книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

ченная при этом система будет

не х у ж е

оптимизирован ­

ной системы с равными весами

ветвей и отношением сиг­

н а л / ш у м по энергии на бит информации,

составляющим

часть Y^ib

этого

отношения

в данной

системе.

Таким

образом,

величина

] /

является мерой

ществуют

пороговые условия,

которые

д о л ж н ы

удовле­

творяться дл я того, чтобы можно

было

достичь

эффек ­

тивности

У D j b .

Н а п р и м е р ,

га/Di

д о л ж н о превышать

а°р. В противном

случае лучшее качество

обеспечивает­

ся в системе без явного разнесения. Эти проблемы

ана­

логичны

у ж е р а с с м а т р и в а в ш и м с я

в гл. 5 и поэтому

не

требуют дальнейших комментариев .

В принципе,

теперь следовало

бы, пользуясь

(6.21),

определить максимальное

значение

е д л я

любого

з а д а н ­

ного к а н а л а . Хотя это и

можно сделать

численно,

дл я

к а ж д о г о

к а н а л а

получить

общие

результаты слишком

стемы

при использовании сигналов, дл я которых

д а н н ы й

к а н а л

обладает или слабым

рассеянием,

или

сильным

рассеянием по одному параметру, или сильным

рассея­

нием

по обоим п а р а м е т р а м .

6.4. КАНАЛЫ СО СЛАБЫМ РАССЕЯНИЕМ

•

Н а й д е м

граничные значения (6.21) в

предположении,

что к а н а л

обладает только

слабым рассеянием . В част­

нерассеивающего к а н а л а , а затем

та к выберем значения

Dit чтобы упростить в ы р а ж е н и е

д л я е, сохраняя его

В

§ 3.3 мы определили к а н а л как нерассеивающий,

если

его функция рассеяния представляет собой дельта -

a (r, / ) = ô ( / - - / - o ) ô ( f - f d ) ,

(6.23)

где ô ( - ) обозначает дельта - функцию . Комплексная

кор­

реляционная

функция

такого к а н а л а равна

R (/,

т) = и (і—го)

и* (т—го) ехр j2nfd

(x—t).

(6.24)

Легко показать, что собственной функцией этой

корреля ­

ционной функции является u(t—г0) ехр—'fènfdt,

а

соот­

теореме

Мерсера (2.42)

отсюда

следует,

что

R(t,

х)

о б л а д а е т единственным положительным

собственным

значением, равным единице. Поэтому

любой

нерассеи­

вающий

к а н а л

о б л а д а е т

такими

ж е

характеристиками,

как система с

единственной ветвью

разнесения,

что,

впрочем,

очевидно.

Если

доминантное

собственное

значение

Ào

системы

л и ш ь ненамного меньше единицы, то

говорят,

что

си­

стема является

слабо

рассеивающей.

В такой

системе

все остальные

собственные значения,

кроме доминант ­

ле

(6.216)

при

Di = b3/d2,

становится приблизительно

р а в н ы м .

Е « 6 Д 0 ^ 1 / & ,

(6.25)

где

использовались

следующие приближения:

d^hb,

(6.26а)

1^~\ГЬ.

(6.266)

Последний член

в правой

части

(6.25) дает

верное

значение

е д а ж е

в том случае,

когда

п р и б л и ж е н и я

(6.26)

неверны.

Ч т о б ы

убедиться

в

этом,

заметим, что

d^fob

и Ь^%\

а

потому

W ^ 6 A 2 o 5 s l .

(6.27)

Следовательно,

(6.21в) удовлетворяется, если

Di=l;

(6.28а)

отсюда следует, что

• е-=уь.

•

(6.286)

182

меньше

УЬ.

Целесообразно

определить

величину

b

и,

следова­

тельно,

е д л я 'нескольких

конкретных

-систем. В

качестве

первого .примера -рассмотрим использование

импульсного

сигнала

с огибающей

гауссавекон

формы

и

внутриим-

пульсной

линейной частотной

модуляцией:

и (t)

=

-Щ-

ехр -

^

- Ç

f

[ 1 +

jy-jTWy^T],

(6.29а)

где

Т и

W — длительность

и

полоса

частот

огибающей

u(t),

определяемые в ы р а ж е н и я м и

(3.2).

П р е д п о л о ж и м ,

что

функция

рассеяния

к а н а л а имеет

вид

двумерной

гауссовской

плотности

вероятности:

a (r, / ) = - § - е х р -

~

[(/"ß)2 +

(fLf

-

2rf

V(BLy

-

S3],

(6.296)

где

В,

L

и S — с о о т в е т с т в е н н о

доігаілеровская

зона,

зона

многолучевостн

и

о б щ а я п л о щ а д ь

рассеяния,

определяе­

мые в ы р а ж е н и я м и

(3.1).

u(t)

a (r,

П о д с т а в л я я

в ы р а ж е н и я

д л я

и

/)

в

(2.22)

и

(2.25),

получаем

следующие

равенства

д л я

Ѳ(т,

/)

и

двухчастотной

корреляционной

функции

M

(а,

ß ) :

Ѳ (х, f) =

ехр -

\

[(Wy

+

(fТУ

+ 2 / ,

Y{TWf-

1 ]• (6.30а)

ЗЦя,

ß) =

exp

-

\

[(аЬу

+

(ßß) s + 2

a

ß

У

(BLY

-

S2

].

(6.306)

П о д с т а в л я я

эти

в ы р а ж е н и я

в

(6.8)

и

вычисляя

интеграл,

получим

b =

[ 1 +

S2 - f (ВТ)2

+

{LWy

-

-

2 У [TWY

-

1

Y

(BLY

-S*

Г 1

/ 2

(6.31a)

Следовательно,

в силу

(6.286)

имеем

е =

[ 1 _|_ S2

+

(ВТу

+

(LWy

-

-2У(TW)2

-

1

У

(BLy

-

S3

] - 1

/ 4

.

(6.316)

П р е д п о л о ж и м

теперь,

что

мы

можем

изменять Т

и

W.

П о д б е р е м

их

так,

чтобы

е

была максимальна .

Л е г к о показать, что при любом

фиксированном значении

К произведения TW максимум

е достигается

при

T

=

VLT\/B

(6.32а)

и

этот максимум

равен

s =

[ 1 - f S3 +

2BLK

-

2VК-

-

1 f{BLy

-

ST

1/4 •

(6.326)

Отыскивая максимум этого выражения по К,

получаем,

что К должно быть равно

BLJS.

Значит,

максимальное

значение е

д о с т и г а е т с я

при

T = LjVS,

(6.33а)

\V = BlVS,

(6.336)

и

равно

8 = 1 / V T +

S.

(б.ЗЗв)

В качестве второго примера рассмотрим

сигнал

и(*) =

( 2 / Г ) | / 2

е х р ( - * / Г ) ,

t&0,

(6.34а)

u(t) =

0

f < 0 ,

и функцию

рассеяния

( ' П

BL I + ( 2 * f / f i ) " r ^ U >

{ 6 . 3 4 б )

а ( л / ) = 0,

, - < 0 ,

Д л я

этой функции

рассеяния

S = BL.

В ы р а ж е н и я дл я Ѳ(т, f)

и

$1

(a,

ß)

дл я

такой

систе­

мы получить нетрудно.

Подстановка

(6.34а)

и

(6.346)

в

(6.8)

д а е т

b={\+BT+LIT+BL)-\

(6.35)

Величина b

максимальна

при

T=yL/B

или,

поскольку

S = BL,

при

•

T =

LjY~S

(6.36а)

e = l / ( l + l / S ) .

(6.366)

близко к своему

максимуму

т а к ж е при

r = ' L / j / 5 ,

и со­

ответствующее граничное значение е часто

приближенно

равно величине,

определяемой

(б.ЗЗв)

или (6.366). Та ­

ким образом,

если 5 ^ , 1 , можн о

обеспечить

относительно

большие значения е, и при

отсутствии

дополнительной

информации

о

системе

целесообразно

полагать

Т=

= L / j / S . М о ж н о

высказат ь такое грубое правило

оцен­

ки е: если S ^ : l ,

то е > 0 , 5 .

И н ы м и словами, если

5 ^ 1 ,

уменьшение

эффективной

энергии не превышает пример­

но 3 д Б .

ченного

результата, к о т о р ы й ' м о ж е т

проявиться при пере­

ходе от

(6.21) «

(6.28). С этой

целью

вычислим

значение

Б из в ы р а ж е н и я

(6.216)

дл я

первого рассмотренного

вы­

ше примера . М ы в состоянии

это сделать б л а г о д а р я

воз­

можности

определить

собственные

значения

результи­

рующей комплексной корреляционной функции.

Если

форма

и (it)

и

функции

рассеивания

з а д а е т с я

в ы р а ж е н и я м и (6.29), то из

(2.16)

следует

R (t, t) =

VW,

exp -

~

[ (x -

ty

(n, -

^ 3 = ) +

+

+

(Y ^

+

2/ (Г- -

S)

ца ц,],

(6.37)

где

^

=

B s

+

^ » ,

(6.38a)

PA

=

( L 3

+

T2)-1.

(6-386)

=Y

(TW)2

— 1 +

1/ (BLy

- S 3 .

(6.38B)

Известно

[7], что эта корреляционная

функция

о б л а д а е т

следующими собственными

значениями:

Я і =

(1 — с)с* -1 , / = 1 ,

(6.39а)

где с однозначно

определяется

в ы р а ж е н и е м

( T = F ) ï =

1

+ ( ß

7 r + w + 5

2

-

-

2 Y {TW

- 1

V (Щ-

-

s2.

(6.396)

С л е д о в а т е л ь н о, суммы

дл я bud

сводятся

к геометриче­

ским прогрессиям,

из которых м о ж н о получить:

Ь=(\—с)І({+с),

(6.40а)

rf=

( 1 — с ) 3 / ( 1 —

(6.406)

П о л а г а я

Di = b3/d2

и

подставляя

(6.40)

в (6.216), по­

лучаем

равенство

е =

( 1 + с + с2)/(1 + с ) 2 .

(6.41)

Н а й д е м теперь максимум правой

части

(6.41)

по дли­

тельности сигнала Т и полосе W. Непосредственные вы­

числения дают, что он достигается при минимальном

зна­

чении с,

т. е. при

T =

LfYS,

(6.42а)

W =

B/[/'S7

(6.426)

При этом результирующее граничное значение е

равно

Следует

отметить,

что

]/~Ь

т а к ж е

максимален

при

тех значениях Т и W, при которых максимально е, зада ­

ваемое

в ы р а ж е н и е м

(6.41).

Кроме

того,

дл я

значений

S s ^ l м е ж д у

г р а н и ц а м и

(б.ЗЗв)

и

(6.43)

нет

заметного

отличия. Например, дл я величины площади

рассеяния,

равной

единице,

(б.ЗЗв)

дает

значение

е,

р а в н о е

0,707,

а (6.43) — р а в н о е

0,81. Однако

при увеличении

З.нраівая

часть (б.ЗЗв) спадает

до

нуля,

а

п р а в а я

часть

(6.43)

образом,

дл я к а н а л о в

с большой

п л о щ а д ь ю рассеяния

граница,

д а в а е м а я (б.ЗЗв),

является

очень слабой.

6.5. СИСТЕМЫ

С С И Л Ь Н Ы М

РАССЕЯНИЕМ

В ОДНОМ

И З М Е Р Е Н И И

В предыдущем р а з д е л е

отыскивались оценки

качест­

ва передачи, которое

обеспечивалось

при таком

исполь­

зовании

к а н а л а , когда

он

ведет себя

как нерассеиваю -

измерении. Такой режим работы оказывается

выгодным

по двум причинам. Во-первых, при з а д а н н о м

к а н а л е он

нию с тем случаем, когда

мы пытаемся минимизировать

степень неявного

разнесения .

Во-вторых,

он может

су­

щественно уменьшить

степень

явного

разнесения,

тре­

буемую для достижения заданного качества, тем

самым

упрощая

реализацию

системы.

П р е ж д е

всего

рассмотрим

капал,

не

рассеивающий

во времени, но с сильным

рассеянием

по

частоте.

Полу­

ченные результаты

затем

обобщим на

другие

случаи

сильного рассеяния по одному измерению.

Системы

с сильным

рассеянием

по

частоте

Согласно

эвристическому определению

§

3.3 система

является

рассеивающей только

по

частоте,

если

L W - C

• С І . Если

в

такой

системе

ВТ~^>\,

она

называется

силь­

но рассеивающей

по

частоте.

Система

с

данной

функ­

точно

большой длительности Т

и с достаточно узкой по­

лосой

частот W.

Д л я систем с

сильным рассеянием

по

частоте

выра­

жения д л я е и Di

относительно

просты.

П о

крайней

мере,

сохранении

постоянной величины

произведения

TW.

Приведем

здесь асимптотические

в ы р а ж е н и я д л я

е и

(6.44а)

где « о ( 0 — п р о и з в о л ь н о е

колебание

единичной

длитель ­

ности с единичной

нормой:

(6.446)

Тогда

длительность

u(t)

равна

T, а

з а н и м а е м а я

полоса

частот

Wo/T,

где

W0

— полоса

частот огибающей

uo(t).

Асимптотические

в ы р а ж е н и я будут

получены в

предпо­

ложении, что

Т—ѵоо.

Асимптотические

в ы р а ж е н и я

для

е.

Воспользовав ­

шись (6.21), найдем

предельные

в ы р а ж е н и я

дл я

е и D i

при

D i = bzld2,

u(t),

заданном

(6.44а),

и Т—мх>.

Эти вы­

р а ж е н и я

следуют

из асимптотических

в ы р а ж е н и й

дл я Ь

и d,

полученных в приложении 4:

lim ЬТ =

j |

//„

(О

Г

( j

(/)

d/).

(6.45а)

limodr=(J|rt0(Ole

( M }

(6 -4 5 6 )

где

а ( / ) — ф у н к ц и я

рассеяния

по частоте,

a(f)

=

Ja(r,

f)dr.

(6.45в)

Используя

(6.21),

(6.446)

и

(6.45),

получаем

следую­

щие

предельные в ы р а ж е н и я дл я

е и D i при D j = 63 /d2 '-

lim

s =

s

,

(6.46a)

lim

(D£IT)

=

B(sJ-,

(6.466)

Г->оо

г д е

£ о о = [

y°s

(о #]7 ( S і "°{ t ) IеА ) ( Р ( / )

• ( 6 - 4 6 в )

а 5 — долплеровская

зона

к а н а л а ,

B

=

{[[=(f)\adf}-1

.

(6.46г)

В ы р а ж е н и я

(6.46)

д а ю т гарантированную

эффектив ­

ность системы

с комплексной

огибающей,

определяемой

в ы р а ж е н и е м

(6.44а),

при

достаточно

большом

Т. Одна­

ко

эта

г а р а н т и я

основывается

на

том

условии, что

azoojDeDi

— отношение

сигнал/шум по энергии

на

эффек ­

тивную

ветвь

разнесения — поддерживается

равным

оптимальной

величине,

а%,

например

т р е м

при

доста­

точно низких

скоростях

передачи. Так к а к D i асимптоти­

чески пропорционально

Г, это условие

можно

выполнить,

только

если о б щ е е

отношение

с и г н а л / ш у м

по

энергии а

т а к ж е пропорционально

Т.

В

частности,

если

исполь­

зуется

явное

разнесение,

асимптотическое

івыражение

д л я

а д о л ж н о

иметь вид

а=и0рТВгоо.

(6.47)

Р а в е н с т во (6.47)

означает,

что ограничительная

дли­

тельность

х д о л ж н а

линейно возрастать с ростом Т. То­

гда при

фиксированной

скорости

передачи

R

размер

а л ф а в и т а

m д о л ж е н

экспоненциально

возрастать

с

ро­

стом Т, так как ш=

2Rx

.

К счастью,

асимптотические

значения

е и Dj иногда

достигаются

при умеренных

зна­

чениях

Т

и, следовательно,

in.

Н и ж е

мы еще

вернемся

к этому

вопросу.

Так

как значение

Б.ОО часто

близко

к единице,

асимп­

вать

с помощью

величины

ВТ,

а

не

ВТе2^. РІспользова-

ние

оценки ВТ

оправдано

т а к ж е

оценками

разнесения

§ 6.1, ибо

при

р а с с м а т р и в а е м ы х

предельных

условиях

равенства

(6.1)

и

(6.2)

т а к ж е асимптотически

близки

к ВТ.

максимум е по іі0(і).

Н а й д е м

теперь

Это

эквивалент ­

но отысканию

минимума

величины

Q =

^\u0(t)\'dt

(6.48)

при

ограничении

(6.446).

П о к а ж е м ,

что

минимальное

значение Q равно единице и достигается

при

" . ( ' ) =

( 1

I /1

<

1 /

( 6 - 4 9 )

I

n

в

противном

случае .

U

Заметим, что

1 =

[ j

I "о (О

14

dt]

=

( j I «0

(0

11 и0

(t) I3 dt)2

(6.50а)

или

в силу

неравенства

Ш в а р ц а

[8]*'

[JK

(t)ï'

dtj

<[JK

(t) I2 dt\[

j I u0 (t) |«

dt\,

(6.506)

где равенство

достигается

тогда

и только

тогда,

когда

| u o ( i ) | = / C | u „ ( * ) l 8

(6.50B)

при

некоторой

константе

К.

И з

этих

соотношений сле­

дует,

что Q ^ l . К р о м е

того,

Q = l

всегда,

когда

удовле­

творяется

(6.50в),

т. е. когда ііо(і)

=

\

на

всем,

возмож ­

но,

разрывном,

интервале

времени

единичной

длины

и UQ(Ï)=0

в остальные моменты времени. Таким

обра­

зом,

минимальное

значение

Q равно

единице.

В ы р а ж е -

U ( /

) = ( 1 / | / T

при

\t\<T/2,

( 6 5 1 )

\

0

в противном случае.

П о д с т а в л я я

(6.49) в (6.46в), получаем

.

. *

е» =

[.1 а 2 (/) djfl j ал (/) dl

(6.52)

Это

значение

эффективности

относительно

оптимизиро­

ванной системы с разнесением

и равными весами ветвей

может быть достигнуто при использовании

огибающей

(6.51) и очень

большом

Т.

Интересно

определить, насколько м о ж н о приблизить­

ся

.к качеству,

обеспечиваемому оптимальными сигнала ­

трев

комплексную

огибающую

вида

2 1/'-І

,

t

2

"(/)

=

TTехр

~т\~)

'

(6'53а)

Соответствующее

в ы р а ж е н и е д л я

и0(і)

таково:

«о (0

= (2)1'кехр—л(02

(6.536)

и в ы р а ж е н и е д л я

переходит

в

в ы р а ж е н и е

в о о = К 0 7 5

{ j [ 3

№dfflft(i)Ydf.

(6.53B)

Следовательно,

значение

для сигнала (6.53а)

состав­

ляет

приблизительно

86%

максимального значения . Та­

ким

образом,

использование

сигнала (6.53а)

вместо

ставляющей 0,6 д Б .

Отсюда

м о ж н о заключить,

что по­

лученные результаты

не

очень чувствительны

к

виду

используемых сигналов. Это

т а к ж е отмечалось

в

[9] по

другому поводу.

М а к с и м а л ь н ы е значения

асимптотической

эффектив ­

ности и соответствующие

величины неявного

разнесения

д л я различных функций

рассеяния

представлены,

в табл . 6.1. Эти величины вычислены

по ф о р м у л а м (6.52)

и (6.466) д л я оптимального

сигнала

(6.51). Поскольку