Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>


чество системы			можно улучшить, у м е н ь ш а я его величину
и одновременно			увеличивая		число ветвей. Однако, как
мы теперь видим, при этом					уменьшение		а2 ,	не	д о л ж н о
быть	слишком		большим .
			Избыточное		разнесение
Р а с с м о т р и м			другой предельный случай, когда						аР-—HD
при	фиксированном			значении		R/C. Оказывается ,				что
при	этом	экспонента		хСЕ	івероятности		ошибки			стре
мится к нулю независимо от					того, насколько			могут		быть
велики г или С. Грубо говоря, этот результат								показывает,
что,	если	имеющееся		отношение		сигнал/шум ,		а,	распре

деляется слишком малыми долями среди различных вет

вей разнесения, н а д е ж н а я связь	невозможна . Такое рас
пыление оказывается вредным вследствие		квадратичного
х а р а к т е р а подавления в оптимальных		д е м о д у л я т о р а х
ответвлений.
Чтобы вывести приведенный	результат, заметим, что
Е достигает максимального значения при		R = 0.	Следо
вательно, положив в (5.62) р = 1	и R = 0,	получим
* < £ l n ( l + ^ ) - ^ - l n ( l + « P ) ;			( 5 - 6 6 )
отсюда при ар—ИЗ
Е^>аР/4—+0.			(5.67)

Вообще, если D—>-со при любом сколь угодно большом фиксированном значении тС, экспонента хСЕ вероятно сти ошибки стремится к нулю:

J i m і С Е < lim [(^С/2)2 (In2) /D] =		0.	(5.68)
D->oo	D-*oo
И з того, что с	ростом D величина хСЕ	стремится к 0
при фиксированном хС, а при фиксированном			D с ростом

хС она стремится к положительной константе, можн о за


ключить,		что излишнее, разнесение может						оказаться д а ж е
вреднее,		чем	слишком		малое	разнесение.
	Результаты			для	низкой	скорости		передачи
Подробно			х а р а к т е р		зависимости Е		от	ар следует, во
обще	говоря,		изучать		численно д л я		к а ж д о г о		значения
R/C.	Однако		д л я	достаточно		малых скоростей			передачи

п - 2 2 1

161

существует простое аналитическое в ы р а ж е н и е . В	частно
сти, из (5.62) следует
£ = / і ( а Р ) — Я / С	(5.69)

для всех ••/?<••/?кр. Таким образом, при «малых» *) скоро стях передачи зависимость Е от аР удобно х а р а к т е р и з о вать величиной fi(aP) или нормированной величиной ,ію:

М о = / і ( а Р ) / / і ( а Р ) « / і ( а , ) / 0 , 1 5 .

(5.70)

М а к с и м а л ь н о е

значение

|Ло=1.

Оно

достигается

при

а р = 3.

Величину р.п м о ж н о

трактовать ка к

относительную

эффективность системы с разнесением и равными

веса

ми ветвей

по мощности

(или по пропускпой-способности).

В частности,

т С £ = т ( ц 0 С )

(0,15—ЯДіоС).

(5.71)

Таким образом,

при малых

скоростях

передачи

система

с д а н н ы м и значениями

С,

т и

но о б л а д а е т

такими

ж е

характеристиками, как и оптимальная система

с теми

ж е

значениями т и R, но с пропускной способностью,

рав

ной цоС

Иными

словами,

экспоненту

вероятности

ошибки

можно выразить в следующем виде:

т С £ = ѵ £ ь = ѵ(0,216цоВ—1),

(5.72)

где ß — отношение

сигнал/шум по энергии

на бит инфор

мации, а

V — число

бит, приходящееся

на

передаваемый

сигнал. Следовательно, но можно рассматривать так же , как эффективность по отношению сигнал/шум по энергии

на бит информации . Это значит, что вероятность									ошибки
в системе		с з а д а н н ы м и ß,		ѵ и ц 0		определяется такой				ж е
экспонентой, как и в оптимальной						системе, с тем ж е				зна
чением V, но с отношением					сигнал/шум		по энергии			на
бит	информации,		равным p.oß.
Значения цо как функции					а Р	можно	определить			из
(5.63) и		(5.70).	Г р а ф и к	этой		функции		приведен		па
рис. 5.12.		Он показывает,		что эффективность сравнитель
но	мало	чувствительна		к	величине		отношения			сиг
н а л / ш у м		по энергии на ветвь			разнесения. В самом деле,
при	его значениях		в диапазоне от I до				10	величина		\|і 0
мы	*> Критическая скорость сама				является функцией аѵ.				Поэтому
	используем такой		неопределенный термин, как «малая»						скорость.

162


п р е в ы ш а ет 0,75. С другой стороны, если аР		или	слиш
ком мало, или слишком велико, цо—>-0.
Н а этом мы з а к а н ч и в а е м рассмотрение		систем	с раз
несением и равными весами ветвей и	переходим к сле
дующей задаче: на основе результатов	дл я систем		с рав-

0,1	1	Ю	Ю0ар
Рис. 5.12. Зависимость	эффективности и 0 при низких		скоростях пе
редачи от отношения сигнал/шум по энергии на ветвь			разнесения ар .
ными весами ветвей	получить	некоторые простые грани

цы надежности дл я любой заданной системы с з а м и р а ниями и рассеянием. В гл. 6 эти границы будут положе ны в основу анализ а проблемы выбора сигналов.


	5.5.	ГРАНИЦЫ		НАДЕЖНОСТИ
	В соответствии	с (5.15)		верхнюю		и н и ж н ю ю	грани
цы	надежности системы		можно		получить, оценив		сверху
и	снизу величину	Е(р).	Н а ш а		з а д а ч а	теперь — предста
вить эти -оценки в		форме	е/р	(аР), где		fp(x) — ф у н к ц и я ,
определенная в (5.63). Т а к а я форма						позволит выразить

границы надежности данной системы через надежность
связанной	с. ней системы с разнесением и равными	веса
ми ветвей.	Получим с н а ч а л а эти соотношения, а	затем

выведем в ы р а ж е н и я дл я s	и ар .
П р е д п о л о ж и м , что
Е(р)^е!рЫ,			(5.73а)
где е и ар не зависят от	р. В	силу (5.15)	надежность
системы удовлетворяет следующему в ы р а ж е н и ю :
E>max[ef(ap)-pR/C]			(5.736)
0s=pï=J	Р
или
~ ^ т а х [ /	(ар ) -	Р / ? / 8 С ] .	(5.73в)

163

П р а в а я	часть (5.73в)	представляет собой надежность
системы с	разнесением	и равными весами ветвей, рабо

т а ю щ е й при отношении сигнал/шум по энергии на ветвь

разнесения, равном аР.	П р и м е м ,	что	скорость	передачи
в этой гипотетической	системе	равна	R, т. е.	скорости

передачи в данной системе, а отношение сигнал/шум по мощности или «пропускная способность при наличии только аддитивного гауссовского шума» отличаются от соответствующих величин в данной системе в е раз . Та ким образом, можно сделать вывод, что надежность дан ной системы, по крайней мере, не меньше умноженной на е надежности системы с равными весами ветвей, ра ботающей с такой ж е скоростью, но при отношении сиг нал/шум по энергии на ветвь разнесения а р и общем отношении сигнал/шум по мощности, составляющем только часть е от этого отношения в данной системе.


Поскольку п о л н а я			экспонента вероятности			ошибки	есть
хСЕ,	отсюда т а к ж е следует, что			экспонента		вероятности
ошибки		в системе,	для которой	справедливо		(5.73а),	во
всяком		случае, не	меньше, чем в системе с			разнесением
и равными весами			ветвей, о б л а д а ю щ е й		пропускной		спо
собностью еС и отношением сигнал/шум					по энергии		на
ветвь	разнесения		ар.

Проведенный анализ показал, что е можно рассма тривать как оценку эффективности данной системы отно сительно системы с разнесением и равными весами вет вей, р а б о т а ю щ е й при данном значении >аР. Практическое значение этой трактовки еще более возрастет, когда бу дет показано, что м о ж н о найти такое оптимальное зна чение rip, при котором е дает оценку эффективности от носительно оптимизированной системы с разнесением и разными весами ветвей.

М о ж н о	т а к ж е интерпретировать е	как	степень
уменьшения	ß, которого можно достичь,	если	заменить

данную систему системой с разнесением и равными ве

сами	ветвей. Эт о следует		из возможности			представления
экспоненты		вероятности	ошибки в		виде	произведения
хЕь,	где
		£ ь = т а х [ ( 3 £		(р)/Іп2	P]	(5.74)
или	в силу	i (5.73а)
		Еъ > max fße/		(a p )/in2	"Pi-	(5.75)
164				\

П о с к о л ь ку / р ( а р )		— это п р о с т о р (р) для системы		с	раз
несением и равными весами ветвей, то значение				Еь	дл я
данной	системы,	по крайней	мере, не меньше значения
Еь дл я	системы	с разнесением	и равными весами	ветвей,

работающе й при отношении сигнал/шум по энергии на ветвь разнесения, равном аР, и значении отношения сигнал/шум по энергии на бит информации, составляю щем часть Б соответствующего отношения в данной си стеме. Таким образом, оказывается, что eß можно рас сматривать как н и ж н ю ю границу эффективного отно шения сигнал/шум на бит информации . Аналогично аР можно рассматривать как оценку эффективногоотноше

ния	сигнал/шум	по	энергии на	ветвь	разнесения,
a e a / a p = D — к а к		оценку «эффективного»			числа ветвей
разнесения.
Н е	представляет		труда обобщить	эти	результаты и

получить верхнюю границу надежности системы. Н а п р и

мер, из справедливости неравенства
Е(Р)<Цѵ)	(5-76)

д л я данной системы следует, что ее надежность на один бит информации Еь не превышает надежности системы с разнесением и равными весами ветвей, в которой от


ношение			сигнал/шум	по энергии	на	ветвь	разнесения
равно		а Р	дл я данной системы и отношение				сигнал/шум
на	бит информации составляет часть					е от его величины
в	данной		системе.
	Установив смысл границ дл я Е(р),					найдем		теперь
сами		эти	границы . П р и в о д и м ы е		н и ж е	в ы р а ж е н и я		полу
чены		как	компромисс	межд у точностью и			сложностью .

В гл. 6 они будут использованы еще раз .
Hиокняя	граница
П о к а ж е м , что неравенство
£ ( Р ) » е / Р Ы >		(5.77а)
в котором
е =	уьТЗ	(5.776)
и
aP = a(b/D)№,		(5.77B)

165

с п р а в е д л и во	при всех значениях р на отрезке О ^ р ^ . І			и
при всех D,	не п р е в ы ш а ю щ и х	b'^d2. Величины	b, d	и
fр ( • ) з а д а ю т с я следующими		в ы р а ж е н и я м и :
	6 = S Яг,		(5.78а)
	І
			(5.786)

где Xi — парциальные энергетические веса ветвей в пред ставлении данной системы в виде системы с разнесе нием.

Чтобы установить справедливость (5.77), введем сначала с л е д у ю щ у ю функцию W ( p ) :

(5.79а)

которую в силу (5.26) можно представить в виде

	W(P)	= 1 + Р							(5.796)
П о к а ж е м	теперь,		что W(p)		является		неотрицательной
функцией	и, следовательно,				неравенство (5.77а) справед
ливо дл я всех значений D, не превышающих								b3/d2.
Нетрудно		доказать, что
	(1 + р)2		d*W(t)	^	2 ( l + p )	dW (р) i
		a	dp2		а	dp	~
	«[і+р(і+«р)іг				S [ І + Р ( І + ^ ) ] 2			'	( 5 - 8 0 )
и поскольку		[1 + р ( 1 +у)]~~2		— вогнутая			функция		у [21],
- Н + Р	)	" d p	^ ^ W - d p ^			^ П + Р ( I + «,)]«
					a&	1
			[ l + p ( l + a d / 6 ) ] »

166

С л е д о в а т е л ь н о, если		D<.b3/d2,		то	ар	больше da/b,		и пре
дыдуще е неравенство		принимает			следующий		вид:
И з (5.81)	следует,	что	при	положительных			р	к а ж д а я
стационарная	точка W(p)		является			максимумом .		Поэто
му минимальное значение			W(p)		на	интервале		О ' ^ ' р ^ Д

принимает в одной из концевых точек, и достаточно до

казать, что

значения

^ ( р ) в

концевых точках

неотри

цательны.

что W(0)

Легко

доказать,

= 0 .

Д л я

того чтобы пока

зать,

что

W{\)

> 0 ,

заметим,

что

W(l)=-

4 l e f i ( a P ) - a J ] ^ ( a ^ ) L

где

ß ( x ) = — I n 1 + 4 Т Г ^ у - = 4 " M * ) -

После

некоторых

преобразований

можн о

получить,

что

при неотрицательных

значениях

функция

В(х)

являет

ся вогнутой. Следовательно .

* < 1 ) > - 4 [ . м « р )

П о д с т а в л я я

него

значения

ар,

определяемые

вы

р а ж е н и я м и

(5.77),

получаем

[егГ.(Ч-)-±Ѵ$і.№

Наконец,

из

рис.

5.3

следует,

что

(\/x)fi(x)

х а р а к т е р и

зует собой наклон прямой линии, проходящей через на

чало координат и точку с координатами				[х, fi(x)].		З н а
чит, (l/x)fi(x)		является	у б ы в а ю щ е й функцией х,		и	если
D<è3/d2,	то
отсюда	вытекает, что на		отрезке 0 ^ , р ^ 1	функция		W(p)
является неотрицательной.
Поясним смысл (5.77) на двух примерах . Предполо
жим , что д а н н а я система			обладае т точно	N равными		по
ложительным и		собственными значениями .		Тогда	значе-

167

н и я bud

равны

соответственно УѴ-1 п УѴ-2, а верхний

пре

дел D равен

N. При D = N

имеем ар — a / N

н е = 1 , т. е.

неравенство

(5.77а)

для систем с разнесением и

равны

ми весами ветвей переходит в равенство.

В качестве второго примера

рассмотрим

систему, об

л а д а ю щ у ю

собственными значениями,

равными

Х0, и

значениями,

равными

( 1 — / Ѵ Д о ) ^ - 1 .

П о л о ж и в

D =

b*/d\

из

(5.776) и

(5.77в)

найдем

[ М . У + АЛ,-1 (\-NXY-V-

^ 8 9 я г

—

, ѵ , ѵ +

Л ' 2 - ч і - Л ' , \ о ) »

V-Ö2a>

частности,

дл я достаточно больших значений

(Xp/a^Xo,

(5.83а)

е « / Ѵ Д 0 .

(5.836)

Стоит

отметить,

что, когда

ІѴ2 достаточно

велико,

экспонента

вероятности ошибки

действительно

сводится

величине,

определяемой

из этих границ,

т. е.

рассма

т р и в а е м а я

система

фактически

работает

как

система

с разнесением и равными весами ветвей при отношении


сигнал/шум по энергии на				ветвь	разнесения, равном аХо,
и отношении		сигнал/шум		по	энергии,	составляющем
часть	g=/ViÄo этого отношения				в данной системе.		Спра
ведливость этого			утверждения можн о установить, исполь
зуя соотношения			(5.26) и (5.27).
Хотя при		одинаковых		положительных		собственных
значениях, к а к мы видели,				е = 1, наличие очень большого
числа	очень	малых собственных			значений	может	замет

но уменьшить величину е. В частности, если доля Л/Д0


общей	энергии	делится		поровну м е ж д у іЛ^	ветвями,
а остальная часть			(1—Л/До) — м е ж д у 7Ѵ2 ветвями			и если
N2—»-оо,	система		ведет себя так, как если бы этот			оста
ток был вообще		утерян. Это объясняется тем, что он на
столько	сильно	дробится,		что в демодулятор е	начинает

сказываться квадратичное подавление . Действительно,

когда	Nz возрастает, д о л я энергии	сигнала в к а ж д о й из
/Ѵ2 ветвей уменьшается, и сигнал		в этих	ветвях	подав
ляется	шумом . В результате система в целом работает
так, как если бы использовалась		только	часть	(ІѴДо)
общей	энергии.

168

	Верхняя	граница
В е р х н юю границу невозможно получить				т а к ж е	стро
го, как и нижнюю, но д л я не слишком			м а л ы х скоростей
передачи	или, что то же , д л я	не слишком		больших	зна
чений ß	имеются достаточно	полезные	результаты .		Они

используются в последующем обсуждении пороговых явлений при определении требований к пиковой мощно сти передатчика . Хотя это обсуждение проводится в гл . 6, результаты лучше привести здесь.

Вспомним (рис. 5.3), что f (х) является		выпуклой
возрастающей функцией х при л'<'а°р и		у б ы в а ю щ е й
функцией при х>а°р.	Следовательно,
ïP(x)<ft{y)	+ (x-y)f'r(y)	(5-84)

при всех X при условии, что î / < a p ° . В этом выражении /'Р (у) обозначает частную производную f (у) по у.

П о д с т а в л я я п р а в у ю		часть	(5.84) в	в ы р а ж е н и е дл я
£ ( р )	(5.26), получаем следующую оценку:
	E(P)<ff(y)	+	(*b-y)f'p(y)	(5.85а)
при	условии	У'^а°р,		(5.856)
где, как и прежде,		У'^а°р,		(5.856)
где, как и прежде,
	6 = £ л Д			(5.85в)

Чтобы получить более точную верхнюю границу, найдем минимум правой части (5.85а) по у. Этот минимум до стигается при у —ab, если a ô ^ ; a % . В противном случае наименьшее значение достигается при у = а%. Следова тельно,

Е(р)	<,f	(ab)	при ab*
			(5.86)
Е ' ( ? ) < ! „ ( Ѵ ) П Р И a b ^ a
Соотношения	(5.86)	в	сочетании с (5.76) д а ю т иско

мую верхнюю границу надежности системы. В ы р а з и м эти

результаты через Еь — надежность системы			на один бит
информации .
Рассмотрим систему		с з а м и р а н и я м и и	рассеянием
с з а д а н н ы м и	значениями	v, b, ß и a ( = v ß ) .	Пусть а°р —
оптимальное	значение отношения сигнал/шум по энергии

169

на ветвь разнесения в системе с равными весами										ветвей
при	том ж е	значении ß. Если			ab>anp,		надежность				дан
ной, системы ограничена сверху надежностью									оптималь
ной	системы	с разнесением п				равными	весами			ветвей,
р а б о т а ю щ е й		при	тех ж е значениях ѵ и				ß.	Если			ab<u°P,
надежность		данной		системы	ограничена		сверху			надеж
ностью системы			с	разнесением		и равными		весами			вет
вей,	р а б о т а ю щ е й		при тех ж е		значениях		ѵ и ß п отноше
нии	сигнал/шум		по	энергии	па	ветвь	разнесения,				рав
ном	ab.
Последняя из этих двух границ больше при всех зна
чениях ß, если ccöj<3, т а к как					тогда а & < а ° р				при	всех ,ß.

Если сх6>3, н а д е ж н о с т ь данной системы ограничена свер

ху надежностью оптимизированной системы		с	равными
весами ветвей при достаточно больших значениях			ß. Одна
ко, когда ß уменьшается, значение	а ° р увеличивается до
тех пор, пока не станет равным ab,	и любое	д а л ь н е й ш е е

уменьшение ß приводит систему в область, где Еъ огра ничена сверху величиной Еь д л я н е о п т и м н з и р о в а н н о й си стемы с равными весами ветвей. Следовательно, при до статочно м а л ы х значениях ß надежность любой системы не превышает надежности системы с разнесением и рав

ными		весами ветвей,			р а б о т а ю щ е й		при отношении			сиг
нал/шум по энергии					на ветвь	разнесения, равном				ab.
			С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Дж .		В о з е и к p а ф т,			И. Д ж е й к о б е .			Теоретические		основы
	техники связи. М., «Мир», 1968, с. 216—226.
2.	D. J. S а к г i s о п. Communication Theory: Transmission								of	Wave
	forms and		Digital	Information.		New	York:	Wiley, 1968,	pp. 200
	and	240.
3.	К. Xe л е т		р о м .	Статистическая		теория обнаружения			сигналов.
	M.,	ИЛ, 1963.

4.Р. Г а л л а г е р . Теория информации и надежная связь. М., «Сов. радио», 1974, гл. 8.

5.Дж . В о з е и к p а ф т, И. Д ж е й к о б е . Теоретические основы тех ники связи. М., «Мир», 1968, с. 309—312.

6.	Р. Ф а н о. Передача информации. М., «Мир»,					1965.
7.	К. Ш е и н о н. Вероятность ошибки			для	оптимальных кодов			в	га-
	уссовском канале. — В		кн.: Труды	по	теории	информации		и	ки
	бернетике. М., ГИФМЛ,		1963.
8.	Р. Ф а н о. Передача	информации. М., «Мир»,				1965.
9.	R. G. G a l l a g e r .	A Simple Derivation of the					Coding'Theorem
	and Some App'ications. IEEE Trans. Inform.					Treory, pp. 3—il8,
	January 1965.
10.	J. K. P i e r c e . Approximate Error			Probabilities			for Optimal	Di
	versity Combining. IEEE Trans. Communie. Systems, pp. 352—354,
	September 1963..

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ