Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Хотя экспоненциальный множитель не полностью оп ределяет границу вероятности ошибки, его м о ж н о использовать в качестве первого приближения . Так, если

вероятность ошибки д о л ж н а	быть мала, экспоненциаль
ный член т а к ж е д о л ж е н быть	мал, т. е. хС или а д о л ж н ы

быть велики. П о с к о л ь к у экспоненциальный член намного

меньше правой	части в ы р а ж е н и я (5.2в), иногда дл я
упрощения полагают / G — 1 . Несколько		лучшую, но все
еще достаточно	простую оценку Р(г)	можно получить,

используя асимптотическое значение Кг при неограничен ном возрастании х и фиксированных R и С *);

	"	Ѵ * ~	С	4			(5.3)
	Л , Л - — - р =		,		— г - < - т ^ - < 1 .
	2	2 К я о (1 —Уте)			4	с
Значение		полученной	верхней			границы	вероятности
ошибки в том, что она является показателем							достижимо
го качества передачи. Однако					ее практическое			значение
еще	больше	благодаря тому,			что она довольно			точная.
К а к	показано в приложении			2, истинное значение Р(г)

не может быть намного меньше величины этой верхней границы. В частности, вероятность ошибки удовлетворя

ет следующему	неравенству:
	Р(е)^К1.2у'СЕ,				(5.4а)
где т, С и Е определены выше, a Ку изменяется				с изме
нением т не «слишком быстро».
Коэффициент	К І в ы р а ж а е т с я	более сложно,		чем со
ответствующий	коэффициент Кг	в	соотношении		(5.2)
для верхней Границы. В приложении,			§ П2.3, дл я		него
получены следующие соотношения:

1	± <	J	L < i
2a ( 1 — VR/Cy J	- 4 ^	С
*! Символ ~ означает асимптотическое		равенство, т. е. отноше
ние двух связываемых им членов	выражения		стремится к единице.
9*			131

Если предположить, что хС—>-оо							при	фиксированном
значении		R/C,	то	м о ж н о получить			менее		громоздкие
асим птотические p а в ен ств а :
			1
	/С,	4 ^ '							(5.5)
			1

		^ Ібяа		Ï —	VRÎC	4 ^	С
Сравнение			соотношений			(5.2) — (5.5)		показывает, что
верхняя и н и ж н я я границы вероятности								ошибки опреде
ляются	одной и той лее экспоненциальной зависимостью
от хСЕ.	Более		того, при достаточно				больших		значениях т
коэффициенты			перед		экспонентами		для	этих	двух гра

н и ц отличаются незначительно. Конечно, для достаточно


•малых величин т, т. с. дл я достаточно				больших		значений
вероятности	ошибки, эти коэффициенты				могут		д а в а т ь
больший в к л а д в		Р(ъ), чем	экспоненты.		Однако при
а н а л и з е систем с малой вероятностью ошибки						экспонен
циальный член и асимптотические равенства							оказыва
ются весьма	полезными.
Приведенные границы для вероятности ошибки выра
жены в форме зависимости от временных					параметров:
скорости передачи,		отношения	сигнал/шум		по	мощности
и ограничительной		длительности т.		Возможна			другая

форма записи, подчеркивающая в явном виде зависи мость вероятности ошибки от отношения сигнал/шум по

энергии и	от числа ѵ	бит	информации, передаваемой
с одним сигналом . Это в ы р а ж е н и е используется							в	д а л ь
нейшем. Его можно получить, если				заметить,			что	ß —
отношение	сигнал/шум	по	энергии	на	бит	информа
ции *> — удовлетворяет		в ы р а ж е н и ю
	iß = a/v						(5.6а)
или
	ß =	(CfR) In 2,					(5.66)
где
	v = \ogztn.							(5.6в)
*> Следуя	общепринятой	терминологии,		мы	часто	будем		назы
вать ß отношением сигнал/шум			по энергии	на бит.

132

В о с п о л ь з о в а в ш и сь			(5.6),		можн о	исключить		R/C
в в ы р а ж е н и я х (5.2)	и	(5.4) и получить				следующие		зави
симости:
		Р(е)<К2-2~ѵЕь						(5.7а)
и
	Р(е)>К1.2~ѵЕь,							(5.76)
где Еъ — надежность	на		бит информации			— определяется
соотношением
-£•^=,[1—(ß/ln 2) І/2]2 п р и					i n 2 < ß < 4		lh 2,	(5.8)
£{, = ß/21n2—1 при					ß ^ 4 1 n 2 ,
a Ki и Кг определяются			(5.46)		и (5.2в). В		технических
расчетах эти формулы		для		границы вероятности ошибки
обычно предпочтительнее формул (5.2) и							(5.4)	ввиду
того, что эффективность				и сложность		системы		связи
ч а щ е всего лучше измерять с помощью						параметров ß H v .
Этим можн о завершить				анализ классического				к а н а л а

с аддитивным белым гауссовским шумом. Он не был особенно трудным, так ка к конкретная форма передава емых сигналов не имела значения, и единственное требо вание состояло -в том, чтобы эти сигналы были взаимно ортогональны. Обратимся теперь к соответствующему

анализу каналов	с з а м и р а н и я м и и	рассеянием. Эта за
дача существенно сложнее, так к а к		в этом	случае имеет
первостепенное	значение конкретный вид		принимаемых

сигналов, характеризуемый энергетическими весами вет вей ХІ.

5.2.КАНАЛЫ С ЗАМИРАНИЯМИ И "РАССЕЯНИЕМ

З а д а ч а	состоит в том, чтобы привести в ы р а ж е н и я
(4.30) к более удобному виду, воспользовавшись		предпо
ложением,	что статистические характеристики	величин

на выходе демодулятора определяются соотношением (4.26) и рис. 4.9. Главной проблемой при этом является получение достаточно простых соотношений дл я трех функций распределения вероятностей, которые встречают ся в выражениях, для границ . Это чисто математическая задача, и ее решение вынесено в приложение, § П2.3. Поскольку решение достаточно сложно, результат пред-

133

ставлен п р е ж д е		всего в общем виде, а затем проанали
зированы	свойства его составных				частей.
Границы дл я вероятности			ошибки			м о ж н о		выразить
в виде:
		Р{^К1.2~^СЕ.						( 5 . 9 3 )
		Р ( Е ) < / С 2 . 2 - і С Я .						( 5 . 9 6 ;
Здесь т — время, отведенное на			передачу			одного		сигнала,
а С—пропускная		способность		классического				к а н а л а
с аддитивным белым гауссовским шумом и таким									ж е
средним	отношением сигнал/шум				по мощности, к а к				и
в данном	к а н а л е с з а м и р а н и я м и			и	рассеянием,			т. е.
		С = Р / Л Г 0 1 п 2 = а / т Л п 2 .						(5.10)
Коэффициенты		KL И KZ будут		подробно			рассмотрены
ниже . П о к а ж е		достаточно с к а з а т ь , что они					аналогичны

соответствующим коэффициентам в формулах для кана

ла с аддитивным белым гауссовским						шумом.
Функция		Е	(в отличие от случая гауссовского						кана
ла) зависит		не только		от R/C,	но и от т и КІ. Поэтому Е
м о ж н о рассматривать				как характеристику				надежности
к а н а л а ,	только		если вид модуляции			(и следовательно, т
и Х І ) з а д а н		к а н а л о м . Если же, как обычно,						выбор	моду
ляции является			объектом проектирования,				то Е правиль
нее считать надежностью данной системы связи .									Д а л ь
нейший	анализ		будет	проводиться		именно		п о д	таким
углом зрения.
			Надежность		системы
Функцию надежности системы можно выразить или
параметрически,			или к а к решение задачи				оптимизации.
Кроме того, ее можно преобразовать						в функцию надеж
ности на	бит и н ф о р м а ц и и ( § 5.1). К а ж д а я						из этих		форм

представления имеет свои преимущества. Рассмотрим их. Параметрическое представление. В параметрической

форме Е	можно	представить	как	функцию	величины
"f( s ) =	- 4 - J ] t l n ( l - s a A f ) +		s l n ( l + « M ] .		s <	° -
						(5.11)
где а — о т н о ш е н и е		сигнал/шум	по	энергии, a	ЯІ — сред
ний энергетический вес і-й ветви в				каноническом		пред-

134

с т а в л е н ии		системы в виде		системы с	разнесением
(рис.	4.5).	Эти	параметрические в ы р а ж е н и я		могут	быть
двух	видов	в	зависимости от	того, превышает ли		ско

рость передачи информации в системе некоторую вели

чину,

называемую

критической скоростью R1(p,

или

нет.

Она

задается

в ы р а ж е н и е м

для- Y

(-V2)

]•

(5.12)

Параметрически/ ?еК Р =вCы[р аÏ жY 'е н и я

имеют

вид:

E=—2y(—42)—R/C

при

О О Ж і К к р ,

(5.13а)

E=sy'(s)

— у (s)

при

/ ? к р < Ж О у ' ( 0 )

(5.136)

или,

что

то

ж е

самое,

для

значений

s в

интервале

( - Ѵ з ,

0),

где

R/C=(s+\)y'(s)-y(s).

(5.13B)

этих

в ы р а ж е н и я х

у'(s)

обозначает

.производную

у (s)

по

Рассмотрим теперь свойства функции Е в предполо

жении, что

а — отношение

сигнал/шум

по

энергии — и А.;

фиксированы.

Общий

Е(

характер

зависимости

от

R/C

иллюстриру

ется

рис.

5.1.

Тангенс угла

наклона

Поскольку

равен-1

— 2 Y ( — 1 / 2 ) > 0 ,

функция £

при

0 ^ і / ? ' < :

^ ^ к р

— линейная

по

л о ж и т е л ь н а я

убываю

щ а я

функция

R/C.

Ее

производная по R/C

на

этом

интервале

рав Рис. 5.1. Свойства

функции надежно

на — 1 .

сти

системы.

П р и скоростях, боль

R/C

ших критической,

характер зависимости

от

не

сколько усложняется . Однако можно п о к а з а т ь , что при

увеличении		s	от —Ѵг до 0		R	растет от		R1<p	до С у ' ( 0 ) ,
Е с п а д а е т		от	своего значения			при	Ri<p до	0,	а производ
ная dE/d(R/C)			возрастет	от	—1 до		0 і[8].
Эти	выводы следуют			из	(5.13), если			заметить, что
Y(0) = 0	и что		dE			s
			d(R/C)			1 + s '

135

Н е п а р а м е т р и ч е с к ое представление. Определение функ

ции Е м о ж н о	записать в иной форме, п р е д с т а в л я ю щ е й
значительный	интерес. Д л я этого заметим, прежде всего,

что дл я к а ж д о г о значения s между —Ѵг и 0 величины Е

и R/C	м о ж н о найти с	помощью	построения,	показанного
на рис . 5.2,а, согласно 'которому значение				Е определя
ется	по пересечению	оси . ^ = 0	и прямой,	касательной

		Представление для непараметрического				задания		[
	Рис. 5.2. Графическое		определение Е как функция					Л/С.
к функции		у (<і) в точке t=s,		а значение		R/C—о		о	пере
сечению той ж е прямой с осью t=—1.					С другой			стороны,
если	R<RKV,	Е определяется		графически		по	рис. 5.2,6:
— Е	равно	координате	точки	пересечения		прямой,			прове
денной через точки с координатами					[t=—'/г,		у{—Ѵг)] и
и [ f = — 1 ,		—R/C] с осью	і=0.
Р а с с м о т р и м теперь прямую, проведенную на								рис. 5.2,е
через точки с к о о р д и н а т а м и [£=-— 1 , — R / C ] и [t=x,									у{х)].

Н а й д е м минимальное значение координаты точки пере сечения этой прямой с осью ^=0 , изменяя. X в интервале 136

— У з ^ я ^ О .

Ясно,

что

минимум,

т.

е . ' м а к с и м а л ь н о воз

м о ж н а я

отрицательная

координата,

достигается

том

случае, если

эта прямая является

касательной

кривой

Y ( 0 - Кроме того,

как легко

д о к а з а т ь ,

у{і) является

вы

пуклой

функцией,

т а к

что

имеется

только

одна

т а к а я

точка касания . Конечно,

если

R/C

достаточно

мало,

то

в и н т е р в а л е — У г О ' ^ О

вообще

не

существует

точки

к а с а н и я и минимум достигается

при х = — Уг. Н о

лю

бом случае значение этого минимума

равно

значению

—Е

при

данной величине

R/C.

Следовательно,

опре

деляется

в ы р а ж е н и е м

где максимум ищется по всем х в

и н т е р в а л е — У г ^ х ^ О .

С другой стороны, можно ввести

замену — х/(1 + х ) =

= р ,

определить функцию

w=4- S [(1 +p)1 п ( 1 + г п ) - p1п

(1 +«*4

(5.14а)

£ ( P ) = - ( 1 + P ) Y ( - P / ( 1

P)),

( 5 - 1 4 6 )

и переписать

в ы р а ж е н и е

д л я

следующим

о б р а з о м :

= т а х [ £ ( р ) - р # / С ] .

(5.14в)

Эта формула аналогична той, которая иногда исполь

зуется в

теоремах

о случайном

кодировании

[9].

В ы р а ж е н и е (5.14в)

позволяет легко

вывести

верхнюю

и нижнюю границы н а д е ж н о с т и Е. Действительно, оче видно, что

		£ < г а а х [ £ „ ( р ) —р/?/С]		(5.15а)
И
		£ > m a x [ £ , ( p ) - p f l / C ] ,		(5.156)
где Еи(р)	и	EL(P)—соответственно	верхняя	-и, н и ж н я я
границы	для	Е(р). Эти неравенства	используются ниже


для	вычисления значений ІІ,	при которых		Е	м а к с и м а л ь
на,	и д л я отыскания некоторых полезных			оценок Е.
	Надежность на бит информации .		К а к		указывалось
в §	5.1, часто бывает удобно	в ы р а з и т ь	границы д л я ве-

137

роятности ошибки через fi — отношение сигнал/шум по энергии на одни бит информации и ѵ — число бит инфор мации, передаваемых с одним сигналом . Эти параметры связаны со скоростью передачи R, ограничительной дли тельностью т и отношением сигнал/шум по энергии а зависимостью (5.6) :

			v = \og2in		(5.16а)
			ß = a/v.		(5.166)
Подставив эти в ы р а ж е н и я -в				(5.9) и (5.14), получим:
		Р ( е ) Ж , -2~vE\			(5.17а)
		P ( s ) < / 0 2 _ v E \			(5.176)
где Eb — CE/R, или, что то ж е самое,
	£ ь	= т а х [ ( р £ ( р ) / 1 п 2 ) - р ] .			(5.17в)
		Ог£р=£!
•Подстрочный		индекс	«Ь» при Е указывает		на раз
мерность экспоненты (1 бит) .
П о	аналогии	с классическим гауесовским			каналом
будем	характеризовать		к а н а л ы	с з а м и р а н и я м и	и рассе
янием	экспонентами Е		или Еь, определяемыми		форму
л а м и	(5.14) и (5.17в).		Чтобы	д о к а з а т ь правомочность

этого, рассмотрим, какие значения могут принимать ко эффициенты Kl и /<2.

			Коэффициенты
В	приложении 2 показано (П2 . 79а), что можно				поло
жить	Кг=2.		Там ж е получено, что можно положить
		К, = 7,4 ехр - К о / I s I		при R > /?КР
			и Я . = 7.4 е х р - У2а
— в	противном случае . Т а к и м			о б р а з о м , вероятность
ошибки		удовлетворяет двойному		неравенству
	[7.4ехр - ( а / I s I ) , / 2 ] . 2 - ^ < P ( s ) < 2 . 2 - ^ ,				(5.18)
в котором			\|s\| определяется (5.13в) при R > R K P и		равно
Ѵг при		Ж'ккр-

Из равенства (5.18) с очевидностью следует, что ве роятность ошибки экспоненциально зависит от хСЕ.

138

Точнее, при

фиксированных

значениях

R/C

и s

имеем

lim (log2 Р (в))/тС — -

lim Е.

(5.19)

т С - юо

-С->оо

Основываясь

на таком

х а р а к т е р е

зависимости,

обычно

говорят,

что

л е в а я

и п р а в а я

части неравенства

(5.18)

являются

экспоненциально

верными.

Д о м и н и р у ю щ а я

роль

экспоненциального

множителя,

которая

только

что

была

установлена,

м о ж е т почти

не

проявляться,

т.

е. в е р х н я я

и н и ж н я я границы

(5.18)

мо

гут значительно отличаться друг от друга при относи тельно больших значениях хС или, что то же, а. И н ы м и

словами, величина а, при которой достигается				определен
ное численное значение		верхней	границы, м о ж е т значи
тельно п р е в ы ш а т ь	его	величину,	найденную	исходя из
того ж е значения	нижней границы. Это очень			неудобно,

поскольку оценки вероятности ошибки часто используют для определений' требуемого отношения сигнал/шум по

энергии,

при

котором

обеспечивается

з а д а н н а я

вероят

ность

ошибки.

счастью,

оценку

(5.18)

м о ж н о

существенно

улуч

шить, если а или хС достаточно

велики, т. е. вероятность

ошибки

мала .

К а к п о к а з а н о

п р и л о ж е н и и

(П2.51),

при любом фиксированном значении s

lim аК. »v, —г-.—i

i ,-]—г-х—,тг~з*г—

•

(5.20)

а-»оо

I s I

I 1 +

I 2*Y"

(S)

^ 4TO

т. е. при достаточно больших a коэффициент в

в ы р а ж е

нии дл я

нижней границы ^меняется

не

быстрее

чем

1/а,

а не как экспонента

от

Va.

Кроме

того, в приложении 2

(П'2.79)

показано,

что коэффициент

в ы р а ж е н и и

дл я

верхней

границы удовлетворяет

неравенствам:

^ ѵ Ы = ^ г 6 ^ ) 2

п р и

R < R « * '

( 5 - 2 1 а )

I s I V2naY " (s)

V 1

- 2

I J

V i -

при

RKP<R<Cr{0),

где

(-4-)

( і + і ) 2 ,

= 2«y»

(5.22а).

*) =

« Y " 0 ) C | 5 | + _ l - Y .

(5.226)

139

а Я0	— максимальное				значение 1[. Если имеется более
одного ненулевого				собственногозначения, то оказывает
ся, что К„ в (5.21а)					и (5.216) изменяются обратно про.
порционально			У а у " (—1/2)				и Y а Т " (s )		соответственно .
Следовательно, при больших а отношение										верхней	гра
ницы	д л я	Р(s)	к ничшей			границе [т.		е. отношение			(5.20)
к (5.21)]		изменяется			как	у а / у " (s), a		не	по	экспоненте
от Y а . как			это	следует			из (5.18).
Формулы			дл я	Кі	и К2 м о ж н о уточнить и упростить
еще	больше,		если		ввести		ограничения		« а	собственные
значения		%І. Одним			из в о з м о ж н ы х ограничений являет

ся требование равенства всех положительных собствен

ных	значений:
	%i=UD,	і =	1	D.	(5.23а)
В	этом случае величины		Кі	и Кг удовлетворяют сле
д у ю щ и м неравенствам:					*


		J 1 - 21 s I l 1 +				(5.23в)
/ С ' <	- 7 = -	J 1 - 21 s I l 1 +			D J X
	при		# K P < / ? < C f	(0).
В ы в о д этих неравенств		приведен в (П2.53)				и (П2.82).
Д л я скоростей, меньших		RKp,	возможно	иное		уточнение,

которое мы здесь не рассматриваем [10].

В дальнейшем основное внимание уделяется экспо нентам границ вероятности ошибки, а не их коэффици

ентам, т. е. вместо точных					в ы р а ж е н и й			дл я границ		исполь
зуются		их аппроксимации			в	виде
				Р ( е ) ^ 2 - Ѵ			і \
где знак			« обозначает приближенное					(равенство.
	С этих позиций находятся основные границы									вероят
ности		ошибки		в к а н а л а х	с	з а м и р а н и я м и и			рассеянием.
И з	(5.14)		следует, что использование					этих	границ пред
полагает			знание энергетических весов					ветвей %І. В систе
ме	с	явным		разнесением		эти	величины		определить

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ