Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

сравнение значений отношения сигнал/шум, при которых

обеспечивается з а д а н н а я		вероятность	ошибки.
Один	-полезный способ	такого сравнения о б с у ж д а л с я
в связи	с формулами (5.17).. В них входят: ß — отноше
ние сигнал/шум по энергии на один			бит, ѵ — число	бит
информации, передаваемое с одним			сигналом, и	Еь—

надежность на один бит. Эти величины связаны с вели чинами, использованными при построении рис. 5.5, сле дующими соотношениями:

v = l o g 2 m = P T ,		(5.48а)
р=т-=(ѵ)і п 2 Ч4)і п 2 -		(5-48б)
E b ° =	'[ßr)E°-	( 5 - 4 8 в )

Верхний индекс «О» у Еь обозначает оптимальное значе ние Еь- Р е з у л ь т и р у ю щ а я оценка дл я вероятности ошибки такова:

Р ( е ) ^ 2 ~ ѵ Ѵ .

(5.49)

Н а рис. 5.6

показана

зависимость Е°ь

от

дл я гаус-

совского к а н а л а

оптимального

к а н а л а

з а м и р а н и я м и

и рассеянием. Эти графики с очевидностью

показывают,

что в канале

с з а м и р а н и я м и

рассеянием

д л я обеспе

чения заданной вероятности ошибки при том

ж е

значе

нии V требуется

большее

значение

ß. Действительно,

при

больших значениях

ß в

к а н а л е с

з а м и р а н и я м и

рассея

нием

отношение

сигнал/шум

по

энергии

на

один

бит

д о л ж н о быть примерно

в 3,3

раза

больше,

чем

в гаус-

совском канале . Иными словами, при больших ß в

ка

нале

с замираниями

и рассеянием

требуется

примерно

на

5 дБ

большая

мощность

сигнала,

чем в гауссовском

ка

нале

при том же качестве

передачи

и том же значении

ѵ.

При

малых

ß,

т. е. при более

высокой скорости

передачи

в к а н а л е с

з а м и р а н и я м и

и рассеянием,, как

показывают

кривые на рис. 5.6, требуется лишь небольшая

дополни

тельная мощность сигнала. В пределе, когда

достигается

пропускная

способность

канала,

дополнительной

мощно

сти не требуется.

И н ж е н е р н ы е приложения

приведенных

результатов

достаточно

интересны.

При

низкой скорости

передачи,

151

или больших ß, в системе с з а м и р а н и я м и и рассеянием качество передачи, которое легко достигается в гауссовском канале, обеспечить трудно. С другой стороны, при меньших значениях ß оба к а н а л а имеют сходные теоре тические предельные характеристики, но они не могут

быть

реализованы

с помощью обычных средств связи.

Трудность

заключается

том, что

для разумных

значений

вероятности

ошибки

при

необходимости

рабо

тать с

м а л ы м и

требуются

чрез

мерно

большие

значения ѵ.

Стоит

отметить, что

графические

результаты, приведенные на рис. 5.5

и 5.6,

могут быть

в ы р а ж е н ы

анали

тически дл я скоростей, меньших

критической,

т. е. д л я

значений

ß,

больших

критического.

именно,

если RI^RKP,

оптимальное

отноше

ние сигнал/шум по энергии на ветвь

разнесения р а в н о

трем,

результи

р у ю щ а я надежность равна

£ ° = 0,15 — Я/С -

( 5 . 5 0 а )

-г

о г * s s w 12 » pТочно так ж е

при ß ^ ß I t p = 1 2

д Б

Рис. 5.6.

Зависимость

£ ° o

= 0,216ß—1.

(5.506)

оптимальной

надеж

ности

от

отношения

Д л я

значений

скорости

переда

сигнал/шум

по энер

гии

на

бит инфор

чи, находящихся

м е ж д у

критической

мации

(в

децибел-

скоростью

пропускной

способ

лах).

ностью

канала,

отсутствует

общее

простое

аналитическое в ы р а ж е н и е

для

Е°. Н о

дл я

ско

ростей,

достаточно

близких

С, относительно

простые

в ы р а ж е н и я получить можно . Они представляют

значи

тельную

ценность ввиду того, что при скоростях,

близких

к пропускной способности

к а н а л а ,

графики на рис. 5.5

5.6

бесполезны.

Чтобы

вывести

н у ж н ы е

соотношения, н а й д е м

снача

ла

из

(5.456), что п а р а м е т р ы

р и а% при достаточно

ма

лых р или, что то ж е самое, при больших значениях

а%

связаны следующей зависимостью:

р~|[1п ( а % ) 2 ] / ( а % ) 2 .

152

( •

П о д с т а в ив ее в (5.44) и (5.45), получим следующие па

раметрические		соотношения	м е ж д у		Е°, R/C		и	а%:
	. £ ° ~ 2 ( 1 п а % ) 2 / ( а ° р ) 3			при	<х°Р -	ю,		(5.51а)
	1—Я / С - З ( 1 п а % ) / а %			при	а%-	-оо.		(5.516)
К р о м е того,								(5.52а)
	ß ~ ( l n 2 ) ( l + 3 ( l n a % ) / a % ) .
при	этом
	• ß ~ ( 1 п 2 И 1 + 3		(1п . о° Р )/а° Р ) .					(5.526)
Асимптотические равенства (5.51) представлены гра
фиком на рис. 5.7 вместе с соответствующим								результа
том	д л я гауссовского к а н а л а . И з этих графиков видно,
что	надежность	к а н а л а с	з а м и р а н и я м и			и	рассеянием

стремится к нулю значительно быстрее, чем надежность гауссовского к а н а л а .

Обобщение этих результатов, справедливых для боль ших а, на фиксированные конечные значения а не вы зывает затруднений . Действительно, вспомним, что если

а/и°р>\,	то £ , 0 = а/а°р-; в противном случае D0=\.	На
пример,	если а < 3 , то D ° = l для всех скоростей,	резуль

т и р у ю щ а я величина Е° может быть вычислена из выра


жений (5.43) — (5.45а),		в	которых	а%	следует	заменить
на а. Отметим, что /		(а)	нужно	вычислять по		формуле
(5.42), a не (5.456).	Р е з у л ь т а т ы			этих	вычислений		дл я
различных значений	а	представлены			на рис. 5.8.		К а ж -

				\\\- .
				ft
				Л\Л
				, V
					\	а-10
					\\	сг*5
					Ч '	сг*5
					\	/у
						/у
0.6	0.7	0,8	0,9 RfC	0 0,1	0,Z	0.3 OA 0,5 0.6 0,7R/C
Рис. 5.7. Асимптотика Е° при				Рис.	5.8.	Зависимость ' опти
скоростях		передачи,	стремя	мальной		надежности	Е°	при
щихся к	пропускной		способ	конечных		значениях а	от	нор
		ности.		мированной скорости			переда
						чи R/C.

153

д а я к р и в а я

на

этом

рисунке

помечена

соответствующим

значением

а. Смысл

кривых

для а > 3

пояснен

н и ж е .

Если

а > 3 ,

то

£>° = а/3

для скоростей

передачи,

мень

ших критической. Вообще, D°=a/a°v

д л я

всех

скоростей,

при которых а / а % >

1. Однако при

к а ж д о м

а > 3 имеется

пороговая

скорость,

при

которой

а / а % = 1

и,

следова

тельно,

П°=Л.

Если

скорость меньше пороговой, зависи

мость оптимального

значения Е

от R/C

идентична той,

которая

получается

при

очень

больших

значениях

а.

Если

ж е скорость больше пороговой, максимальное

значе

ние

при

з а д а н н о м а

определяется

соотношениями

(5.43) — (5.45а), в

которых

а% нужно

заменить

на

а.

Таким образом, получается семейство кривых, представ ленных на рис. 5.8.

Итак,	п о к а з а н о , что	оптимальной системой является
система	с разнесением	и р а в н ы м и энергетическими	веса
ми ветвей при определенном значении отношения			сиг

нал/шум по энергии на ветвь разнесения а%. В дальней шем рассмотрим эту проблему с другой точки зрения п

исследуем		зависимость качества					передачи		в	систе
ме с	разнесением и			равными		весами	ветвей		от аи .	П р е
жде,	однако,		кратко		рассмотрим с в я з ь			качественных
показателей		систем		с	кодированием		и без		него.	Этот
раздел м о ж е т			быть	опущен		без у щ е р б а		д л я	связности
изложения .
			Системы		с	кодированием

Применим полученные результаты к системам с кодированием. Покажем, что при использовании кодирования в сочетании с отно сительно малым алфавитом передаваемых сигналов можно достичь такого же качества передачи, как и при большом числе ортогональ ных сигналов. Наша цель'— облегчить переход от результатов этоіі монографии к результатам теории кодирования и продемонстриро вать -практические возможности обеспечения в системах с относи

тельно малым числом	передаваемых сигналов	(порядка 16)	такой
же помехоустойчивости,	как и в системах с	большим числом	(по

рядка -21 0 0 ) ортогональных сигналов. Поскольку в литературе эти во просы 'рассмотрены очень подробно [16—20], ограничимся только кратким обсуждением.

Согласно	(4.31а)	существует код			с вероятностью	ошибки на
кодовое слово
		-pJê)<.2-{Nlr)E°,				(5.53а)
гдег—'Скорость передачи сигналов				в	канале; N — число сигналов,
приходящееся	на кодовое слово,		и		"
		= max	[ г £ 0	(р) — р/?],		(5.536)
причем Ео(р)	задается	выражением		(4.35).

154

Как указывалось в тл. 4, вычисление £о(р) при р=^і пред ставляет достаточно трудную задачу. Однако для нахождения гра

ницы Р(е) можно	воспользоваться значением Е0 при р = І . В этом
случае		Ec^rE0{\)—R.	(5.54)

Кроме того, 'нетрудно		показать, что это неравенство при достаточно
малых R переходит в равенство. Поэтому для простоты			ограничим
ся использованием	неравенства (5.54).
После некоторых преобразований из (5.53) и (5.54) можно по
лучить		__< 2 _^0 ( 1 ,-R / r ! j
			( 5 Л 5 Б а )
где в соответствии	с	(4.36)
£ о ( 1 ) = - 1 о е г		Г + ( і - 4 - ) е х р - « £ ( 1 ) ] ,	(5.556)
а £ (1) •—величина,	ул<е использовавшаяся выше в этой		главе:
£ ( 1 ) = ^ S [ 2 1 п (' + ^ ) - 1 п с +			(5-56)

Как и прежде, X,-—собственные значения комплексной корреляци онной функции базисной комплексной оппбающей, а а — отношение оминал/шум по энергии при (приеме базисного, сигнала модулятора.

Исследуем теперь зависимость выражения (5.55) от параметров системы. Чтобы облегчить сравнение с соответствующими результа тами для системы без кодирования, будем использовать следующие параметры: ß — отношение сигнал/шум по энергии «а один бит информации, К — число информационных двоичных символов на ко довое слово, m — число используемых сигналов и новый параметр k:

k = mNIK,

(5.57)!

который называется числом степеней свободы .на бит информации.

Смысл этого параметра, оправдывающий его					наименование, в том,
что требуемая для передачи			полоса	частот	примерно		равна kR.
Кроме того, будут использоваться такие параметры: N,							определяе
мое соотношением	(5.57); г—kRjm и а — отношение					энаргші переда
ваемого сигнала к энергии		шума, равное mß/A.
Выразив величины в' (5.55)			'через эти параметры,			получим
	-p^)<2-KHrß/inO)E(\)-i]t						-(5.58а)
где
* < о - ^ Е Н \| + т ) - ' « ( ' + ^ - ) ] '							< " • « >
- k	Г 1	/	I \	w \| £ ( 1 ) I			(5.58в)
//zß£(l)

Поучительно сравнить (5.58) с выражением для вероятности ошибки в системе с /Ѵ-кратным (N—kKlm) явным разнесением, в которой используются та же базовая огибающая передаваемого сигнала п те же значения Л' и ß. В соответствии с результатами

155

§ 4.4 использование Л'-кратного явного разнесения приводит к тому, что каждое собственное значение Я,- исходной огибающей переда ваемого сигнала должно быть заменено N собственными значения ми, -равными ЯІ/ІѴ. Подставив эти собственные значения в (5.14) и

заменив Еь		из	(5.17) ее нижней			границей:
				£ b > [ ß £ ( l ) / l n 2 ] — I ,							(5.59)
получим	следующую			границу		для	вероятности	ошибки	ів	системе
с явным	разнесением:
											(5.60)
где £ ( 1 ) определяется (5.586).
Выражения			(5.58)	и	(5.60)	показывают, что		при т\| = 1		границы
вероятности ошибки для обеих систем совпадают. Или,										в	более
общей формулировке, граница вероятности ошибки в системе											с ко
дированием		совпадает		с	границей		(вероятности	ошибки	в	системе
с явным	разнесением,			в	которой отношение оирнал/шу.м				іпо	энергии

на один ібит информации равно т)ß, а не ß. 'Кроме того, граница (5.60) является в действіительностн экспоненциально .верной, если ß превышает «ритаческое значение, а граница і(5.58а) является лучшим результатом, который можно получить из (5.53) ири достаточно боль ших ß. Следовательно, при достаточно больших значения* ß (вели чина г) является удобной мерой качества систем с кодированием по сравнению с системами с явным разнесением. Поскольку величина і] лежит между 0 ш 1, будем рассматривать ее как некоторую эффек тивность.

Проанализируем теперь зависимость г) от к или m при фикси рованных значениях ß и К- Хотя изменения к или m при постоян ном ß обычно приводят к изменению значения £ ( 1 ) , первоначально предположим, что £ (1) не меняется. Зависимость между £ ( 1 ) , к и m рассмотрена ниже.

На рис. 5.9 построены графики т) как функции mß£(l)//e при различных значениях т. Эти графики показывают, что когда mß £ (l)/A становится меньше величины порядка единицы, то т) при ближается к своему предельному значению, равному 1—il/m. По скольку £ ( 1 ) не может превышать величину 0,15, то можно заклю чить, что предельное значение т) практически достигается при зна чениях mfi/k или, что то же, а, меньших примерно 5.

То		обстоятельство,	что mß/Ze не слишком мало при приближе
нии	т)	к своему предельному значению, оказывается очень кстати.
Дело	в	том, что т$[к	— это отношение энергии	передаваемого	сиг
нала	к	энергии шума,	и когда оно уменьшается,	£ ( 1 ) , в конце	кон

цов, также, начинает уменьшаться. Следовательно, желательно рабо тать с такими достаточнобольшими значениями mß//e, чтобы £ (1) было близко к своему максимальному значению, но в то же время

было не слишком большим, чтобы можно было считать			—ï/in.
Например, если система является	нерассенвающеп,	т. е.	имеется
только одно положительное собственное значение, и		если	mß/fe=3,
то £ ( 1 ) = 0 , 1 5 , т. е. равняется той	же величине, что	и для	оптими


зированной системы		с разнесением и равными весами ветвей. Сле
довательно, эта система			обеспечивает почти		такое же	качество,	что
и-оптимизированная		система с разнесением и равными				весами	вет
вей, в которой	используется			алфавит из 2 К	ортогональных сигналов,
и отношение	сигнал/шум		по	энергии на одни бит в		(1 — 1/т)	раз

156

отличается от соответствующего отношения сигнал/шум в данной системе. Конечно, когда система становится более рассеивающей, а Е(1) поддерживается равной своему максимальному значению, значение mß//e должно возрастать. Следовательно, k начинает

уменьшаться.	Поэтому	с увеличением		рассеяния щ системе		незави
симая оптимизация т) и £ ( 1 )			становится	невозможной.
Иноіі подход, который			исключает	один из параметров,		состоит
в отыскании	максимума	ц	по m при	фиксированном	значении ß//e

		трЕ(1)/к					ßE(1)/k
Рис. 5.9.	Зависимость		эффек	Рис.	5.10.	Зависимость		эффек
тивности гі систем с кодирова				тивности л систем с кодирова
нием от	ігфЕ(1)/к	для	различ	нием	от	$Е(1)/К	при	опти
ного объема алфавита сиг-					мальном значении			т.
	палов.
в предположении, что, как и ранее,				независимо от изменения m зна
чение £ ( 1 )	можно	поддерживать		неизменным.		Результаты		числен

ного решения этой задачи показаны па рис. 5.10. На графике отме чены значения т, при которых обеспечивается максимум г\ при ..не скольких значениях ß £ ( l ) / e . Снова очевидно, что величина ß£(l)/fe не должна быть слишком малой, a m слишком большой, чтобы

обеспечивалась	близость т) к единице. Это лажно,'		так	как отсюда
вытекает, что k и, следовательно, полоса частот			не	обязательно
должны быть велики при данном значении ß.
5.4. СИСТЕМЫ С РАВНЫМИ ВЕСАМИ
	ВЕТВЕЙ РАЗНЕСЕНИЯ
В этом п а р а г р а ф е будет предполагаться,			что		положи
тельны ровно D собственных значений		и к а ж д о е			из	них
равно D~l.	Соответствующее значение	отношения				сиг-

157

мал/шум по энергии на ветвь разнесения обозначается а р . Очевидно,

ap = a/D,

где а — отношение сигнал/шум по энергии при передаче одного сигнала . Найдем, как изменяется качество пере дачи в такой системе при отклонениях аР от оптималь ного значения а°ѵ.

\1 V 3

10 \

О 0,1 0,2 0,3 Ofi 0,5 Oß OJ 0,8 R/C

Рис. 5.11. Зависимость надежности Е системы с разнесением и равными весами ветвеіі от нормированной скорости передачи R/C

при различных значениях		отношения сигнал/шум по энергии на
	ветвь	разнесения			ир.
Границы вероятности ошибки в системе с D - кратным
разнесением и	равными	весами		ветвей можно				получить
из в ы р а ж е н и й	(5.9), (5.14),		(5.26)		и	(5.27):
Ку-2~'СЕ<Р{в)<К2-2-"СЕ,									(5.61)
где КІ « Kz — коэффициенты,			определяемые				из	соотноше
ний (5.23),
	£ = max[f (ap)-pRjC],								(5.62)
а
/ р (*) =	! ± ! in ( 1 +			— L in (1 +			X).		(5.63)
Значения Е,	полученные		из	этих		выражений,			приве
дены на рис. 5.11 и в табл .			5.1	для		нескольких			значе
ний ир.			I

158

							Т а б л и ц а 5.1
Надежность		системы с равными			весами	ветвей разнесения
ар				RIC
ар	0	0,025	0,05	0,075	0,1	0,2	0,3	0,4
	0	0,025	0,05	0,075	0,1	0,2	0,3	0,4
							J
2	0,15	0,12	0,095	0,074	0,057	0,021	0,006	0,00016
3	0,15	0,12	0,095	0,08	0,065	0,029	0,012	0,004
4	0,15	0,12	0,098	0,08 1	0,065	0,033	0,015	0,006
5	0,14	0,11	0,094	0,078	0,065	0,034	0,017	0,0075
10	0,12	0,094	0,075	0,063	0,053	0,03	0,017	0,0095
20	0,088	0,065	0.052	0,044	0,037	0,022	0,013	0,0077
50	0,052	0,035	0,028	0,023	0,019	0,012	0,0075	0,0044
100	0,032	0,02	0,016	0,013	0,011	0,0067	0,0041	0,0026

ар

В дальнейше м подробно исследуем зависимость

Е от

при

малы х

значениях

скорости

передачи .

Однак о

прежде

займемс я поведением Е при предельно

больших

предельно

малых

значениях

ар.

Зависимость

от

ар

при промежуточных

значениях

аР

можн о найти

из вы

ражений

(5.62)

H (5.63) путем

численного

анализа .

Недостаточное

разнесение

Рассмотрим

теперь

асимптотику

хСЕ — экспоненты

вероятности

ошибки

при

хС -и, следовательно,

а,

стре

мящемс я к бесконечности при фиксированных D и

R/C.

Ее

предельное

значение

оказывается

равным

£™*Е~т(тг-1-ы-тг}

(5-64)

Этот результат находится в поразительном

противоре

чии со свойствами оптимизированной

системы, в

которой

остается постоянной при хС—э-оо.

Это

свидетельствует

важности выбора сигналов в системах с з а м и р а н и я м и

рассеянием .

П р е д е л (5.64) можн о вывести следующим

образом .

Легко показать ; что величина,

з а д а в а е м а я

в ы р а ж е н и е м

(5.62), обладае т одним максимумом на отрезке

П р и любом фиксированном значении R/C и достаточно

больших а Р

этот максимум

достигается при значении

р,

159

о п р е д е л я е м ом в ы р а ж е н и е м

—

I n f i

- f r L

- аЛ

—Тп ( 1 —I— <Хр\ —I—

ар

I 1 + р PJ

ар

^ T

14.(14-ар )р'

где

(5.65а)

ар = а / Я

(5.656)

или, в

пределе

при возрастании

аѵ,

R _

(5.65в)

1 +

а рР

Р е ш и в

это уравнение

относительно

р, подставив

резуль

тат в

(5.62), у м н о ж и в

Е па

хС

перейдя

пределу,

по

лучим

(5.64).

П р е д е л , в ы р а ж а е м ы й

правой

частью

(5.64),

у к а з ы

вает, что экспонента

вероятности

ошибки

не может

быть

сделана

произвольно

большой

простым

увеличением х

при фиксированных R, С и D. Конечно, из предельного

перехода

т С — У - О О

следует,

что

а л ф а в и т

передаваемых

сигналов

экспоненциально

возрастает

ростом

хС.

Действительно,

R/C

предполагается

фиксированным,

m =

2lR.

Следовательно,

растет

линейно

ростом тС,

га—

экспоненциально . Ввиду этого может показаться, что та


кой	предел практически недостижим . Однако предел
(5.64) является т а к ж е экспонентом,				которая получится,
если	ß, т. е. отношение сигнал/шум			по энергии на		бит
информации,		фиксировано, а	а — отношение		сигнал/шум
по	энергии — увеличивается		при	фиксированном		D.
Этот	случай	представляет	значительный		практический

интерес.

Г л а в н у ю причину отмеченного нами ухудшения ка чества приема можно, охарактеризовать следующим об

разом. К а ж д а я ветвь	разнесения вносит	в іприемннк
независимую з а ш у м л е	н н у ю реализацию	передаваемого

сигнала . Некоторые из этих реализаций значительно вы ше уровня шума, другие —- значительно ниже . Увеличи вая число ветвей разнесения, можно увеличить вероят

ность того,	что	о б щ а я	п р и н я т а я	энергия будет ненамно -
г о ' н и ж е средней		энергии. Следовательно, если отношение
сигнал/шум	на	ветвь	разнесения	достаточно велико, ка-

160

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ