книги из ГПНТБ / Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием

нительным

ограничениям.

При использовании таких сигналов комплексные оги­

бающие m

сигналов модулятора имеют вид

iii(t)=u(t)

е х р / 2 я Д ( і — 1 ) / ,

f = l ,

т.

(4.3)

Величина іЛ представляет

собой сдвиг

по

частоте

(в гер­

цах) м е ж д у смежными

сигналами . Назовем^ и[і)

базис­

ной комплексной

огибающей

сигналов

модулятора .

Из (2.16) следует, что комплексная

корреляционная

функция

Rk(t,

т ) ,

соответствующая

/г-му

сигналу

моду­

лятора,

задается

выражением

Rb(t,

x)=R(t,

т) е х р у 2 я Д ( £ — 1) (t—т),

(4.4а)

где R(t,

т ) — к о м п л е к с н а я

корреляционная функция вы­

огибающей u(t),

т. е.

R(t,

-в) =

J j* о (r,

'f)u(t

—

r)u*(i-r)expj2nf(t-t)drdf.

(4.46)

Легко показать,

что

собственными

значениями

и собст­

венными

функциями

Rk{t,

т)

будут

соответственно 1, и

(рі(і)

ехр;'2яА(/г—l)t,

i — l,

. . . ,

где X,- и

ср,(/) —

собствен­

ные

значения

и

собственные

функции

R(i,

т ) .

Поэтому

условие

(4.2)

при кфц

обращается

в

следующее:

^fi(t)<?*n(t)expj2ità{k-q)tdt

= 0

(4.5)

для

всех

^ и

п.

Выбирая Д достаточно большим, можно

удовлетво­

рить

условию

(4.5)

с

любой

ж е л а е м о й

степенью точно­

сти [7]. Кроме того, на практике не

требуются

слишком

большие

значения

Д — приближенно

можно

считать до­

В

соответствии

с (3.21) сигнал на выходе к а н а л а со­

д е р ж

и т частоты, в

основном заключенные внутри поло-

сы

шириной

порядка

W + B.

Это

означает,

что

спектр

собственных функций ф;(() е х р / 2 я А ( / г — 1 ) /

огра­

ничен

примерно той ж е

областью . Конечно, ее

положе ­

ние

зависит как от несущей частоты, так и от

величины

/е-Д, но если A>W + B,

полосы для различных

к. не

пере­

крываются сколько-нибудь значительно.

Поэтому

при­

ближенно можно считать, что если кф-'q,

то

частотные

полосы

собственных

функций

ф,•(£,)

ехр у'2лД (к—1)/ и

Ф„(/) ехру2л;А(<7—1)/, разделены . Это и означает

выпол­

нение условия

(4.5).

Межсимвольные

эффекты

Вторая категория ограничений относится к возмож ­

ным

помехам

и статистическим связям

между

отдельны­

Ограничение на

помехи

вполне

оправдано,

так как

оно удовлетворяется

почти

во всех

системах связи с рас­

сеянием и з а м и р а н и я м и . В

отличие

от прежних

ограни­

чений, которые с л у ж а т только для

упрощения

анализа,

ляет

т а к ж е упростить обработку

сигнала. Именно

бла ­

годаря этому оно часто используется на практике.

Д о ­

пущение, к а с а ю щ е е с я

п а м я т и

не

столь

оправдано

и не

столь

критично, как

ограничение

на взаимные

помехи.

Н и ж е

мы несколько ослабим его.

Соответствующим

выбором

сигнала

всегда

возмож ­

но предотвратить оба межсимвольных эффекта .

Однако

руем

теперь

эти ограничения

более точно и опишем не­

которые средства, позволяющие им удовлетворить.

Обозначим

передаваемую

последовательность сигна­

лов

через

sk (/), sk(t

— \lr),

sk(t—1Jr)...,

как на

рис. 4.2, и представим

сигнал

на выходе канала до воз­

действия аддитивного

шума как

y{t)=I,yi(t),

(4.6)

где

iji(i)

— отклик на sk

(t —

(i—l)/r).

Поскольку

канал

линеен, такое

представление

последовательности

допу­

стимо. Но может оказаться,

что из выходной последова­

тельности

невозможно

восстановить

к а ж д ы й

сигнал

yi(t).

Однако,

если все

tji(t)

разделены

во времени или

рует

эту ортогональность. Ограничение на

межсимволь ­

ную память означает, что при заданной

последовательно­

сти

передаваемых

сигналов

yt(t)

статистически

незави­

симы друг от друга.

Чтобы проиллюстрировать природу этих ограничений,

рассмотрим

некоторые

специальные

средства

их

удо­

влетворения.

Возможно

т а к ж е

использование

и

других

схем

[8—11].

Предположим, что базовая комплексная о г и б а ю щ а я

модулятора

и (i)

имеет

длительность

Т

и

ширину

по­

лосы

W. Допустим далее, что рассеяния

к а н а л а

во

времени и по частоте

равны

L

и

В

соответственно.

К а к

у ж е

говорилось в § 3.4, сигнал

на

выходе

канала

имеет

длительность

п о р я д к а

L + T

и

полосу

частот

порядка

W+B.

Поскольку

сигналы

передаются

со

скоро­

стью

г сигналов

в

секунду, отклики

канала

на

два

сле­

ются сколько-нибудь заметно

и, следовательно, межсим ­

вольные помехи

отсутствуют,

если / ' - 1 > L + 7\ Таким об­

разом, один из

способов предотвращения межсимволь ­

не

превышающей (7' + L ) -

1 .

Вспомним далее,

что в

первом приближении отсчеты

принятого сигнала,

отстоящие друг

от друга более

чем

на

В~\ статистически независимы

м е ж д у сабой.

Сле­

сительно я р у г друга по меньшей мере на

L - f - ß - 1 , т. е.

если

/ - < l / ( 7 4 L + ß - i ) .

(4.7)

В

соответствии

с результатами

предыдущего

а б з а ц а

условие

(4.7)

исключает

т а к ж е

возможность межсим ­

вольных помех. Таким образом,

одним

из способов пре­

д о т в р а щ е н и я

межсимвольных

эффектов является

выбор

г в

соответствии с (4.7).

Приемлемость

описанного

метода зависит от

значе­

ний

В

и L и

от

требуемой

скорости

передачи

данных

для получения нужной скорости передачи

данных

тре­

буется значение г, большее

правой

части

неравенства

(4.7), необходимо иметь в

запасе

иные

средства

пре­

дотвращения межспмвольных эффектов . Одна из

воз­

можностей состоит в сдвиге

соседних во времени сигна­

лов

по частоте. Н а п р и м е р , вместо разделения во времени

следующих друг за другом сигналов иа выходе

к а н а л а

можно

обеспечить их разделение по частоте, выполнен­

ное

методом, показанным на рис. 4.4.

К а к

изображено « а

рис. 4.4, н е с у щ а я частота

пере­

датчика

увеличивается

на величину Û к а ж д ы е

секунд

до

тех

пор, пока общее приращение не достигнет

вели-

(5-й И?

1

1

I

J

I

I

I

» .

1

I

1

1

1

f

г

г

г

г

г

Рис. 4.4. Диаграмма

частота — время

для

частотного

квантования

/ = 5 .

чины / — 1 . З а т е м

несущая

возвращается

к

своему

преж­

нему значению и весь процесс

повторяется.

Д л я

того

чтобы помехи м е ж д у соседними

сигналами

отсутствова­

ли, значение Q выбирается так, чтобы

независимо от

налов, / выбирают так, чтобы J/r превышало

длитель­

ность

отклика

на одиночный сигнал. При таком

выборе

Q, и /

можно

работать при любых значениях г,

не опа-

саясь межсимвольных помех. Д л я

дискретной частотной

модуляции, з а д а в а е м о й соотношением (4.3),

требуемые

значения / и Q можно найти из следующих

выражений:

J2zr(L

+ T),

(4.8а)

Q^m{W-\-B).

(4.86)

Квантование по частоте

можно

применить

т а к ж е д л я

ным квантованием можно считать статистически

неза­

висимыми,

если

Qfm

превышает

W+B

+ L - 1 .

Строго

говоря, они независимы, если сдвиг

по

частоте

м е ж д у

спектрами соседних откликов превышает полосу

коге­

рентности

к а н а л а . Д л я

обеспечения

статистической

не­

зависимости всех откликов на выходе канала

необходимо

т а к ж е ,

чтобы

моменты

передачи

разных

сигналов

на

одной

H той

ж е

частоте

были соответственно

разнесены

во времени . Этого м о ж н о достигнуть, в ы б и р а я

параметры

системы рис.

4.4

так, чтобы J/r>T

+ B~l + L .

мяти. Допущение об отсутствии

межсимвольиых помех

является р е ш а ю щ и м д л я всего

последующего анализа .

ресующих

нас сигналов,

например,

когда

канал

обла­

дает рассеянием только по частоте. Однако

встречаются

ситуации, в

которых его

можно удовлетворить,

только

жестко ограничив величину г пли

применив частотное

сутствия памяти, к а к

у ж е было

сказано, не

столь

суще ­

ственно и впоследствии будет ослаблено .

ІТтак,

введены все

необходимые в дальнейшем

огра­

ничения.

Они будут

использованы для сведения систе­

мы, изображенной на

рис. 4.1, к системам, и з о б р а ж е н н ы м

на рис. 4.5 и 4.9. В качестве первого шага

в этом на ­

правлении

определим

структуру

оптимального

прием­

ника.

К а к

у ж е

было

установлено, з а д а ч а

приемника заклю ­

чается

в

определении с минимальной вероятностью

ошибки

исходной

информационной

последовательности

нятого сигнала д л я

различных возможных информацион ­

ных последовательностей

и принять в качестве оценки ту

последовательность,

д л я

которой эта вероятность наи­

большая .

делить из принятого сигнала

и

которые

содержат

все

необходимые д л я приемника

данные. После того как эти

н а б л ю д а е м ы е

найдены,

вычисляется

плотность

их

услов­

ной вероятности и определяется структура

оптимального

приемника.

Наблюдаемые . , П о к а ж е м ,

что

величины,

использован­

ные в гл. 2, образуют при

некоторых

видоизменениях

подходящий

набор

наблюдаемых .

Д л я

этого

допустим

сначала, что аддитивного шума нет, а

затем

учтем

ту

часть

шума,

которая имеет отношение

к

нашей

задаче .

Д л я

конкретности

допустим,

что

передача

происходит

в течение первого

интервала

времени (рис. 4.2).

Предположение

об

отсутствии

аддитивного

шума

r{t) =

y(t)=V2ErRe

41Г in <?i (t) exp /ю Л /

(4.9a)

где

i'ik

«Dft =

2« [/„ +

( £ _

1)Д],

(4.9в)

а ф і ( / ) — с о б с т в е н н ы е

функции комплексной корреляци­

онной функции R(t,

т ) ,

соответствующей

базисной

комп­

лексной огибающей (4.4). Величина Е,-

является

сред­

ней

принятой

энергией

па один переданный сигнал.

Равенства

(4.9)

неудобны

д л я

наших

целей, так

как

они

предполагают,

что

переданный

сигнал известен,

тог­

множеством

способов,

не

н а л а г а я

ограничений на

сиг­

нал модулятора . Однако введенные

нами

ограничения

позволяют это сделать особенно просто.

Действительно,

условие

ортогональности

(4.5)

озна­

чает, что независимо от передаваемого сигнала

имеет

место

равенство

r(t)

=

V2ErRe

S

S ГІПУІ

(t) exp

jwnt

,

(4.10a)

,)i=i

i

где, как

зежде,

и прежде

''in = (ir)112

j r

W

(0 e x P

-

ßntdt,

(4.106)

a œ n

определяется

из

(4.9в).

Справедливость

этого вы­

р а ж е н и я

вытекает

из (4.9),

если заметить,

что,

как

сле­

дует из

(4.5),

при

передаче /е-го сигнала

./•,•„ = 0

д л я

пфк.

(4.11)

Из

(4.10)

ясно,

что

комплексные

случайные

величи­

ствии шума, т. е. они полностью определяют

этот сигнал

и определяются этим сигналом . Но нас

интересует при­

нятый сигнал после воздействия аддитивного

шума,

ког­

д а р а з л о ж е н и е (4.10а) несправедливо .

Тем

не

менее

7—221

97

м о ж но

показать, что величины п п сохраняют всю

суще­

ственную

информацию, с о д е р ж а щ у ю с я в принятом

про­

цессе. Точнее, д а ж е при наличии

белого гауссовского шу­

ма приемник, работащий

только

с величинами г, п , зада ­

ваемыми

(4.106), может обеспечить ту ж е

помехоустой­

чивость, что и приемник,

о б р а б а т ы в а ю щ и й

весь

процесс

/'(г). Этот

вывод следует

из так называемой

теоремы

венно используется почти

во всех исследованиях

систем

с разнесением и к а н а л о в с

з а м и р а н и я м и [18—26].

Исклю ­

меры

п бескоордннатііые методы воспроизведения

ядер

в гильбертовом

пространстве [27—31]. Эти два

подхода

более

строги,

нежели представленный здесь,

но

они

ведут к сопоставимым

результатам .

Теорема о несущественных данных в а ж н а для нас

потому, что из нее

следует, что оптимальный

приемник

д о л ж е н вычислять лишь совместные условные

вероятно­

сти

н а б л ю д а е м ы х

/',„,

п=\,...,пг,

і = 1 , . . .

Перейдем

теперь к оценке этих

вероятностей.

Условные вероятности. Предположим, что

передается

/г-й

сигнал я аддитивный шум отсутствует. Тогда

в си­

лу

(4.11) '/"ІП = 0 при

пфк

и в соответствии с

соображе ­

ниями, связанными

с

формулировкой

равенств

(2.48),

i'ih

являются статистически независимыми комплексными

ним, не коррелированными со своими

комплексно-сопря­

женными величинами, т. е.

гік

=0

при

всех

і,

(4.12а)

ГІКГ^Ц

= 0

при

всех

і и

/,

(4.126)

rikr*jk

= 0

при

всех

іф\.

(4.12в)

Кроме

того,

дисперсия

| г Й 1 | 2

величины

ик

равна

і-му

собственному

значению

комплексной корреляционной

функции

принятого процесса,

возникающего

при

пере­

д а ч е k-vo сигнала . Д л я

рассматриваемой

нами

дискрет­

ной частотной модуляции это собственное

значение

рав­

но г'-му собственному значению

%І базовой

комплексной

корреляционной функции R(t, т ) , определяемой

выраже ­

нием (4.46),

т. е. при передаче

/г-го сигнала

Ы 2 = я ? - .

(4.12г)

Попутно отметим, что соотношения

(4.15)

опираются

на допущение о том,

что комплексные

корреляционные

функции

сигнала

на

выходе канала,

соответствующие

различным

сигналам

модулятора,

обладаю т одним и тем

ж е набором

собственных значении,

как в случае дискрет­

ной частотной модуляции. Чтобы

распространить

(4.15)

на сигналы,

д л я

которых наборы

собственных

значений

различны, необходимо лишь заменить ХІ В (4.15д)

на Х І ' \

т. е. на

і-е

собственное значение

комплексной

корреля­

Условную

плотность

вероятности

p{v\k)

множества

наблюдаемых

/•,-„ при условии

передачи

/г-го

сигнала

легко

получить из (4.15)

и связанных

с

ним

рассужде ­

ний, а

именно:

« Ф -

S

р ( Ф ) = | П

X

Х | П

[ ( ^ « ^ r e x p - f - y ^ - l ^ r J J

(4.16)

(4.17а)

где, как

и прежде,

rik

=

(2/Er)42

J r (/) Гі

(t) ехр -

fatdt,

(4.176)

'

a = Ег/N0,

(4.17B)

ш, = 2-,[/0 + ( / г

- 1 ) Д ] .

(4.17r)

Следовательно,

оптимальный

приемник

должен

вычис­

лять только

величины fh

и принимать решение, что пере­

д а в а л с я

сигнал,

соответствующий

наибольшему

//,, т. е.

считать,

что

передавался, с к а ж е м ,

у-й сигнал, если

(4.18)