книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

Т а б л и ц а

6.1

Типичные значения

и YmDjT

для каналов

« U)

lim О . / Г

Г->оо 1

1

1

В - 1 ,

1 f 1

< /3/2

В

I

2

I M

0,56В

0,75

| е х р - 2 | ,

f >

0

0,56В

0,75

„

/ !

\ 2

0,750

0,866

V

Ч = — ; - & ) ' • ' * •

0,755

0,866

0.4 Ш

0,66

0,77В

0,88

^

в

^-з

1.5

Л

3

|П \

В

{

2

В у

1 Л

0,77В

0,8S

2

( З с - І ) *

( З с - 1 ) ( с - 1 )

(1+/) с

(2с— 1)з

(2с—1)а

К а к видно

из

первой

строки таблицы, д л я

прямо ­

угольной функции рассеяния по частоте

эффективность

равна

единице. Конечно,

та

ж е эффективность

получает­

ся д л я

любой

функции рассеяния по

частоте, принимаю­

щей

единственное

отличное

от нуля

значение. Это в а ж ­

ные

выводы,

поскольку

они

д о к а з ы в а ю т ,

что

к а н а л

со

сверхрассеянием

в

принципе не уступает

к а н а л у

с

ма­

л ы м

рассеянием. Н а п р и м е р ,

к а н а л с функцией

рассеяния

вида

I

0

в

противном случае

(6.54а)

обладает

функцией

рассеяния по частоте,

равной

, ( / ) = (

Ѵ в . If І < в / 2 .

( 6 . 5 4 б )

I

0

в противном

случае .

Поэтому

независимо -от

величины BL

можно

выбрать

в качестве сигналов

достаточно длинные

прямоугольные

импульсы

и обеспечить в этом к а н а л е

такое ж е

качество

весами ветвей.

И з

табл .

6.1 следует,

что величину

е»

можно сделать

относительно большой при самых различных

функциях

рассеяния .

Однако положительная

н и ж н я я граница

ми­

нимального

значения

отсутствует,

т.

е.

существуют

функции

рассеяния, при

которых

е»

произвольно

м а л а .

К одной из таких функций относится

последняя

строка

таблицы .

Д о

сих пор ничего не

говорилось о скорости сходимо­

сти e

к

e». Это в а ж н ы й

показатель,

так как с увеличе­

нием

Т

возрастают и объем алфавита, и отношение

сиг­

ются

с и г н а л ы

и

функция

рассеяния

гауссовской

формы

[(6.37) — (6.41)].

Д л я

простоты предположим,

что W—

= Т~І

и о б щ а я

п л о щ а д ь

рассеяния S = BL.

Тогда

после

некоторых

преобразований из

(6.396)

и (6.41)

получим

5

~

~ Т ~ ^ 4 [ 1

+

(ВТ)*

-\- {L/Ту-

+ {BLy}

-

(6.55)

192

И з

(6.42) у ж е

известно,

что

п р а в а я

часть

(6.55)

прини­

мает

максимальное

значение

при

T—ifLfB.

О д н а к о

если

работать

в р е ж и м е

сильного

рассеяния

по

частоте,

то,

как

видно

из (6.55),

асимптотическое

значение

е =

= 0,75 достигается с точностью до 1/(2ВГ) 2 . Поэтому

д л я

достижения

этого

асимптотического

значения

не

тре­

буется,

чтобы

величина ВТ

была очень большой

(может

быть, например, чтобы ВТ=2).

Аналогичный

вывод

был

сделан

и в

з а д а ч а х , д л я

решения

которых

использова­

лись

численные методы [6].

Асимптотическая

надежность .

П о к а ж е м

теперь,

как

был только что рассмотрен, но д л я реализации

его

пре­

имуществ обычно требуется значительный объем

вычи­

слений.

П р е ж д е

всего

напомним

формулу из гл. 5:

Р

(в) Ä

2~ ѵ Е \

(6.56а)

где

E(p)=^yilif(aXi)<

(6.5бв)

f(x)

=

^G(x),

P In ( 1 +

(6.56г)

G (X) =

[ ( 1 +

»

In ( 1 +

- р ^ )

-

* ) ] .

(6.56д)

Покажем теперь,

что

lim

Е (р) =

- L f Г G [ц I и0

(t)

I 2 а (/)] dtdf

(6.57a)

при

условии

а =

ц 7 ,

(6.576)

где

(.i — коэффициент

пропорциональности,

который

можно подбирать использованием явного разнесения.

Поскольку

подробное

доказательство (6.57)

является

нетрудным,

но

довольно

длинным,

наметим

только

его

13—221

1 9 3

основные

этапы . Мы приводили уж е асимптотические вы­

р а ж е н и я для сумм

квадратов и кубов Л,-

.[(6.45а)

и

(6.456)]. Вообще же, в приложении 4 показано, что

lim

~ ^ S ( n , ' ) f

c l = [ 1 1 " ° ( 0 f h

d

t ] { І [

з d f )

( 6 ,

5 8 )

при любом целом k.

Ф о р м у л а

(6.58) дает

простую

асимптоту

дл я

любого

в ы р а ж е н и я

вида

'

~~

(6.59а)

где

(6.596)

т.

е.

(6.60а)

и

в силу

(6.58)

i

k=\

lim Q==

[ f

I «. (О l = t e л]{

f [з (/)]" <*/V

7*->со

или

lim' Q =

Г Г/7 [р.]ы0 (/) I2 з (/)] dtdf.

(6.606)

Г-*оо

J J

Ч т о бы вывести (6.57а), обобщим (6.606) на функции

вида xf(x),

как в (6.56). Так как

f(x)—непрерывная

линомиальной

аппроксимации f(x).

В

частности,

заме ­

няя

f(x) некоторым полиномом, можно

вычислить

с лю­

бой

требуемой

точностью значение

Е(р), определяемое

формулой (6.56в) [10]. Асимптотическое

значение

выра­

(6.606). Полученный полином с аргументом

\-i\u0(t)\2o(f)

снова можно аппроксимировать функцией

/ ( • ) •

В ре­

зультате получим .(6.57а).

Асимптотический результат (6.57а) является очень

сильным, но его применение ограничено

из-за

трудно-.

стей, которые

возникают и при вычислении

(6.57а), и при

последующей

оптимизации по р.

Д л я функций рассеяния, приведенных

в т а б л . 6.1,

статочно велико, оптимальное значение р равно

единице,

и з а д а ч а

существенно

упрощается .

В

следующих

абза ­

цах

будет рассмотрено

несколько

примеров

с р = 1 .

К а к было

показано

в гл. 5,

при

достаточно

боль­

ших ß

£ b = ' ß £ ( l ) / l n 2 — 1 .

(6.61)

В частности,

д л я

оптимизированной

системы

с

разнесе­

нием и равными весами

ветвей

£ ° b = 0,216ß—1

(6.62)

при

ß ^ l 2 д Б . Чтобы сравнить

оптимальные

и

субопти­

мальные

системы, представим

(6.61)

в

виде

где

Еь

= 0,2Щвг—1,

(6.63а)

е г = £ ( 1 ) / 0 , 2 1 6 1 п 2 = £ ( 1 ) / 0 , 1 5 .

(6.636)

Ясно,

что при

больших ß д а н н а я

субоптимальная си­

стема не уступает по качеству оптимизированной

систе­

ме

с разнесением

и р а в н ы м и весами

ветвей,

р а б о т а ю щ е й

при

значении

ß,

составляющем

часть е* от его

значения

в данной

системе. Поэтому м о ж н о снова р а с с м а т р и в а т ь

ции

в данной

системе. В отличие от Б, в ы р а ж е н и е

д л я е*

является точным. Подстрочный индекс «Ь

ка к раз и ис­

пользуется, чтобы подчеркнуть это различие .

Величина

в; была вычислена дл я нескольких

различ­

ных

функций

рассеяния, используемых

в сочетании

Полученные

в ы р а ж е н и я

зависят от значения отношения

ix/B, которое

можно р а

с с м а т р и в а т ь как отношение сиг-

13*

19

н а л / ш у м по энергии

на эффективную ветвь разнесения .

Хотя можн о найти

максимум

по \і/В,

положим

p../ß =

=•3 — оптимальной

величине

для' случая

равных

собст­

при

использовании

явного

разнесения .

Полученные

в

этом

предположении

значения

et

представлены

в табл . 6.2. Там

ж е

дл я

сравнения

приведены

асимпто­

тические нижние границы Ет о . В [11, 12] приведен

расчет

других видов канало в и функций рассеяния

и

выполнена

их .оптимизация

по

д / ß .

Т а б л и ц а

6.2

Асимптотические

э ф ф е к т и в н о с т и

к а н а л о в

с сильным

р а с с е я н и е м по частоте

°

(/)

1,5

/

3

f

\

f

4

=

1

0,88

-в(1—4-тг>

° < т г < т -

1.5

/

3

| f 1 \

\f

I

2

0,88

В

\ 1

~

2

В

у

В

^

3

2

2/

/ > 0

0,76

0,75

-g-ехр

g - ,

-2

,

| {

1

0,76

0,85

Я

е х р - 4

ß

И з

табл .

6.2

видно,

что

e«,

часто

может

служить

хо­

рошей

оценкой

истинной

эффективности

е*. Б о л е е

того,

д а ж е

если

Боо^еь

могут

быть

приемлемы

асимптотиче­

ские показатели,

которые

обеспечиваются,

если

поло­

жить

р,/£ = 3.

Такое

значение

ц[В

получается

в системе

с неявным

разнесением,

приблизительно

равным

ВТ,

и

оптимизированным

явным

разнесением.

Приведенные

результаты показывают,

что

численное

значение

Еь,

з а д а в а е м о е

выражение м (6.56в), вообще

говоря,

зависит

от c ( f ) .

Однако,

к а к

было

показано,

минимальное

значение

ß,

при

котором

Еь

положительно,

не зависит

от

a{f)

при

н а д л е ж а щ е м

выборе

[і.

Это

(уни­

версальное)

значение

ß

совпадает

с его

значением

д л я

оп тимизиро ванной системы с

равными

весами

ветвей.

Следовательно,

пропускная

способность

к а н а л а с

зами ­

раниями

и рассеянием

не зависит

от

функции

рассеяния

канала

и

равна

(P/Mü) log2 e — пропускной

способности

к а н а л а без

з а м и р а н и й

и

рассеяния и

бесконечной

поло­

сой

при том ж е

отношении

сигнал/шум по

мощности

Р/Мо. Этот

вывод является частным случаем более обще­

го результата [13].

Чтобы

д о к а з а т ь справедливость

вывода,

заметим

п р е ж д е

всего,

что в силу

(5.14в)

Е и, следовательно,

Еь

положительны,

если

имеет

место

неравенство

R

dE(t)

С

dp

р=0

или, что то ж е

самое,

ß > ß c ( u , Т),

где

р с

( н . , Г ) =

( 1 п 2 ) [ ^ - | і і = о ] " 1 .

(6.64)

Из

(6.57а)

и (6.64) вытекает,

что

H m J № .

Т) =

(In 2) {1 -

JL j

j in [ 1 +

(f)

I u0

(i) I2 ] I

" '

(6.65)

или,

если

положить

Uo(t)=l

на единичном

интервале и

u0(t)

= 0 за его

пределами,

І ш

р с

(щ

Т) =

(In 2)|l

-

J - J

In [ 1 +

(/)] rf/ J " ' .

(6.66)

Р а з о б ь е м интеграл

в

(G.66) на две

части:

одну,

со­

д е р ж а щ у ю

значения

/,

д л я

которых

a(f)

превышает

не­

который

п а р а м е т р о,

и

другую, с о д е р ж а щ у ю

остальные

значим

ее I. Ввиду выпуклости

логарифмической

функ­

ции дл я

первого интеграла

имеем

следующую

оценку

сверху:

j

1 п [ 1 + | « ( / М < Л п

1

+ т

l ° { f ) d f

°(f)>a

"(f)>5

< / l n ( l

+

- f )

В силу

неравенства

д л я

второго интеграла т а к ж е получаем следующую оцен­

ку

сверху:

l i m ^ f r ,

Г ) < ( 1 п 2) [

1 -

J

a(f)df-

Г->со

-

f

^ О +

т-)]"1

( 6 ' 6 7 )

или, если

(.i устремить

к бесконечности,

lim

lim

ß c

T) <

(In 2)

1 -

{

а (/)<*/

(6.68)

Наконец,

м о ж н о

сделать

п а р а м е т р

б произвольно ма­

которого

o ( / ) ^ | ô , при

ô — У О

т а к ж е

стремится к

нулю.

Поэтому

ß c

= lim lim

l i m ß c ( n ,

Г ) < 1 п 2 ,

(6.69)

Ь-*0 |х->оо Г->со

т. е. при

рассматриваемой здесь

форме

u0(t)

и достаточ­

но больших

Т

и j.1 экспонента

Еь

положительна, если ß

превышает

некоторое

число ß c ^ , l n 2 .

С другой стороны,

In 2 — это значение ß,

при котором

дл я

оптимальной си­

стемы с равными весами ветвей

Еь — 0.

Следовательно,

ßc д о л ж н о

быть равно

In 2, что

и требовалось д о к а з а т ь .

Некоторые

дополнительные

результаты .

Установим

границу

эффективности,

справедливую

не

только

при

— b/X2,

где X— верхняя граница всех

собственных

значе­

ний

Я,,-. Это

согласуется с ограничением

(6.21в), так

как

d='£xtt<X4£Xia

=

Xb,

(6.70а)

если

%^%и

f = l , . . .

(6.706)

П р и

таком

выборе

Di

в ы р а ж е н и е

(6.216)

дл я в

перехо­

дит в

следующее:

(6.71)

е = Ь/Х.

Отсюда

видно,

чт

с а м а я

близкая

оценка

получается

при

Х—'Хо, где Хо — доминантное

собственное

значени

Такой

выбор соответствует

рассматриваемой

асимптоти­

ке, та к как тогда можно

вычислить

V

П р а в д а ,

в этом

асимптотическом с л у ч а е граница (6.46) является

более

сильной, чем (6.71). Однако асимптотическое

поведение

(6.71) при Х='Х0 представляет интерес дл я гл. 7; знание

его поможет оценить полученный н и ж е результат, в ко­

тором

ХфХо.

В приложении 4 показано, что асимптотика

доми­

нантного собственного значения Хо определяется

выра­

жением

lim

Ті0

=

\ит\'зт,

(6.72)

г д е

Г-»оо

I «7п !2 = max I н0 (/) J2,

(6.73а)

t

з т =

max s(f).

(6.736)

Э Т И

в ы р а ж е н и я в сочетании

с (6.44)

и

(6.45)

даю т сле­

дующее

асимптотическое

в ы р а ж е н и е

дл я

е,

заданного

(6.71),

при Х='Хо-

lim

8 =

8'^,

(6.74а)

7'->оо

где

e , o o = l / ß | « m | 2 ( T m

(6.746)

и, ка к

выше,

ß = { j M f l M - } ~ ' .

(6.74B)

Легко показать, что права я часть

(6.74а)

максималь ­

на, если

Uo(t)—прямоугольный

импульс

вида

(6.49).

Соответствующее значение

e'«. при этом

равно'

p / » = l / ß a m .

(6.75)

T а б л и ц а 6.3

Типичные

значения

е т о

и е ' ^

для систем с

сичьным

рассеянием

по

частоте

о

(!)

ß - ' ,

1 f 1 < ß / 2

1

1

2

| П

0.75

0,5

- g - е х р - 4 - - д -

2

В

,

/

0

0,75

0,5

- g - е х р - 2

—

В

е х р -

2

^ в

1 ,

fS&O

0,866

0,707

в

11

+ ѵ

ß

}

I

0,66

0,5

В \ L

~ 4 ß j '

ß < 3

0,88

0,66

U <

В табл . 6.3 это

асимптотическое значение

сравнивается

с результатами расчета по (6.52) дл я нескольких

функ­

ций

рассеяния . К а к видно из таблицы,

разница не

очень

велика. Конечно, в асимптотическом случае всегда

пред­

почтительнее

использовать

вместо

(6.75)

в ы р а ж е н и е

(6.52).

О д н а к о

н и ж е

(6.71)

будет

использовано дл я

полу­

ниях Т.

Поэтому небезынтересно

подтвердить,

что эта

ф о р м у л а

дает

результаты,

хорошо

согласующиеся

с ре­

з у л ь т а т а м и

вычислений

по

(6.52).

Обычно

значение Хо можно

найти

только в

рассмо­

тренном

выше асимптотическом

случае. Поэтому,

если

н у ж н о получить относительно простую

оценку

.качества

передачи

при

конечных

з н а ч е н и я х

Т,

следует

считать

Х>Хо- Выбор

X д о л ж е н определяться компромиссом меж .

ду точностью

результата

и простотой

его применения.