книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

В

формулы,

полученные в гл. 5,

функция

рассеяния

к а н а л а

и форма

сигналов входят только

через

парциаль ­

ные энергетические веса ветвей или

собственные

значе­

ния

?w\

С в я ж е м

теперь

эти

результаты

непосредственно

с функцией рассеяния к а н а л а

и огибающей

сигналов

мо­

дулятора . П р е ж д е всего

нужно

определить

уровни

поме­

хоустойчивости системы, д о с т и ж и м ы е при данной

функ­

ции

рассеяния,

и установить,

при

каких

сигналах

эти

уровни

достигаются .

Полностью эту з а д а ч у

решить

не

удалось . П о к а

неизвестно,

насколько

м о ж н о приблизить­

ся к

оптимальным р е з у л ь т а т а м

гл. 5 в произвольном

ка­

нале.

Однако

оказалось

в о з м о ж н ы м

установить,

что

зачастую достижимые уровни ненамного децибелл

отли­

чаются

от

оптимального. П о к а з а н о

т а к ж е ,

что

пропуск­

н а я

способность

к а н а л а

не зависит

от

функции

рассея­

ния.

Д л я

получения

этих

результатов

пришлось

вести

исследования

в

нескольких

направлениях .

Так,

в

§

6.1

используются

оценки

разнесения из

гл. 3, а в § 6.2

пока­

зано, что эти оценки верны с большой точностью.

Конец

главы

посвящен

частным

случаям,

когда

или

функция

рассеяния

л о к а л и з о в а н а , или

сигнал

сильно размыт в од­

ном

измерении.

В к а ж д о м

случае

получено,

что

опти­

м а л ь н ы е качественные

показатели,

выведенные в гл. 5,

могут

быть достигнуты

как

в к а н а л е

со

сверхрассеянием,

так

и

с

м а л ы м

рассеянием . К р о м е того,

все

примеры

по­

казывают,

что

оценки

разнесения,

полученные

в

§

3.6,

промисс м е ж д у простотой и точностью, т.

е. система,

построенная с использованием

этих

оценок,

зачастую не

х у ж е той, которая получается,

если

использовать более

в §

3.6. П р е д п о л о ж и м ,

что все

веса ветвей равны, и

оце­

ним

число D ветвей,

пользуясь

результатами § 3.6.

Н а ­

лизована

во времени и по частоте (рис. 3.9),

a

TW=l,

то

D= ( 1 + 5 7 )

(l+LW).

(6.1)

С другой стороны, если точно

известно, что

веса

ветвей

равны,

из

(3.47)

следует, что

(6.2)

где M

(a,

ß ) — д в у х ч а с т о т н а я

корреляционная

функция

к а н а л а ,

a

]0(ß,

а) | 2 — ф у н к ц и я

неопределенностгь

В той

мере,

в какой верны

аппроксимации

§

3.6,

ка­

цией рассеяния можно определить по

р е з у л ь т а т а м

гл.

5

для .D-кратной системы с равными весами ветвей. В ча­

стности,

поиск

оптимальной

формы

сигнала

сводится

к определению

таких

значений

Т

и

W,

при которых

D =

= D°, определяемому из формул

(5.35)

и

(5.45). Н а п р и ­

мер,

если

ß > 1 2 д Б ,

то

Т и

W следует выбирать так,

что­

бы

D = a/3, где

а — отношение

сигнал/шум

по

энергии.

D,

Если применимо одно из простейших в ы р а ж е н и й

д л я

например

(6.1),

то

определение

требуемых

значений

Т и W тривиально . Конечно, было бы странно, если

бы

все

сигналы с данными Т и W обеспечивали

одно

и

то

ж е

значение вероятности ошибки. О д н а к о

использование

этой оценки как предварительной может сильно

сокра­

тить

объем работ при

расчете

системы.

Простейшую формулу (6.1) можно обобщить на сиг­

налы

или функции

рассеяния,

не

л о к а л и з о в а н н ы е

во

времени

и по частоте [1, 2]. Это

обобщение

особенно

про­

сто

и в а ж н о

в

случае,

когда

б а з о в а я

комплексная

оги­

б а ю щ а я

и(і)

является

суммой

отдельных

составляющих

в к л а д ы которых в принятый сигнал статистически

независимы друг от

друга

и

не

интерферируют

м е ж д у

собой, т. е. когда используется

«явное разнесение». Имен ­

но эти условия рассмотрены в

§

4.4. К а к

там

установле­

но, они приближенно удовлетворяются, если

различные

составляющие

Ui(t)

отделены

друг от друга, по крайней

мере, на В герц по частоте или L секунд во времени

или

же,

наоборот,

на L ~ l

герц

по

частоте

или

В~1

секунд

во

времени. К а к

у к а з а н о

в § 4.4, тгри выполнении

этих

усло­

вии собственные значения

или энергетические веса

ветвей

ставляющих 'Сигнала

простыми

соотношениями.

Итак,

пусть

базисная к о м п л е к с н а я

о г и б а ю щ а я

равна

4(t)=tVJiUi(t),

(6.3а)

где

Рі^О,

і = \

//,

(6.36)

£ р * - = 1 .

(б.Зв)

i=i

К р о м е того, предположим, что удовлетворяются

условия

статистической

независимости

и

отсутствия

взаимных

помех. Энергетические

веса

ветвей

в

системе,

исполь­

зующей

u(t),

равны

\JiPj,

j — l,

. . . , n,

t = l ,

. . . ,

где

АЛ,

/ = 1 ,

. . . , — веса при

использовании

только

a

pj

—

часть

общей

передаваемой

энергии,

вносимая

членом

У

Pjtij(t).

Таким

образом,

энергетические

веса

ветвей

для

u(t)

м о ж н о

приближенно

определить,

пользуясь

оценками

?J.

Н а п р и м е р ,

предположим, что

использование

iij(t)

в качестве комплексной огибающей дает примерно D,

ветвей

равного

веса,

определяемое

(6.1). Тогда

u(t)

дает

около

D

ветвей

разнесения

с

энергетическими

весами

PjjDj

при

} — \,

...,

п.

В

частности,

если

Pi = D i j y i

D i

,

(6.4)

то все энергетические

веса,

соответствующие

u(t),

равны

/VJ

DÄ

' . Такой

выбор

pj является

довольно

естествен -

ным,

т а к к а к равенство

энергетических

весов,

к а к

пока­

зано

в гл. 5, — это

условие достижения

оптимальных па­

раметров передачи.

Значения весов

ветвей при явном разнесении

можно

т а к ж е

вывести из

равенства (6.2). В частности,

если

в к л а д ы

различных

iij(t)

в принятый сигнал

статистиче­

u(t) м о ж н о выразить

в виде

R(t,

х ) = 2 Л / г л ( / , t),

!

где

Rj(i,

т ) — к о м п л е к т н а я

корреляционная

функция

Uj(l).

Если, кроме

того,

отклики,

соответствующие Uj(t),

не

интерферируют,

то

R {t

,%) \Чкк

= 2

Р І 2

[ I Ri

{t,

т) \2dtdz.

Но

при

условии

справедливости

(G.2)

из

этого

в ы р а ж е ­

ния

следует, что •

Таким образом,

снова получается, что

если д л я pj

спра­

ведливо

(6.4), то

энергетические веса ветвей при исполь-

зованин

u(t) равны

(

(YD-

^

1

Д о сих

пор предполагалось, что система о б л а д а е т ха­

рактеристиками

систем

с разнесением

и

р а в н ы м и

веса­

ми

ветвей,

и на

этой

основе была получена д л я нее гру­

бая

оценка

числа ветвей

разнесения. Однако, к а к

будет

показано

в § 6.2,

сомнительно, чтобы д л я

реальных

функ­

ций

рассеяния м о ж н о

точно достичь этих

характеристик .

Ввиду

этого лучше, всего

было

бы

вернуться

к

ре­

з у л ь т а т а м

гл. 5 и попытаться

определить

комплексную

огибающую

передаваемых

сигналов,

обеспечивающую

наилучшее

качество приема

в д а н н о м к а н а л е . К

с о ж а л е ­

нию, это

исключительно т р у д н а я

з а д а ч а .

К р о м е

того,

хотя в реальной системе и

невозможно добиться

точно

таких ж е

качественных

показателей, к а к

и в- оптимизи­

рованной

системе с разнесением и равными весами

вет­

вей, к ним

иногда можно приблизиться достаточно близ­

ко. В той

мере, в

какой

это

в о з м о ж н о ,

сильные

оценки

качественных

характеристик

системы д о л ж н ы

д а в а т ь

ре­

зультаты

§ 5.5. Поэтому

мы

сосредоточимся

именно

на

этих результатах .

П р е ж д е ,

однако,

установим

условия,

необходимые

д л я

того, чтобы

д а н н а я

система

р а б о т а л а

т ак ж е ,

как

система

с

разнесением

и равными

весами

ветвей.

Поскольку эти

условия

не

используются

в после­

д у ю щ е м , этот п а р а г р а ф

можно

без

у щ е р б а д л я

слитности

изложения

опустить.

6.2. УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Заметим,

что

6 =

5 > t < * o £ * t

=

*o.

(6.5)

где Яо — максимальное

из

А,,-, называемое

доминантным

собственным

значением. Неравенство

(6.5) переходит

в

равенство тогда

и только

стиками

системы

с

равными

весами

ветвей

является

равенство

6 Д 0 = 1 .

(6.6)

В силу

(2.42)

или

(3.46)

b

можно

представить'

в

виде

Ь =

^\R{t,z)\*dtch,

(6.7)

где

R(t,

х)

—комплексная

корреляционная

функция,

соответствую­

щая

функции

рассеяния

канала

и базовой

комплексной

огибающей

u(t).

Удобнее,

однако,

воспользоваться

эквивалентным

выражением

ô =

j

^\а,(х,у)ви(у,х)\*

dxdy,

(6.8)

где

и (х,

у)

— двухчастотная

корреляционная

функция

канала и

9ц (У, х)

I 2

—функция неопределенности u(t),

т.

е.

9Ц (У. х) =

j u

(t

—

У/2)

и.* (t +

у/2)

exp j2nxt

dt.

(6.9)

Подстрочный

индекс

««»

введен

во

избежание

недоразумений

в дальнейшем.

Используя

экстремальное

свойство

доминантного

собственного

Xо = max [ ^

М О R {t,

t) f* W dtdxj,

(6.10a)

где максимум

отыскивается

ло всем

функциям

f,(t) с

единичной

нормой, т. е.

"

f(t)\ldt

=

\.

(6.106)

После некоторых преобразований

(6.10а)

можно

переписать

в виде

А„ =

max [^Sl(x,y)

Ѳц (у,

х)

8/ (у,— х)

dxdy],

(6.11)

где максимум

снова

отыскивается іпо всем

функциям f(t)

с единич­

ной

нормой,

a

Ѳ / ( . , . ) определяется

выражением

(6.9),

в

котором

вместо u(t)

подставляется }(t).

Доминантное

собственное

значение %о равно значению

интегра­

ла в

(6.11)

или превышает его для каждой

функции

f(t).

Кроме

того,

в силу

(6.5) Хо^Ь.

Следовательно,

6 Д о = 1 ,

тогда

и

только

тогда, когда b превышает .правую -часть в

(6.11)

три любой

функции

f(t),

обладающей

единичной

нормой.

Поэтому

необходимым

и до­

статочным

условием

равенства

положительных

собственных

значе­

ний является

следующее:

jj"|<ft(x, у) 9Ц

(</. *)Іг dxctyTz

j j

Si(x,

у) Ѳц(</, х) Bf(y,

— х)

dxdy

(6.12)

для любой функции f(t) с единичной нормой.

Условие

(6.12) особенно

полезно

при определении

класса

кана­

лов,

для которых

равенство

положительных

собственных

значений

невозможно. Например,

если

.принять f(t)=u*'(t),

іполуч-им

следую­

щее необходимое

условие

такого

равенства:

j

J [| Л

(X, у)\'

— Л(х,

у)} I К (У, X) I 2

dxdy

^

0.

(6.13)

I Si (х, у)\2 — Si (х, у)^0 при всех х н у

(6.14)

Ѳ„(«/, х ) = 0

(6Л5а)

при всех X и у таких, что

#1(х,у)ф\.

(6.156)

Условие (6.15) является очень строгим. В самом деле,

и Si(x, у

и Ѳ,і (у, х) равны единице в начале координат, а ви(у, х)

является

нале, и установим вид п е р е д а в а е м

ы х сигналов, обеспе­

чивающих такое качество. Качество

передачи будем в ос-

12—221

177

ііовном

х а р а к т е р и з о в а т ь

г р а н и ц а м и -

(5.17),

(5.77)

и

(5.78):

Р(е)<К2-2-'Еъ,

"(6.16)

где

Еь =

іпах

І Н Т / Р ( « Р ) - Р ] .

(6-17)

CfcgpsSI

8=1/"/ ) 6, .

(6.18а)

ap = a(b/D)W

= ealD,

(6.186)

a

D — любое число, удовлетворяющее

неравенству

в

котором

D^b3/cP,

(6.19а)

6 =

S

АД

(6.196)

гі =

£ л Л

(6.19B)

К а к и

в

гл. 5, исключив

из

рассмотрения

коэффициент

Kz, сосредоточим внимание на экспоненте Еь.

Она

макси­

м а л ь н а

при D — b3/d2.

Н о

нам необходимо

получить

ре­

зультаты

в в о з м о ж н о

более

простой форме.

С

этой

це­

лью иногда лучше использовать меньшие

значения D.

Напомним, что ѵ,

а и

ß — это соответственно

число

сигнал/шум

по энергии на бит информации .

Н а п о м н и м

т а к ж е ,

что

система с з а д а н н ы м и ѵ, а, Д, b

и d

р а б о т а е т

не

х у ж е

(в

смысле величины

экспоненты)

любой систе­

мы

с равными весами ветвей,

в которой величина ѵ рав ­

разнесения равно ар,

а

отношение сигнал/шум по энер­

гии на

бит информации

равно

eß.

К а к

и в гл. 5, будем

н а з ы в а т ь D эффективным числом

ветвей

разнесения,

а р

— эффективным отношением сиг­

н а л / ш у м по энергии

на

ветвь

разнесения, eß — эффек ­

b2ß/d.

Хотя связанная с этим обстоятельством нестро­

гость

результатов н е ж е л а т е л ь н а , она, по-видимому,

эти результаты

будут достаточно точными . Единственной

альтернативой

такому подходу является

численный

ана­

лиз. Д л я

некоторых

ограниченных классов

задач,

напри ­

мер для

к а н а л о в с

рассеянием только

по

одному

пара ­

метру

[6],

существуют

эффективные

вычислительные

алгоритмы .

М ы найдем к а к

D, т а к

и е, но большее

внимание бу­

дет уделено значению е, поскольку величину D

м о ж н о

подбирать

и, следовательно, оптимизировать независимо

от е,

т. е.

независимо от значений v, ß,

а и

d м о ж н о

так

всяком случае не меньше, чем в оптимизированной

си­

стеме с

равными весами

ветвей при отношении

сиг­

н а л / ш у м

по энергии на

бит информации, равном

eß.

санного в §§ 4.4 и 6.1.

Этот

метод позволяет

достичь

предельных

уровней

качества,

описанных в

гл. 5, д л я

го­

р а з д о более

широкого

класса

каналов, чем

это

было

бы

в о з м о ж н о

без него.

Явное

разнесение,

в

частности, обеспечивает

возмож ­

ных

ветвей

разнесения.

Точнее

говоря,

при з а д а н н о м

множестве собственных значений Ài, fa •..,

соответствую­

щих

функции

рассеяния

а (г, / )

и

передаваемому

сиг­

налу

u(t),

можно в ы б р а т ь т а к у ю

форму

сигналов,

при

которой

к а ж д о е %І заменяется набором

DE

собственных

значений, равных KiD~le,

т. е. к а ж д о е ХІ

заменяется

соб­

ственным значением, равным

и м е ю щ и м кратность

De. Это

м о ж н о осуществить путем

формирования De ча­

стотных

или

временных

сдвигов u(t),

удовлетворяющих

рассмотренным

в §§

4.4 и 6.1. С у м м а этих

колебаний,

у м н о ж е н н а я (с

целью

сохранения нормировки)

на

DJ112,

12*

179

B={Db/De)1'2,

(6.20а)

Ds^,(b4d2)De.

(6.206)

Более компактный

результат

получается, если

поло­

ж и т ь

Di = D/De.

(6.21а)

Тогда

е=УОф,

(6.216)

где Di

ограничено условием

Di^b3/d2,

(6.21 в)

a b и d

определяются из (6.196)

и (6.19в).

Равенство (6.21а) представляет эффективное

разне­

сение

D в

виде произведения

двух сомножителей

De

и Di. Будем

н а з ы в а т ь

неявным разнесением в

исход­

ной системе,

a Dp — явным

разнесением.

Смысл

явного

разнесения

и способы

его

реализации

позволяют

на­

явным разнесением,

использующими

сигнал

» ( 0 - Это

название согласуется

с

обычными

концепциями

систем

с разнесением.

В а ж н о отметить,

что

значение

е

зависит

от

выбора

моздких обозначений,

будем

использовать все время

один

и тот ж е символ 8, считая,

что соответствующее значе­

ние Di определяется

контекстом.

В ы р а ж е н и я (6.21)

ясно

показывают, что общее

эф ­

фективное разнесение

DeDi

м о ж н о менять, сохраняя

при

мизировать

экспоненту

Еъ,

з а д а в а е м у ю

в ы р а ж е н и е м

(6.17),

по

а.р, подобрав такое

De,

чтобы

а2 , = а%, т. е.

чтобы

выполнялось равенство

DeDt

= ea/aPp,

(

(6.22)