книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

P(*L) = l-P(x>yj,

}=\, ....

т-\),

(4.29)

где X и i/j, і=\,...,т—1—статистически

независимые

случайные

величины.

П р о и з в о д я щ а я

функция моментов

величины

X, равная

go{s),

определяется

в ы р а ж е н и е м

(4.26а),

а

п р о и з в о д я щ а я функция моментов каждого у=,

равная

g'i(s), — выражением

(4.266).

Точное вычисление (4.29) является трудной, а может

быть, и неразрешимой

задачей . Поэтому

целесообразно

ние 'Границы правой части равенства

(4.29). Это сдела­

но в

приложении 2.

Хотя анализ

полученных

границ

будет

проведен

только

в гл. 5, удобно

привести

их здесь.

Они имеют вид

и

Р(е)

^P(x^h)

+mP(h<x^y)

(4.30а)

P(s)>^P(x<h)P(y^h)

(4.306)

при

mP{y^h)^L\.

Величина /г

в

этих в ы р а ж е н и я х

является параметром, который м о ж н о

выбирать дл я по­

лучения наилучшего

результата;

х и у — статистически

функциями моментов-go(s)

и g4(s), з а д а в а е м ы м и

выра­

ж е н и я м и

(4.26а) и

(4.266)

соответственно.

Д л я дальнейшего

заметим, что границы (4.30)

спра­

ведливы

дл я

любого

демодулятора,

удовлетворяющего

условиям

рис. 4.9, при использовании

решающего

пра­

вила

(4.27). Необходимо

лишь переопределить

величины

X и у

в

соответствии с

используемым

демодулятором .

Стоит

т а к ж е

упомянуть,

что р е ш а ю щ е е правило,

опре­

деленное

в

(4.27),

обеспечивает

вероятность

ошибки,

удовлетворяющую (4.29)

независимо от априорных

веро­

ятностей

различных

сигналов .

Один

пункт з а с л у ж и в а е т

дополнительных пояснений.

Хотя

мы и предполагали,

что здесь

отсутствует

межсим ­

менить

т а к ж е

к к а н а л а м

с

памятью .

Если

р е ш а ю щ е е

правило

(4.27)

применить

к

такому

каналу,

то вероят-

летворять (4.29) и (4.30). Разумеется, ошибки

дл я

от­

дельных посылок в

последовательности более

у ж е

не

будут независимыми.

Более того, вероятность

ошибки

но часто.

Системы

с блоковым

кодированием

При

использовании

блокового

кодирования

к а ж д о м у

«блоку»

из К информационных

символов ставится в со­

ответствие блок из N сигналов

модулятора . Тогда мак­

симизация

суммы

(4.24) сводится

к

максимизации

пи

к а ж д о м у очередному блоку или кодовому слову в

от­

дельности.

Качество

работы

такой

системы

удобно

характеризовать

вероятностью

того,

что любой

данный

блок выходных

информационных

символов отличается

В общем случае получить оценку Р(г)

д л я

конкрет­

ных «хороших»

кодов затруднительно. Однако

можно

доказать, что существуют коды, д л я

которых

вероят­

ность ошибки меньше, чем некоторое

значение,

которое

обозначим Р(е).

В ряде случаев м о ж н о

показать, что

она не может

быть намного меньше

Р{г).

Эти

резуль­

вания

и

соображений о

плотной сферической

упаковке

из теории

кодирования . М ы не будем вдаваться

в детали

этого

вопроса, т а к как

он достаточно полно

освещен

рии

случайного

кодирования

д л я к а н а л а ,

показ-анного

на

рис. 4.9.

Граница

для

случайного

кодирования.

Из

теории

о случайном

кодировании вытекает, что дл я любого зна­

чения

N существует блоковый

код, д л я

которого

вероят­

ность

ошибки не

превышает

величину,

равную

F W < 2 - ' W r > \

(4.31а)

£.(p) =

-loga K

P,P

(f I о

, + р л і

(4.31B)

В

этих

в ы р а ж е н и я х R — скорость

передачи,

в ы р а ж е н н а я

в битах в секунд)', г—число

к а н а л ь н ы х символов

в секун­

ду, a

р(ЦІі)

— у с л о в н а я

плотность

вероятности

выходно­

го

сигнала, определяемого

вектором

t

при заданном /г-м

входном

символе.

РІ — вероятности

m

входных

симво­

л о в — при

всех

k

удовлетворяют

в ы р а ж е н и ю

і/(і+р)

1

Р,Р

(f I i)l/O + p)

rff >

J/(t HP)

H p

d\,

(4.3 l r )

причем

равенство

имеет

место

для

всех

k,

дл я

которых

Равенство

(4.31в)

можно

привести

к более

удобному

виду,

если

вспомнить,

что:

1) составляющие

fi,...,fm

вектора

f

при

заданном

k

статистически

независимы,

2)

все элементы

вектора

і

кроме //,, распределены

иден­

тично с производящей функцией моментов gi(s),.

опре­

деляемой

выражением

(4.266), и

3)

fh

имеет

произво­

д я щ у ю

функцию

моментов

go(s),

з а д а в а е м у ю

(4.26а).

Следовательно,

Р ( П А ) =

Р , ( М Г І А (/»•).

(4.32)

MA

где

р о ( ' ) — п л о т н о с т ь

распределения,

соответствующая

go(s),

a

рі(-)—плотность,

соответствующая

g\{s).

За ­

метим т а к ж е ,

что из (4.26)

следует

Ы « ) = £ і ( * +

і ) Ы і ) ;

(4-33)

отсюда

в

соответствии

со

свойствами

преобразования

Л а п л а с а имеем

Ро(Ы = (М/й)ехрЫ/ £ і(1) .

( 4 - 3 4 )

Подставляя (4.32)

и

(4.34)

в (4.31 г), у б е ж д а е м с я , что

искомое

условие

удовлетворяется,

если

все

берутся

8—221

113

i + p

X

X

(4.35)

Вообще, д л я

вычисления

(4.35)

следует

использовать

численные методы. Однако,

если

р = 1

, то

путем

разло ­

жения к в а д р а т а

суммы и .вычисления

интеграла

через

£ „ ( ! ) = - l o g ,

— + ( 1 -

—

gï С/2)

(4.36)

gi

С)

0 w

0 2

m

M

in

Помехоустойчивость

систем

с

блоковым кодировани­

ем в общем Биде

будет

рассмотрена в гл. 5. Здесь

ж е ма­

ша цель—свести эту задачу к вычислению

(4.31) и (4.36).

Отметим р о л ь

требования

отсутствия

памяти

в на­

Однако ее м о ж н о

применить и к системам, в

которых

имеется взаимное

влияние

м е ж д у кодовыми

словами,

точно т а к же , как

вероятность ошибки на одну

посылку

в системах без кодирования

можно применить

к систе­

м а м с зависимостью м е ж д у

посылками. Т а к а я

ситуация

мешивания д л я исключения

зависимости м е ж д у

состав­

л я ю щ и м и выходных векторов, соответствующих

к а ж д о ­

му кодовому слову і[53], т. е. когда

вместо

кодирования

по последовательным блокам из N сигналов

модулятора

к а ж д о е очередное

кодовое

слово

использует

сигналы,

которые д а л е к о

разнесены

в передаваемой

последова­

тельности.

Это

не

оптимальная система

при

наличии

памяти, но

она

позволяет

использовать

методы деко­

дирования

без памяти.

В дополнение к общему

анализу

блокового кодирова­

ния, к которому

применимы

соотношения (4.31),

имеется

Явное

разнесение. Ортогональным является такой код,

в котором

передаваемые последовательности сигналов,

ного повторения передачи

сигнала .

Это

приводит

к системе,

идентичной системе

передачи

с

// - кратным

разнесением

во времени. Д л я

различения

разнесения,

Такое различение м е ж д у видами разнесения,

хотя и

полезно, но несколько условно, поскольку оно

зависит

от определения «базисных» сигналов. Н а п р и м е р ,

'система

базисную модулирующую комплексную огибающую

u{t),

может

т а к ж е рассматриваться

как

система без

явного

разнесения, в которой базисная

м о д у л и р у ю щ а я

комплекс-

N

ная о г и б а ю щ а я р а в н а (IjY N) У, u{t

— (/ — 1 )//').

а

отно-

шение

сигнал/шум

по энергии

равно

Ma.

Во

избежание

этой неопределенности вид

•базисной

ся /Ѵ-кратной

системой

с явным

разнесением,

использую­

щей в качестве базисной огибающей u(t).

Очевидно,

скорость

передачи

информации

в системе

8*

115

N

бающую

{\jV~N)

Yi

м (^) e x p / О ( г — l) t.

В

более

общем

і'=і

случае

можно

использовать

любое

сочетание

временных

и частотных сдвигов огибающей « ( / ) , т. е. любое соче­

тание временного и частотного разнесения.

Вероятность

ошибки в системе при использовании того или иного их

сочетания

не

изменится,

если

только N сдвигов разделе ­

ны в достаточной степени, чтобы

обеспечить

статистиче­

скую

независимость

и отсутствие

взаимных помех м е ж д у

соответствующими сигналами на выходах каналов .

Вероятность ошибки в системе с явным

разнесением

наиболее удобно определять через эквивалентную систе­

му без кодирования с эффективной огибающей, опреде­

ленной в предыдущем абзаце . П р и м е н я я к

такой

экви­

валентной

системе

определения

и

результаты,

ведущие

к рис. 4.9,

м о ж н о

получить

границы

вероятности

ошибки

(4.30).

Разумеется,

используемые

в этих границах производя­

щие

функции моментов случайных

величин

определяются

собственными

значениями

комплексной

корреляционной

функции,

соответствующей

эффективной

огибающей

N

(1/1/" N ) 2

и (t — (і — 1 )//'),

а

не

собственными

значения-

ми комплексной

функции

корреляции,

с о о т в е т с т в у ю щ е й

u(t).

Однако

можно

без особого труда

связать

их

между

собой. А именно,

если

Я,-, / = 1 , . . . , — собственные

значе­

ния,

соответствующие

и{і),

то

собственные

значения,

соответствующие

эффективной

огибающей,

равны

AL

' •"'

AL-

h .

'

A l .

N

N

'

N

N

N раз

N раз

Справедливость этого заключения основывается на при­

нятых ограничениях на межсимвольные эффекты .

В ы р а ж е н и я

д л я

производящих

функций

моментов

легко получить с помощью приведенных выше сообра­

жений, связанных с (4.26).

В

частности,

вероятность

ошибки

системы

удовлетворяет

(4.29)

и

(4.30),

причем

go(s)

и gi(s)

заменяются на

g V v ( s )

и

giN(s),

где g0(s) и ,

g i ( s )

по-прежнему

з а д а ю т с я

в ы р а ж е н и я м и

(4.26).

Вели­

чины

ХІ в

(4.26) — э т о

по-прежнему собственные

зиаче-

ния, соответствующие « ( / ) ,

а а — отношение

сигнал/шум

по

энергии

на

один передаваемый

сигнал:

З а м е н а

g'n(s) и

gi(s) на

goN(s)

и giN(s)

эквивалент­

на

добавлению

в

систему

рис. 4.5

дополнительных вет­

так ж е , как и в общем случае систем с кодированием

[53]. При

введении п е р е м е ш и в а н и я

последовательно пере­

д а в а е м ы е

сигналы д о л ж н ы быть

разделены во времени

Ширина

полосы

и сложность

Д в а обстоятельства

д е л а ю т практически

невозмож ­

ным использование больших

ортогональных

а л ф а в и т о в :

бующегося д л я их использования

приемника. П р и

отсут­

ствии кодирования (ѵ = К) обе

эти величины

растут

состоит

из m = 2K

п а р а л л е л ь н ы х

демодуляторов .

Д а л е е

к а ж д ы й передаваемый сигнал обладает шириной

поло­

сы, по

меньшей мере, п о р я д к а

г,

или эквивалентно

R/K,

где r - J —

это

время

передачи

К

информационных

дво­

ичных

символов,

a

R—

скорость

передачи

информации,

в ы р а ж е н н а я

в битах в секунду. Т а к

как

число

сигналов

равно

2К

и

все

сигналы

ортогональны,

о б щ а я

полоса

передачи

примерно

равна

(R/K)2K.

Так,

если

К>Ю,

полоса

передачи

д о л ж н а

быть,

по

меньшей

мере,

в 100 р а з

больше

скорости

передачи, а

приемник

дол­

жен с о д е р ж а т ь

более 1000

п а р а л л е л ь н ы х

демодулято ­

ров.

Д л я

рассматриваемых систем

с

кодированием

шири­

такой сдвиг ж е л а т е л е н , так

как при этом

основное бремя

возлагается на

дискретные,

а

не аналоговые

устройства.

О д н а к о д а ж е

при умеренных

значениях

К

требования

мере, 2К

величин. Следовательно,

оптимальные

приемни­

ки, работающие

при значениях

К,

больших, с к а ж е м , 30,

нереальны в обозримом будущем .

К счастью, разработано большое число практических

субоптимальных

процедур, которые сохраняют значи­

тельную

часть

потенциальных

возможностей

блокового

ные д л я

блоковых кодов

результаты могут с л у ж и т ь

оценкой

помехоустойчивости,

которую можно обеспечить

ванию выходных величин демодуляторов д л я

облегчения

проблемы накопления данных .

И последнее замечание . Хотя рассматриваемое коди­

рование и снижает

требования

к

полосе

для

систем

с большим алфавитом, однако это

не самый

эффектив ­

ный способ такого

снижения . Так,

если экономия

поло­

с ы — основная з а д а ч а , то следует

использовать

сигналы,

отличные от рассмотренных выше. Хотя

вид «лучших»

сигналов неизвестен в точности, некоторое

представление

об их характеристиках д а ю т обобщения,

р а с с м а т р и в а е ­

мые в § 4.5.

гональности удобно в

аналитическом отношении, так

как позволяет сделать

некоторые общие утверждения

последовательностей простым переопределением

интер ­

в а л а «одиночной передачи». Однако оптимальный

прием­

Н и ж е

будут

кратко

описаны

проблемы,

возникающие

при ослаблении

этих

ограничений,

а т а к ж е направления

разработок

субоптимальных приемников.

Общая

задача

одиночной

передачи

О б щ а я

з а д а ч а

одиночной

передачи

всегда может

быть

сведена

к

з а д а ч е передачи в

системе

со

случайны­

ми величинами

так

ж е ,

как рис. 4.1

был сведен

к рис. 4.5.

ной полной

системой

ортонормалы-іых функций.

Если

обозначить

элементы

этого множества через

%i(t),

( = 1 , . . . ,

то р а з л о ж е н и е

будет иметь следующий г.нд:

s(t)=Hsiïі.i(t),

(4.37а)

i / ( 0 = S ^ * i ( 0 .

(4-376)

i

r (t) = y(f)

+

n (t) = S nli

(t),

(4.37B)

i

где

s(t) — п е р е д а в а е м ы й

сигнал,

y(t) — с и г н а л

на выхо­

де канала до воздействия аддитивного шума,

a r(t) —

принятый сигнал. Равенства

понимаются в смысле

сред­

неквадратичной

сходимости

[62]. Координаты s,-, iji

п

связаны

с s(t),

у (t)

и r(t)

в ы р а ж е н и я м и :

S

i =

\s(t)7.i{l)dt,

(4.38а)

yi = ly(t)7.i(t)dt,

(4.386

ГІ =

УІ +

ПІ,

(4.38B)

где

Л / =

J и (0

(О Л .

(4.38г)

Вспомним, что при заданном s(i)

сигнал y(t)

являет­

ся случайным

гауссовским

процессом

с нулевым

сред­

ним

и,

значит,

уі — гауссовские

случайные

величины

с нулевым средним. Кроме того, поскольку

канал линеен,

УІ д о л ж н ы

иметь вид

Уі

=

S

hijSj.

(4.39)

/

Так

как yt

для любого

заданного

набора

Sj являются

условно

гауссовскими

величинами

с

нулевым

средним,

то такими

являются и

И з равенств

(4.38)

и

(4.39) следует, что те г,-, кото­

рые

полностью

определяют

принятый

сигнал,

связаны

с sit

о п р е д е л я ю щ и м и

переданный

сигнал, н с /?.,-, опреде­

л я ю щ и м и

реализацию

шума, соотношением

г2- =

Е/гг -л--|-/?г -.

(4.40)

і