ­

л я ю щ и х

интерес. А

именно, если

u{t)

=

-L-2114

exp-^^jr-J

(6.77а)

или

и (t) =

УТ slaw%,T)

,

(6.776)

значение X при возрастании Т стремится

к Хо, определяе­

мому (6.72). Справедливость этого утверждения

легко

проверить

прямой

подстановкой

(6.77а)

или

(6.776)

в (6.72)

и

(6.76).'К сожалению, однако, в ы р а ж е н и е

(6.76)

не дает конечного результата дл я прямоугольного

сигна­

ла

(6.51).

Значение

е молено

найти д л я

многих видов

функции

рассеяния

и

сигналов

п о ф о р м у л е

(6.71), п о д с т а в л я я

в

нее X, определяемое

в (6.76), хотя иногда это трудоем­

кая

з а д а ч а .

Н а п р и м е р ,

если

u(t)

определяется

(6.77а),

а

функция рассеяния

равна

3 ( г , / ) = ^ e

x p - 2 , [ ( - f ) 2 +

( i ) 2

] ,

из

(6.30),

(6.31) и (6.76)

следует:

| 6 ( x , f ) | = e x p - - f [ ^ Ч ( / Г ) а ] ,

Ь={\ + (ВЬ)2

+ {ВТ)2+

(L/T)2]-^2,

Я = { [ 1 + ( L / 2 7 ) 2 ] [ l

+

(£772)2 ]}-Ѵ2.

Т а к и м

образом, из

(6.71) после

некоторых

преобразова ­

ний

получим

Уместно отметить, что значение е согласно

(6.78) до ­

статочно

быстро, со скоростью порядка

(\/ВТ)2,

стремит-

ся к Ѵг. Поэтому,

как это было

и при обсуждении форму ­

лы (6.55), можно

утверждать,

что ВТ дл я достижения

асимптотического значения е необязательно д о л ж н о

быть

слишком большим,

а ЦТ — слишком

м а л ы м . Р а з у м е е т с я ,

асимптотические

значения д л я этих двух предельных

случаев отличаются ввиду

различия

в используемых зна ­

чениях

Dt.

Системы

с сильным

рассеянием

во

времени

Сильно рассеивающими

во времени

будем

называть

т а к и е системы,

в

которых

LW^>\,

а В Г < С І .

В а ж н о с т ь

такого

р е ж и м а

работы, как и р е ж и м а

сильного

рассеяния

по частоте, в том,

что он

позволяет

существенно

упро­

o(r,n=g(r,f)

(6.79а)

o(r, f)=g(f,

^г)

(6.796)

и комплексной огибающей передаваемого сигнала

U(t).

Таким образом, все результаты а н а л и з а систем

с

силь­

ным

рассеянием

по

частоте

можно переформулировать

д л я

систем с сильным рассеянием во времени,

заменив

Т на

W,

u(t)

на

U[f)

и функцию рассеяния по

частоте

a(f)

на

функцию

рассеяния

по

з а д е р ж к е

а ( г ) .

Вообще,

пусть

комплексная

о г и б а ю щ а я

входного

сиг­

нала

имеет

вид

u(t)

= ( - f ) "2

jjf „ (-f)exp - fr (kf +

2tx

+

. -\-cx' — 2axy)dxdy,

(6.80a)

где fo(ti)

— сигнал

единичной длительности

с

единичной

сигнал

используется

в

системе с

функцией

рассеяния

°(r,f)

=

g(r,

f),

(6.806)

то т а к а я система

эквивалентна по

качеству

передачи

си­

стеме с

функцией

рассеяния

a(r,f)

=

g ( a r - ^ / a k r

+

- £

^

- f

y

(6.81а)

передаваемым

сигналом

и ( 0 = | ? = г / . ( - г )

( 6 - 8 1 6 )

и функцией

рассеяния

по

частоте

^

Q )

= \ ë ( a r -

^

akr +

^ - f y d r .

(6.81B)

В частности, если Т стремится к бесконечности, исход­

ная система с

с и г н а л а м и

(6.80а)

работает

т а к

ж е ,

как

и система с сильным рассеянием по частоте,

функция

рассеяния

по частоте

которой имеет вид

(6.81 в ) , а

оги­

б а ю щ а я

передаваемого

сигнала — вид

(6.816).

П о л а г а я

в этом

в ы р а ж е н и и с = —a,

k =—1/а

и затем

устремляя а

к нулю,

можно

определить

качество передачи в

системах

цией

рассеяния

по

з а д е р ж к е

исходного

к а н а л а ,

а ( 1 / ] / Л Г ) / о ( • ) — п р е о б р а з о в а н и е м Фурье

исходного сиг­

нала

п{і).

6.6. КАНАЛЫ С С И Л Ь Н Ы М Д В О Я К И М РАССЕЯНИЕМ

Грубо

говоря,

к а н а л ы

с сильным

двояким

рассеяни ­

е м — это

к а н а л ы ,

функция рассеяния

которых имеет

значит, что п л о щ а д ь

рассеяния

5 д л я

них достаточно ве­

лика . Отсюда т а к ж е

следует, с

некоторыми оговорками,

что двухчастотная

корреляционная

функция

является

очень узкой в обоих измерениях.

Рассмотрим

п р е ж д е

всего /предельный

случай к а н а л о в

с

сильным

двояким

рассеянием. З а т е м

проанализируем

факторы, ограничи­

Кдчество передачи будем характеризовать

величина­

ми

е и D,

определяемыми в ы р а ж е н и я м и (6.21)

при £>г =

= Ь3/чР. Таким образом,

8 = &2 М

(6.82а)

D, = 6 3 / ^

(6.826)

где

b и d

определяются (6.19). К а к и выше, будем рас­

Канал

с предельным

рассеянием

П р е ж д е всего

рассмотрим

качество передачи в систе­

ме

с фиксированными

сигналами при возрастании рас ­

сеяния

к а н а л а в обоих измерениях. Точнее, предположим,

что функция рассеяния

имеет

вид

и

а—УОО.

В этом

в ы р а ж е н и и

Oo(V, f) — функция рассея­

^aa(r,f)drdf=l,

(6.84а)

J f

[ 3 . ( r , / ) ] W / = l .

(6.846)

П л о щ а д ь

рассеяния

5 функции

a {r, f)

равна,

следова­

тельно, а 2

и с ростом

а т а к ж е стремится

к

бесконечности.

Асимптотические

в ы р а ж е н и я

дл я b

и d

при

увеличе­

нии 5 выведены в приложении

4. П о д с т а в л я я

их в (6.82)

и переходя к пределу, получаем

Um>e={^M,f)Ydrdfyi,

(6.85а)

lim Щ.=і\та

s\

(6.856)

204

(

новлена

только при условии, что S—*оо в

соответствии

с

(6.83).

О д н а к о

они, вероятно,

справедливы

и при

более общих предположениях . Во-вторых,

(6.85)

являет ­

ся

дополнительным

доказательством

того,

что сверхрас­

рассеяние

в к а н а л е

достаточно

велико, значение

эффек ­

тивности,

определяемое (6.85),

при

использовании

нуж ­

ной

степени явного

разнесения

реализуется независимо

от

вида

сигналов.

Следовательно,

например,

к а н а л

0, r 2 + f 2 > S / r t ,

можн о

сделать

эквивалентным по качеству

оптимальной

системе

с разнесением

и

равными

весами

ветвей

при

условии, что 5

достаточно

велико.

П р и б л и ж е н н а я оценка

кратности

разнесения

(6.1) и

выводы

последующих

разделов

у к а з ы в а ю т

на

то,

что

основные характеристики

работы

системы

определяются

величинами ВТ

и LW.

Н а п р и м е р ,

если обе эти величины

малы, система

работает ка к

система

со с л а б ы м

рассея ­

нием. Если ВТ

велико,

a LW

мало,

система

работает

ка к

сильно

р а с с е и в а ю щ а я

по

частоте

и

не р а с с е и в а ю щ а я

во

стема

работает так, как если бы к а н а л

о б л а д а л

сильным

двояким рассеянием, если велик и

и ВТ,

и

LW.

К

с о ж а л е н и ю ,

справедливость

(6.85)

д а ж е

прибли ­

женно

не определяется значениями ВТ

и LW. В

действи­

тельности она скорее больше зависит от отношений B'/W

и L/T.

Поскольку

(6.85) не позволяет

оценить

достижи ­

изведения

TW.

Сигналы

с большим

TW

К а к и в

некоторых

других з а д а ч а х

теории связи, лег­

сигналы, обеспечивающие

такое

качество.

В

частности,

д о с т и ж и м о е качество передачи

можно установить, опре­

д е л я я 'качественные

п о к а з а т е л и ,

усредненные

по

ансамб ­

л ю сигналов. Мы т а к ж е используем

здесь

этот,

введен­

ный Шенноном,

метод [14—16].

Р а с с м о т р и м

множество

сигналов

{«(/)}>

которые мо­

гут использоваться как комплексные огибающие .

К а ж д о ­

му такому сигналу

соответствуют

некоторые

значения е

и Di, которые м о ж н о

найти

из (6.82). Д л я к а ж д о г о сигна­

го разнесения. П р е д п о л о ж и м ,

что эта степень

разнесения

оптимизирована, как описано

в § 6.3, так что е является

оценкой

эффективности

результирующей

системы по

сравнению

с оптимальной

системой с равными

весами

ветвей.

Здесь будет удобнее отказаться от требования

норми­

рованное™

сигнала и перенести нормировку

в

в ы р а ж е ­

ние

дл я

е. Легко д о к а з а т ь , что это

можно сделать,

раз­

делив правую часть (6.82а) на норму сигнала

» ( / ) :

где

Eu -S* b^ulduEu,

(6.86)

Eu

=

J I«(0|2 *.

(6.87)

Подстрочный индекс

«и»

добавлен

к обозначениям

е»,

Ьи

и du

с

целью подчеркнуть

зависимость этих

величин

от

u(t).

Н а й д е м

н и ж н ю ю

границу

эффективности,

которую

мере, одного сигнала из заданного

множества . Д л я

этого

определим

на

множестве

сигналов

вероятностную

меру

и рассмотрим средние . значения ги,

Ьи, dn и Еи

по ансамб ­

лю

сигналов,

порожденному

этой

мерой.

И з в ы р а ж е н и я

(6.86)

и неотрицательности

входящих

в него величин следует,

что

(euEudvy12

> 5„,

(6.88а)

где

черта

сверху

обозначает

усреднение по

ансамблю .

К р о м е того,

(euEudu)U2

<V^(Eudu)42

<(£0Eudu)42,

(6.886)

где

s o — э т о максимальное

значение е„. П е р в о е неравен ­

ство

вытекает

из определения

ео, второе — из свойств мо-

ментов распределения .

Из в ы р а ж е н и й

(6.88а)

и (6.886)

получим

co>(bu)4duËu),

(6.89)

т. е., по крайней мере, один сигнал из

а н с а м б л я

о б л а д а е т

эффективностью, равной или п р е в ы ш а ю щ е й

правую

часть

(6.89).

Теперь остается выбрать а н с а м б л ь сигналов и вычис­

лить

искомое среднее.

Выбор а н с а м б л я

определяется

ких удобных в а р и а н т о в является гауссовский

случайный

процесс. С целью упрощения в ы к л а д о к

ограничимся

комплексным гауссовским процессом, дл я которого

177/) = 0,

(6.90а)

« ( £ ) и ( т ; ) = 0 ,

(6.906)

= Ц_ е х р _ J L [f- + X* + < Z p i { t -

,f

\ . (6.90B)

водит к более

простым е

использовании

р е з у л ь т а т а м ,

чем некоторые

другие. То

ж е

стремление

к упрощению

з а с т а в л я е т нас ограничить

д а л ь н е й ш е е обсуждение толь ­

ко

асимптотикой ео пр и безграничном возрастании Ти\Ѵ.

Вывод предельных значений Еи,

Ъи и сІи

дл я сигналов

с

корреляционной функцией

вида

(6.90в)

представлен

в приложении

4, и результаты

суммированы теоремой 1

пользовании, но довольно

громоздким,

ограничимся ана­

лизом менее сильных, но компактных

выражений .

В соответствии с теоремой

1 приложения

4:

Еи=і,

(6.91а)

\imTWbu

=

l+S-1,

(6.916)

l i m {TW)4u^ls{2+

(3 + o)S-4

(6.91.B)

где

o = maxo(r,/) .

(6.926)

r.f

и, по

крайней

мере, одна

р е а л и з а ц и я гауссовского

слу­

чайного

процесса, заданного соотношениями (6.90),

дает

значение

е,

п р е в ы ш а ю щ е е

правую

часть

этого

в ы р а ж е ­

ния.

И з

(6.93)

можн о сразу

сделать

ря д в а ж н ы х

выводов .

Во-первых, если а меньше некоторого

фиксированного

числа

и если

5

очень велико, п р а в а я часть

этого

в ы р а ж е ­

Во-вторых,

если

з а ф и к с и р о в а т ь о и отыскивать

значе ­

ние Sm

площад и рассеяния S,

при котором п р а в а я

часть

(6.93) минимальна,

то

оказывается, что

Sm

=

co

при а < 1,

Sm

=

(з + 3)/(з — 1 ) в противном

случае .

П о д с т а в л я я

эти величины в в ы р а ж е н и е

дл я

ео,

получаем

следующие

неравенства:

е

S--3/4

при а <

1,

(6.94а)

е 0 ^ 3 ( 1 + а / ( 3 + а ) 2

п р и о > 1 .

(6.946)

П р а в ы е

части

этих в ы р а ж е н и й

представляют

собой ниж ­

ние

границы

эффективности, достижимо й

независимо

от

' величины 5,

по крайней

мере, д л я одного

сигнала

из ан­

с а м б л я . Таки м образом,

если

о не превышае т

единицу,

эффективность

может

быть

равна, по

меньшей

мере,

0,375.

о

К

с о ж а л е н и ю , если

беспредельно

возрастает,

ниж ­

няя

граница

(6.946)

стремится к нулю,

та к ж е к а к

и

более с и л ь н а я

граница

(6.93)

(при фиксированном

S).

стижимой

эффективности . Этот недостаток

свойственен

и . б о л е е

точным результата м теоремы 1,

приведенным

в приложении 4.

Все предыдущие результаты подкрепляют

вывод о том,

что большие значения п л о щ а д и рассеяния не препят­

ствуют достижению качества передачи, близкого к опти­

мальному . С другой

стороны, при увеличении

рассеяния

возникают определенные трудности. Р а с с м о т р и м неко­

торые

из них, чтобы

л у ч ш е понять

ограничения,

свойст­

венные

к а н а л а м

со

сверхрассеянием .

Одна

из трудностей состоит

в том, что в к а н а л а х со

значительным

сверхрассеянием

приходится

с т а л к и в а т ь с я

с большим

значением неявного эффективного разнесения .

Чтобы

достичь

оптимального качества

передачи при на­

личии такого разнесения, следует использовать высокое

отношение

сигнал/шум по энергии

на п е р е д а в а е м ы й

сиг­

нал. Это, в

свою

очередь,

требует

значительного

увели­

чения

объема

а л ф а в и т а .

Чтобы

оценить эти трудности

количественно, обратим ­

ся к

границе

(5.86).

В соответствии

с

ней, дл я

того

чтобы

система

р а б о т а л а

ка к о п т и м а л ь н а я ,

необходимо

выполнить

условие

а Ь > а Ѵ

(6.95)

где а ° Р — оптимальное отношение с и г н а л / ш у м

по энергии

на ветвь разнесения при данном значении

ß. С

другой

стороны,

в силу

(6.8)

b =

J J I

SU {x, у)

Ѳ ; ( « / , X) f- dxdy

<

$ J

|

< $

(

J C

, y) \4xdy =S

(6.96)

Т а к и м образом, оптимальный уровень качества

может

быть

достигнут,

только если.

a > S a V

(6.97)

т. е. если значение а растет пропорционально 5. Если ß

фиксировано, то объем а л ф а в и т а

д о л ж е н

экспоненциаль ­

но возрастать с ростом 5.

Д р у г а я

трудность, с которой

приходится

сталкиваться

в к а н а л а х

со сверхрассеянием, состоит в необходимости

увеличения пиковой мощности сигналов . В таких

к а н а л а х

не только

д о л ж н о

быть

велико

общее

отношение

сиг­

н а л / ш у м

по энергии, но и всю мощность

сигналов

нужно

в определенной степени концентрировать

во времени и по

14—221

209

частоте. Чтобы подтвердить

это,

воспользуемся

снова

ф о р м у л а м и (6.95)

и

(6.96).

В

силу

(6.96)

справедливо

неравенство

b <

j J[max

I ЗЦх',

у) | 2 ] | Ѳ (у, х) |2

dxdy.

Кроме

того,

j IѲ (у, х)

\-dx <

f IѲ (0, х) |2 dx

= J

I a (t) | 4 Л < max | и (t) |3.

Следовательно,

6 < [ J |

« & m (у) I 2

Л/] max

I u (f) I 2

,

(6.98a)

где

I <&»» (0)| = max

I

у) I.

(6.986)

x'

И з

(6.98)

вытекает,

что

условие (6.95)

удовлетворя ­

ется только

при

a max | и (t) |2 >

а р °

[ J

|

(у) |2

tfy] ~ ' •

Н о л е в а я

часть

этого

неравенства

представляет

собой

пиковую мощность передатчика . Значит, пиковая

мощ­

ность

передатчика

д о л ж н а

возрастать

пропорционально

ской зоне В. Н а п р и м е р , она

раина В при

Ж{х,у)

=

$,{х)Ж{у).

(6.99)

Следовательно, в первом

приближении можно

сказать,

ковая мощность

передатчика

д о л ж н а превышать

а°РВ.

Очевидно, т р е б у е м а я пиковая

мощность

повышается

при

.увеличении ка к В,

т а к и а ° Р .

Аналогичные

р а с с у ж д е н и я показывают, что

невоз­

м о ж н о обеспечить оптимальное качество

передачи,

если

не удовлетворяется

условие

a max | U (f) | 2 >ар°Ц\

Mm (х) |2 Ж е ] " ' ,

(6.100а)

где

\'Шт (*) | = max | <#(.*, у)\,

(6.1006)

У