книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

Это

правило решения приводит к неопределенности, ес­

ли

(4.1'8) удовлетворяется более чем для одного значе­

ся, какой бы способ

разрешения этой неопределенности

ни был

выбран.

Представление системы связи с рассеянием

и замира ­

ниями

в виде системы

с разнесением. Процесс

одиночной

Канал

Приемник

i

Рис. 4.5. Представление системы связи с рассеянием

и замираниями

в виде системы с разнесением:

г і і " п і 1 ~ " к о

м п л е к с І І Ы е

гауссовскпе случайные величины с нулевым средним. Все

случайные

величины

статистически независимы м е ж д у собой

и гг. =

л ? . = 0 ,

'/

Ч

минах

н а б л ю

д а е м ы х

/•,•„.

Эти

н а б л ю д а е м ы е

полностью

определяются

ф о р м у л а м и

(4.15) и могут

рассматривать ­

ся

как

выходные

сигналы

системы,

показанной на

рис. 4.5. На этом рисунке

s ; t = l

при передаче

k-ro сигна­

ла

модулятора и su = 0 в

противном случае.

использующих

ортогональные сигналы,

с

отношением

сигнал/шум

по

энергии в i-î'i ветви

разнесения,

равным

аКі

[32—44].

Поскольку

оптимальный

для

данного кана­

ла

приемник

обрабатывает

только

величины

гіп,

рас­

с м а т р и в а е м а я

система

обеспечивает

такое

ж е

качество

передачи, как

и система с

разнесением,

показанная

на

шение сигнал/шум по энергии па ветвь

разнесения,

a ХІ—как

п а р ц и а л ь н ы й энергетический

вес ветви

(вспомним,

что S ? w = l ) .

Последовательности

К а к

и в

(4.6),

представим сигнал

па

выходе

канала

до воздействия

шума в виде

(4.19)

где

yw{l)

— о т к л и к

на w-i'i сигнал

в

переданной

после­

довательности.

Используем теперь

требование

отсутст­

вия межсимвольных помех, которое означает, что

к а ж ­

дый

сигнал

Ую(1)

можно

восстановить

из

у{і).

Это ограничение существенно, поскольку оно позво­

ляет

формировать

н а б л ю д а е м ы е

процесса y(t)

из

на ­

блюдаемых

отдельных

yw(t).

Обратившись

к

(4.10),

можно

убедиться,

что yw(t)

и, следовательно,

y(t)

мож­

но построить,

з н а я

н а б л ю д а е м ы е

/',•„,„,

равные

, Ч п ш = ( 2 / £ г ) І / 2 j " ( / „ ( 0 % * (t

-

-

f

)

exp

/ Ч г Х

\ft

—y-\

dt,

1=1,

n =

l,

m,

w.

0,

1, ...

(4.20)

В этом выражении

^(t—w/r)

ехр

j<on(t

—

w/r),

/ = 1 , ...

— собственные

функции

комплексной

корреляционной

функции, соответствующей yw(t),

если

w-\i

сигнал

в

пе­

реданной последовательности равен sn(t—w/r).

З а м е ­

тим,

что

при

w = Q

ІГІПЮ

как

раз

равно

гг-„

из

равенств

(4.10).

Д а л е е заметим,

что

Пш«

м о ж н о извлечь

непосредст­

венно из

y(t)

без

предварительного

р а з л о ж е н и я

его

на

отдельные отклики yw(t).

В

частности,

их

можно

найти

из (4.20), заменив yw(t)

н а

у(і).

Т а к а я

замена

допусти­

ма,

т а к

как

требование

отсутствия

межсимвольных

по­

мех

гарантирует

взаимную

ортогональность

реализаций

различных yw(t),

что

в

сочетании

с

(4.10)

означает,

что

фг*'(/—w/r) ехр—/со,г (і—w/r)

ортогональны

реализаци ­

ям уѵ{і)

д л я

V,

не

равных

w. Следовательно, если вре ­

менно допустить, что

шум

отсутствует,

т.

е.

r(i)=y(t),

то будем

иметь

г і т о

= (2/Er)1'2

J

r y)

<ff

(l

-

да/г)

ехр

-

К

(t

-

w/r)

dt,

i=

1, .... л = 1

,

.... m,

w =

0,

1 ...

(4.21)

Итак,

y(t)

можно

восстановить

по

величинам

гыш,

определяемым

выражением

(4.21),

и

вычисление

этих

величин

не требует

знания

передававшегося

сигнала .

Кроме того,

величины г,-п,„

содержат

всю

информацию

о переданной

последовательности

сигналов

д а ж е

в

том

случае,

когда

присутствует

белый

гауссовскип

шум.

Т а к и м образом, они являются единственными

величина­

ми,

которые

д о л ж е н

выделить

из

принятого

сигнала

оптимальный

приемник.

Остается определить условные

вероятности наблюдае ­

мых Гіпю

д л я

к а ж д о й возможной информационной

после­

довательности. В

общем

случае эти вероятности

являются

сложными функциями

тех

статистических

зависимостей,

поскольку

все r i n w при заданной информационной после­

довательности

статистически независимы.

Д л я

доказа ­

тельства этого факта м о ж н о

привести

те

ж е аргументы,

которые привлекались в связи с соотношениями

(4.12) —

(4.15), и

-воспользоваться

взаимной

ортогональностью

всех <?І (t — w/r)

ехр }шп (t —

w/r).

Из независимости r i n w следует, что

Р ( Г | 5 ( 0 ) =

Пр(ГШІ

(4.22)

где

p(r\S(t)Y

— условная

плотность

вероятности

мно­

жества

rinw

при

заданной

последовательности

переда­

ваемых

сигналов

S((),

a p{rw[kw)

— у с л о в н а я

плотность

вероятности

множества r,-n u , при фиксированном w и за­

данном

индексе

kw

иу-го сигнала

в передаваемой

после­

довательности.

-в пра ­

Отметим, наконец, что плотности вероятности

вой

части (4.22)

з а д а ю т с я

соотношением

(4.16),

в кото­

ром

г и /г з а м е н я ю т с я

на гю и kw.

Следовательно,

левую

часть (4.22)

м о ж н о представить

в следующем

виде:

р(г \S(t))=.F(r)exp±?,fk

ю ,

(4.23а)

где

F(r)

не зависит

от передаваемой

сигнальной

после­

довательности, и

/ п ш = а 5 ] т т Ѵ 1

r t w

1 *•

( 4 - 2 3 б )

ления fnw не требуется

каких-либо

сведении о

способе

кодирования, то для максимизации

суммы (4.24)

при за­

данных fnw,

n—\,...,in,

w = 0,

1 ... ,его знание необходи­

мо. Поэтому

определим

демодулятор как ту часть прием-

пика, которая вычисляет fnm,

а декодер — как ту часть,

сматриваемый приемник оптимален в смысле

минимума

вероятности

ошибки, будем

часто использовать термины

оптимальный

демодулятор

и оптимальный декодер .

На структуру оптимального демодулятора

оказывают

тов. Если никаких специаль­

ехр-»&л[і-р)

ных мер не принимается, то

оценка / П ш может быть вы­

полнена по схеме, показанной

X

Демодулятор

на рис. 4.6. К а к

изображено

отдетдления

на этом

рисунке,

д л я

оценки

fnw, п=1,

... , т, использу­

ется

система из m

п а р а л ­

r(t)

лельных демодуляторов пли

демодуляторов

от в ет вл е н и і"і.

Демодулятор

К а ж д ы й

такой

демодулятор

состоит из базисного

демоду-

ответвления

'mur

лнрующего элемента,

перед

которым

стоит

перемножи ­

Рис. 4.6.

Схема

вычисления

тель,

сдвигающий

несущую

fnw,

л = 1 , ... ,

т.

частоту

принятого

процесса

лятор

можно

выполнить

в виде

набора

корреляторов

(рис.

4.7,а)

или

согласованных

фильтров

(рис.

4.7,6).

Разумеется,

на

практике

приемник использует

л и ш ь

перестраиваемых для последовательной оценки

fnw.

Последнее легко осуществимо при выполнении

базисного

демодулятора в виде согласованного фильтра .

Если д л я исключения взаимных . помех

и памяти

клики

канала

на /

последовательных

сигналов

могут

влиять на принятый сигнал в любой з а д а н н ы й

момент

времени

и к а ж д ы й

из

откликов

д о л ж е н

о б р а б а т ы в а т ь с я

отдельно, то требуются

/ наборов из /п

демодуляторов

ответвлений.

К а ж д о м у

набору

предшествует

перемно­

житель,

который устраняет частотное

квантование,вво ­

димое на передаче. Одна из возможных

реализаций

показана на рис. 4.8.

Из рис. 4.6 очевидно, что главными

элементами при­

емника

являются демодуляторы

ответвлений.

В

гл. 7

будет

показано, что базисный демодулятор

иногда

можно

существу,

к операциям,

осуществляемым

базисными

д е м о д у л я т о р а м и ответвлений.

Определим

теперь стати­

стические

свойства величин

на

выходе демодулятора .

Рис.

4.7. Реализация демодулятора для

w = 0:

а — с

коррелятором; б — с

согласованным фильтром.

Н а й д е м совместное

условное

распределение величин

fnw,

п = 1 , . . . , / ? г , ш = 0,

1 . . . ,

при

заданной

информацион­

ной

последовательности

или,

что то ж е самбе, при з а д а н ­

отсутствии

межсимвольной

памяти величины

r i n w , кото­

рые входят

в определение

различных f„,„,

независимы

[вспомним (4.22)]. Поэтому независимы

различные /„,„.

Кроме того, т а к как нет межоимвольных

помех, услов­

ная плотность вероятности fnw

зависит

только

от ш-го

сигнала в передаваемой последовательности.

Следова ­

тельно, достаточно определить

статистические

свойства

к а ж д о г о

fnw, обусловленные передачей

до-го

сигнала.

Поэтому

требуется рассмотреть только

задачу

одиноч­

г<*Н

Пербыі

'демодулятор

40

fm0

ехр/£2 (i--1)t

r(tj-

1-й

демодулятор

Tf,i-1

чин

Tm,i-1

J-w

демодулятор

y

,

Рис. 4.8. Демодулятор

для

системы с частотным

квантованием:

-й демодулятор вычисляет

/ П І 0 ;

л = 1

m, w=i—\, J+1—1, 2J+l—\

. . . n

зависит

от номера

этой

ветви. По д правильным ответ­

влением

подразумевается

тот, номер «.которого соответст­

вует переданному

сигналу. Н а п р и м е р , когда передай /г-н

«неправильны». Наконец, все m—1

неправильных ответ­

влений

о б л а д а ю т одной и той ж е

плотностью вероятно­

сти на

выходах.

Грубо говоря, эти свойства вытекают из следующих

фактов: 1) «сигнал» вносит вклад

в выходную величину

ров не перекрываются . Точный

ж е вывод

следует из со­

отношений (4.16)

и (4.22). В

частности,

при

известном

передаваемом сигнале все н а б л ю д а е м ы е

/',-„,„

независи­

мы. Следовательно, независимы и выходные

величины

демодуляторов .

Кроме того,

статистические

. свойства

величину

правильного

ответвления, не зависят от номе­

ра этого

ответвления.

Поэтому

не зависит

от

него и

плотность

вероятности

на выходе.

Наконец,

все

наблю­

Двоичная

информационная

т-ичная

последовательность

Кодер

наследодатель

ность

К Sum /с

г

симд0Л0в/с

Канал

5ез памяти

с

векторным

выходом

Декодированная

двоичная

информационная

Векторная

последовательность

Декодер

'

последовательность

R дит/с

M

-

г

векторов/с

Рис. 4.9. Упрощенное

описание системы

связи

с замираниями

й рас­

сеянием:

При заданном входном

сигнале

канала, скажем А,г , составляющие

fw

являют­

ся статистически независимыми случайными величинами.

Производящая

функция

моментов

дл я

равна: ga(s)

= П , ( 1 — as Äj)) - 1 , а производящая

функция

моментов каждого из остальных

элементов

равна:

e,(s)

= n i . [l - as? . ; /( l

+

a?1 .1 .)l-l;

a — отношение сигнал/шум

по

энергии; л, -— парциальный

энергетический

вес ветви.

ству преобразованиями

Л а п л а с а

этих плотностей

вероят­

ности.

П р о и з в о д я щ и е

функции

моментов

ещ е -потребу­

ются в дальнейшем, поэтому мы введем их здесь.

Обозначим

производящие

функции

моментов для

демодуляторов «правильного» и «неправильного»

ответ­

влений через go (s) и gi(s)

соответственно.

Они

опре­

деляются в ы р а ж е н и я м и :

g„(s) = expsfk.

(4.25а)

=

А

(4-256)

где

fk—выходная

величина

правильной

ветви, a fj — вы­

ходная величина любой из неправильных

ветвей. М о ж н о

показать,

что эти функции,

существующие дл я всех зна­

чений s, не превосходящих

нуля,

з а д а ю т с я

следующими

выражениям и

[43—47]:

г . (*) = П(1

(4 -26а)

і

^w = n ( 1 - s T ^ k - r ' -

( 4 - 2 6 6 )

i

К а к и прежде,

\ І — собственные

значения

комплексной

функции

корреляции R(i,

т) , соответствующей

(базисной

комплексной

огибающей

u(t),

а

а — о т н о ш е н и е

сиг­

нал/шум по энергии.

Статистику

на выходе

демодулятора

зачастую

удоб­

но

представлять так, как показано

на рис. 4.9. На этой

схеме исходная

система модулятор — к а н а л — демодуля ­

тор

з а м е н е н а

'Некоторым

новым

«каналом» .

Н а вход

нового канала

поступает

-/га-ичная входная последова­

тельность

модулятора, а на его выходе

возникает

(век­

торная)

выходная

последовательность

демодулятора .

Этот канал не имеет

памяти, и к а ж д а я

векторная

выход­

ная

последовательность î

w = (fiw,

• • ., fmw)

статистически

зависит только

от соответствующей

последовательности

на входе канала . Статистическое

описание нового ка ­

нала можно

д а т ь или так, как на рисунке, или в

соот­

ветствии

с

представлением

системы

в

виде

системы

устойчивость. Ц е л ь данного

р а з д е л а — ввести

соответ­

ствующие определения вероятности ошибки

системы,

позволяющие получить в ы р а ж е н и я ,

из которых эту веро­

ятность можно вычислить.

Кроме

того, будет

еще раз

чающегося в требовании

отсутствия

межсимвольной

памяти.

Помехоустойчивость

системы,

изображенной

• на

рис. 4,1 и 4.9, можно охарактеризовать

несколькими

раз-

мы

(4.24)

сводится

к максимизации /„„, по

а для каж ­

дого

w,

и

декодер

просто

принимает

решение,

что

на

ŒJ-м

такте

передавался,

с к а ж е м ,

/г-й ( т ч і ч н ы й )

сигнал,

если

fhw^fnxo, п=

/п.

(4.27)

К а к

и

.прежде, возможные

неопределенности

имеют

нулевую

вероятность и

потому

несущественны.

Помехоустойчивость

системы

без кодирования

наибо­

лее

удобно

характеризовать

вероятностью

ошибки

на

одну

посылку Р(е)

при принятии

некоторого

конкретно­

го /ге-ичного решения. Поскольку

канал

не имеет

памяти,

делить

из Р(е).

Кроме того, оказывается,

что все воз­

м о ж н ы е ошибки равновероятны,

та к

что

вероятность

ошибки

на

один

бит равна

( 1 / 2 ) [ т / ( / ? г — \ ) } Р ( е ) .

Поскольку все сигналы на входе модулятора

равно­

вероятны, то

m

p

v = i ^ Y i P (

s l k )

'

( 4 - 2 8 а )

/г=І

где

P(s\k)—условная

вероятность ошибки

на

одну

посылку при /г-м входном сигнале модулятора .

Очевидно,

P(&\k)

есть

вероятность

того,

что

одни или

несколько

из

/nui - не меньше fiiW,

где

w—номер

рассматриваемой

посылки, т. е.

P(e\k)

= l—P

(fhw>fiw

дл я

всех

i=k).

(4.286)

Вспомним далее,

что

при

заданном

à

величины

fiw,

• • -, fmw

статистически

независимы,

и п р о и з в о д я щ а я

функция

моментов величины

//t u l

задается

формулой