книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

легко. Н о

д л я к а н а л а

с рассеянием

они являются собст­

венными

значениями

сложной

корреляционной

функции

и часто их вычисление связано

с большими трудностями.

Д а ж е

если эти собственные значения и м о ж н о

опреде­

лить,

редко удается выразить

Е пли

д а ж е Е(р)

в замк ­

нутой

форме.

зависимость трудно выявить путем численного

анализа .

Поэтому постараемся упростить в ы р а ж е н и е

д л я надеж ­

ности, рассмотрев

некоторые частные случаи' систем.

П р е ж д е

всего

определим

структуру

канонической

системы с

разнесением, которая

обладает м а к с и м а л ь н ы м

значением

Е при

любых заданных значениях

RfC и. а.

рой все ненулевые собственные значения

равны м е ж д у

собой, а их число определяется

величинами а и R/C.

Этот вывод приводит к изучению

систем с

разнесением

ства неоптимальных систем

в ы р а ж а ю т с я

к а к функции

параметров «эквивалентных»

оптимальных

систем.

Значение

надежности

Е

системы

зависит от RfC,

а

и

%І. О т ы щ е м максимум

Е

по КІ

при

фиксированных

а

и

RfC

и некоторых ограничениях

на Л,,-. П р е д п о л о ж е н и е ,

что а

и R/C

являются фиксированными, вполне оправда ­

но. Оно справедливо, н а п р и м е р , если фиксированы

среда

распространения радиоволн,

температура входного

кас­

бающей u(t) сигнала, которая описана в гл.

4. Иными

словами, с л е д о в а л о б ы отыскивать максимум

Е

по ЯІ

при условии, что они являются собственными

значения­

ми 'комплексной корреляционной функции R(t,

t ) ,

кото-

цию

рассеяния

к а н а л а . Хотя

это, по-видимому, нереаль ­

но,

полученные

при

таком

предположении результаты

вполне пригодны для расчета систем.

Наконец, следует

сделать

еще одно предварительное

ятности

ошибки

Р(г),

неизвестен. Однако как строгая

н и ж н я я

граница

Р ( е ) ,

так

и с л а б а я

асимптотическая

н и ж н я я

граница

зависят от

Я.,- только

через надежность

Е.

Поэтому максимуму Е

будет

соответствовать

мини­

мум этих границ вероятности ошибки.

Постановка

задача

Математически

з а д а ч а

состоит

в отыскании

макси­

мума

функций Е по ХІ

при

условии,

что

(5.24а)

Г(5.24б)

и при

фиксированных

значениях

RfC

и

а.

П а р а м е т р и ч е с к о е

представление

для

Е

не очень

удоб­

но для решения этой задачи, но

формула

(5.14в)

доста­

точно полезна ввиду того, что порядок отыскания

мак­

симума по р и Яг можно изменить. В частности,

макси­

мальное значение Е °

функции

Е

можно

выразить

или

к а к

(5.25а)

или

в

эквивалентной

форме

С л е д о в а т е л ь н о,

задач а -сводится к отысканию

м а к с и м у м а

Е(р)

по

кі

при

данных

значениях

p, R/C

-и а.

П р е ж д е ©ce.ro

представим

Е(р), з а д а в а е м о е

(5.14),

в виде

£ ( р ) = Е ч ^ ) >

( 5 - 2 6 )

где

функция

f

(х)

определяется выражением

f , ( * ) =

і_±_Рі

Н

-

1 + о

-In (1

+JC)

(5.27)

i n

Покажем

теперь,

что

f

(х)

при

любых

фиксированных

значениях

р(л")

обладает

единственным

максимумом.

Ус­

тановим

т а к ж е

некоторые

другие

свойства

f

(х),

необ­

ходимые

в

дальнейшем .

С в о й с т в а

f

[х). Общий вид функции

fp[x)

показан

на

рис.

5.3.

П р и

всех р эта функция неотрицательна

во

•всем диапазоне значений х и стремится

к

нулю,

когда х

стремится к нулю и беско- f

иечностн.

Более

того,

/

(л:)

является выпуклой при до­

статочно

малы х

положи­

тельных

значениях

х

и

вог­

нутой при достаточно боль­

ших

значениях х.

Эти

выво­

*о

УО

**р

ды

с

очевидностью

следуют

Рис. 5.3.

К

описанию

свойств

из

(5.27).

Перейдем

теперь

и

м -

к свойствам,

которые

не

т а к

очевидны.

f

(х)

При

любых

фиксированных

р функция

выпукла

при всех значениях х, меньших некоторого

у0,

и

.вогнута

при всех значениях х, -больших г/о- Она

достигает

макси­

мума

в

точке,

координата

а°ѵ

которой

является

един­

ственным положительным

корнем

уравнения

f > p ° ) =

р

Л

P

P))

(5.28)

Д о к а з а т е л ь с т в а

этих

утверждений( I

/O +

і +

р/

+ VM'+V

приведены

ниже.

Читатель,

не

интересующийся

математическими

подроб­

нимумы, то по обе стороны от них должны

находиться локальные

максимумы.

Иными

словами,

если

имеется

/г/2 локальных макси­

мумов

'и л / 2 — 1 локальных

минимумов, то

должны

существовать

числа

ХіКхгК

. . .

< х п - і

(5.29)

такие, что

f'f(xt)

=

0,

/ = І

(5.30а)

î"f

(xt)

<

0

П Р И

нечетных i ,

(5.306)

f ' p ( * t ) > 0

П Р "

четных

і,

(5.30в)

l'p ( x ) и

f"p

( x ) — соответственно

первая

и

вторая

производные

(*) +

ДГР

<*) =

( 1

+

я у

/

+

р+ р

х )

2

-

* 2

)

•

(5.31)

Следовательно, условия (5.30а) и (5.306) будут

удовлетворяться

только

если

xt

>

Ѵ{\

+

р)/р

для

нечетных

/,

а

(5.30а)

и (5.30в) —

— только

если

x t

<

К (1 -f- р)/р при четных

('. Однако

х г > х , .

По­

этому л должно быть равно единице. Следовательно,

f

(х)

обладает

одним максимумом в точке х, . Обозначим его а° р . Значение а ° р

можно

найти

из уравнения

f

(х)

= 0, из которого вытекает

(5.28).

Покажем

теперь,

что / (х)

сначала

является

выпуклой, а

затем

вогнутой. Непосредственными

вычислениями

можно

получить,

что

£

[XV" (*)] =

2рх= [ j r + w

+

(

Т

т

Ѵ

(5.32)

где б = р / ( 1 + ' р ) .

Правая

часть

этого

выражения

является

отрица­

тельной,

если

х < ( 1 — Ô 2 / 3 )

(б2 /3 —Ô)-» = (/,, .

(5.33)

и положительной

или

равной

нулю

в

противном

случае.

Поэтому

х 3 / " р ( х )

уменьшается,

при

возрастании

х

от

0

до г/,.

Поскольку

/ " р ( 0 ) < п .

т о

отсюда

следует,

что и / "

(х) <

0.

Следовательно,

f (х)

выпукла при

всех

положительных

значениях

х,

меньших

і/,;

л 3 Г'р (х)

монотонно

возрастает

при х > і / , .

Значит,

если f " p ( x )

при

некотором

X становится

положительной,

она остается таковой и даль­

ше. А т а к

к а к / " р

( х ) > 0

при достаточно

больших

х,

то

отсюда

следует,

что

f p ( x )

сначала

является

выпуклой,

а затем

вогнутой

/ P N < / P ( » p ' ) .

' " = 1

-

(5.34а)

Следовательно,

Е (р) <

S

Xiff

« )

=

/ р (ар«)

S

=

/ р

« ) ,

[(5.346)

где

равенство

справа

вытекает

из

условия,

что

все

ХІ

в с у м м е

равны

единице.

Значит,

Е(р)

не

превы ­

шает

/ р ( а ° р ) , где

а ° р

как

функция

р

определяется

вы­

ражением

(5.28).

точно а/а% величин кі поло­

С

другой

стороны,

если

жительны

и к а ж д а я

из

них

равна

а°р/и,

то

Е(р)

=

— fp

Отсюда

следует,

что

значение

Е(р)

макси­

мально,

если

«/a°p

величин

ХІ

равны

а°Р/а,

а

осталь­

н ы е — нулю. Поскольку р а с с м а т р и в а е м а я здесь

система

с з а м и р а н и я м и

и рассеянием

может

быть

представлена

как система

с

разнесением

и

парциальными

энергети­

ческими

весами

ветвей, равными

полученный

резуль­

тат можно сформулировать следующим образом . Из

всех

систем

связи

с

замираниями

и

рассеянием

наибольшую

надежность

имеет

система

с

разнесением

и

равными

энергетическими

весами

ветвей.

Таким

образом,

найден

общий

вид

оптимальной

си­

рез р и определим .результирующее максимальное

значе­

ние надежности

Е°.

Оптимизированная

система

Оптимальная

система наиболее

просто

в ы р а ж а е т с я

через а°р,

которое мы

назовем

отношением

сигнал/шум

по энергии

на ветвь

разнесения.

Т а к

как

значение

а

предполагается

фиксированным,

требуемое

значение

а°Р

может быть получено только выбором

D — числа

одина­

ковых положительных

собственных

значений, — р а в н ы м

а/а°р. Н о

D д о л ж н о

быть целым, тогда

как

а/а°р

может

принимать дробные

значения.

10—221

145

М о ж н о

потребовать

при

оптимизации, чтобы

значе­

ние D было

целым. Но

если

а / а ° р > 1 , уточнение

резуль­

лым числом. Следовательно,

игнорирование

требования

целочисленное™

D

не очень

важіио ;при

та/а%>1.

Н о

при а / а р

< 1

положение

существенно

меняется.

В этом

случае нельзя принять

D = a/a°p.

Вместо этого

метить, что /

(а%і) < f (а)

при

а < а % .

Следовательно,

максимальное

значение £ ( р )

= / р

( а ) , и

оно

достигается,

только если одно из значений

%І>0.

Т а к и м

образом, если

а°р>'.а, то следует положить

D = l

или,

что

то ж е самое,

выми явлениями в к а н а л а х с

з а м и р а н и я м и и рассеяни­

ем. Следует отметить, что эти

пороговые явления

всегда

возникают при уменьшении р при фиксированном

а.

Итак, установлено,

что Е(р)

при

данном значении р

максимальна, когда À;

соответствуют

О-кратной

системе

чение D0

числа

ветвей D

определяется

соотношением

и

D°=a/a°p

при

а > а ° Р

(5.35а)

ö ° = l

в противном случае.

(5.356)

Значения

а ° Р

как функции

р

определяются формулой

(5.28).

Результирующее

максимальное

значение

Е(р)

равно

f

(<х°р)

при а > а %

и

равно f (а) в противном

слу­

мостей а°р и Е°

у ж е

не

от p,

а от

R/C

или ß.

Определение

а%.

В

силу

(5.14)

и

(5.34), a т а к ж е со­

мальное значение Е°

надежности Е з а д а е т с я

в ы р а ж е ­

нием

£ ° =

гаах[/в(о%)-Рад

(5.36)

ß.

Следовательно,

при любом

заданном значении

а,

в

конце концов, достигается

точка, в

которой

а ° Р =

а,

т.

е. оптимальное

значение

D0

числа

ветвей D

равно

цы. Это

и есть'пороговая ситуация, о

которой говорилось

в связи

с соотношениями (5.35). К а к

указывалось тогда,

гии на

ветвь разнесения а ° р от

нормированной

скорости

переда­

чи R/C

(а) и от отношения сигиал/шум по энергии

на бит

информа­

ции ß

(б).

в этих условиях

необходимо, чтобы D°=l.

Таким

обра ­

зом,

D°—u/a0p,

если

оно больше

единицы,

причем

а ° Р

определяется

по

рис. 5.4,а; в противном случае

D°=l.

Определение

£ ° . Теперь, когда найдены

значения

а%

и D0,

определим

результирующее значение

Е°.

П р и

до­

статочно больших а, как было показано, D°=a/a°p

и

Е°

определяется

ф о р м у л а м и (5.43) —(5.45). Удобно

рассмо­

треть

сначала

это

предельное

поведение

Е°,

а

затем

нечных

значениях

а.

зависимость Е° от

R/C в пред­

Н а

рис.

5.5

показана

положении,

что

при

к а ж д о м

значении

R/C

значение а

превышает

значение

а%,

определяемое

рис. 5.4. Там

ж е

для

сравнения

показана

функция надежности д л я кана ­

ла

с аддитивным

белым

гауссовским шумом . М о ж н о

вы­

делить

следующие свойства

этих двух

кривых.

Во-первых, надежность

(оптимального)

к а н а л а с

з а м и р а н и я м и

и

рассеяни­

ем положительна

при всех

значениях

R,

меньших

С — пропускной

способ­

ности

к а н а л а

с

аддитив­

ным

белым

гауссовским

0 0,1

0,2 0,3 0,і> 0,5 0;6

0,7 0,8 R /С

шумом.

Таким

образом,

Рис. 5.5.

Зависимость

оптималь­

при

R<C

и

достаточно

большом

значении т (или

ной надежности Е° от нормиро­

а) в к а ж д о м

из двух кана ­

ванной

скорости передачи RjC.

лов может

быть

обеспече-

показать, что

при

скоростях,

больших

С, вероятность

ошибки

нельзя

сделать

сколь

угодно малой . Следова­

тельно,

пропускная

способность оптимизированного

ка­

нала с з а м и р а н и я м и

и рассеянием

равна

пропускной спо­

собности к а н а л а с

аддитивным

белым

гауссовским

шу­

мом при том ж е отношении сигнал/шум

по средней

мощ­

ности. Этот вывод дл я пропускной способности,

но без

формул

дл я вероятности

ошибки

был

пслучен

ранее

в работе [15].

налов заметно

отличаются, и при той ж е сложности

си­

стемы в гауссовском к а н а л е может быть обеспечено

луч­

шее качество, чем в канале с з а м и р а н и я м и и

рассеянием.

Н а п р и м е р ,

предположим, что С = 40 000

бит/с

и

R =

= 5000 бит/с,

а

т = 3 2 .

Пусть

т = 1 0 - 3 с. Тогда

т С = 40.

Следовательно,

в гауссовском

к а н а л е

Р ( е) ~ 2-40<3/8> = 2 - ) 5 ^ 3 • 10-5 .

(5.46)

Д л я к а н а л а

ж е с з а м и р а н и я м и

и рассеянием

а % ~ 4 , a со­

ответственно

Е° = 0,055.

Следовательно,

Р(е) «2-4 0 №°5 5 > =

2 - 2 . 2 « 0 , 2 .

(5.47)