книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Задача о контакте двух тел

(одно из

которых

может быть

абсолютно твердым) допускает

решение

в замкнутой форме,

если область соприкасания между ними

мала по

сравнению

друга. Характерной особенностью этих задач

является

также

и то, что для поверхностей без углов область

контакта

заранее

Г(1) = Г ( — 1 ) = 0 .

(11.3)

случае функция

В(х)

по

своему

механическому

значению не

отрицательна; ß ( . v ) > 0

на

(—1, 1).

Число работ, посвященных уравнению теории

крыла, огром­

н о 1 ) . Ниже

мы будем

заниматься

приближенным методом его

решения, принадлежащим

Мультоппу (МиНІюрр

[1]) . Изложим

вкратце содержание метода.

л:=созіЭ' (t =

Производя в

уравнении

(11.1)

подстановку2 )

= COST),

запишем это

уравнение

в виде (мы вновь полагаем

r ( c o s r } ) = r ( ö ) , . . . ) .

B(û)

1

2л

cos т — cos

ft f К )

I l

V 1 1 - 4 )

о

v

1

xk

= cosûk,

&k=-^L

(/г = 1,2,

. . . , п ) .

(11.5)

Тогда (нечетный) тригонометрический полином порядка

^ / г ,

совпадающий

с Г(т>) в точках

ф*, запишется

в

виде3 )

L [Г; x] =

— i — ;

У,

Г (Xk) -

s—5

à

(11.6)

L '

'

n -f- 1 A=l

v

'

cosu —cosu,,K

v

'

3 )

Заметим, что L[T; х], как

функция

от х, имеет

вид f 1—

х2Рп-\(х),

где

Рп-\ (*) —полином от х порядка

— 1. Очевидно,

Г Ы = " | Л ^ І

^ - і (**)

(А=І. S.-,

я).

1

р

cos /пт dt

sin /ни

,

п

,

п .. „

„ .

—

—

г, =

——5Г

On = U, 1, . . . ; 0 --^ г>

я),

л

о) cos т — cos и

sin'О1

4

~

^

'

получим

формулу

1я ,1г-Гр,

v , 'чcos т —dxcos ф

2я1 JfdL[T;t]dx

cos т dx— cos •& _

2ÏT f '

M

о

о

"

m sin mi9'ft sin m-fr

«

I 1

v '

sin -&

'

4

7

fe=l

ш=1

«

где

ЬѵГѵ -

/ѵ - f

2' bvkTk

(V = 1, 2,. . . , n),

(11.9)

&v =

- r ôw» few = 4 "І"^ ѵ »

ûvft =

0 при |v — k\ = 2,4,

•

bVk

— 4 (л +

1.) sin ф ѵ

Г

l

при |v — k\

=

2

2

— 1,3,...,

ВѴ

=

В(ЪЧ),

/ ѵ =

/(*ѵ)

( ѵ = 1 , 2 , . . . , я ) .

(11.10)

Если

решение Г,, системы (11.9) подставим

в выражение (11.6)

на место ГА )

то получим

функцию

—

I

"

—

Sin (Я'-f- Г)

sin-fh,

которая должна

служить

приближенным

решением

уравне­

ния

(11.1).

6*

83

индексами ,'в этой системе будут выражаться

исключительно

через неизвестные с четными индексами,

и наоборот.

подходящего подбора для каждого іі начального

приближения

рассматриваются

лишь

значения

п—2т—1

(і?г — 2,

3, . . . ) .

В

симметрическом

случае,

когда

В(х) =В(—х),

f(x)=f(—x)

и, следовательно, Г ( д ; ) = Г ( — х ) , приведенная

схема

значительно

упрощается;

в этом

случае

Г/. — ІѴи—ft {'.k—\, 2,

...

, \n—r-

xi потому система

(11.9)

будет представлять собой

систему всего

из

"-g—-| уравнений2 ).

Из изложенного видно, что метод Мультоппа

представляет

собой весьма

простую и вместе с тем удобную для

практических

применений

схему

для

численного

решения

уравнения

(11.1).

К тому же, как показывает ближайшая проверка,

желаемая

точность может быть достигнута на первых же ш а г а х 3 ) .

||ё| = т а х | Ы .

Систему (11.9)

запишем в виде

функционального

уравнения

7 С 0 Г = Г - Я 0 Г = / 0 ,

(12.1)

1

= ( f i , . . . , Г„), J0

= I ~, ...,

j ,

')

В случае уравнения теории крыла он ведет к цели несравненно быстрее.

2 )

Здесь, как и прежде, квадратные скобки означают целую

часть заклю­

ченного в них числа.

3 )

В практических применениях метода для индекса п обычно берутся три

Но = піах

( n + l ) [ ( n + l ) ß v + 4 s i n G v ]

7 j

ѵ "

1

(12.2)

Как легко

заметить

2 —

5.,

1

( я + 1 ) [ ( я + 1 ) В ѵ +

4 8ІпФѵ ]

4A,

(n + 1)8 '

' n + 1

где

при

<

0,

max

ß(.v)

В (х)

x€[—LU

(12.3)

О

при

В (х)

>

0,

В(х))

при г > ѵ = у . В силу предыдущей

оценки из формулы (12.2)

будем

иметь

1

~ 4 Â ~ ( п Т Т ? Ш у Х

t g 2

<>fe+#V

n + 1

ft=l

(12.4)

Положим

(V)

1

"

1

IS?

te

= —

(12.5)

Q, ( V )

( « + 1 ) 2 У ] , ** + * v '

4=1

о (Ѵ ) =

І Ѵ

,. 1

v. - г - т -

1

1

1)'-

tg2

Последнее равенство перепишем так:

Q i (ѵ ) -

s? V

( А 1 v ) 1i

-щц;

^ .

A -

2я( п + 1)

1

(12.6)

и -I- Г

t g 2 ^ T

1

do-

2

2л

•^г^

(12.7)

7ГТ1 Tu

tgJ

Легко получить

оценку

V _J

^ о V

1

fc=l4

'

fc

—1,3,...

причем

знак равенства

будет иметь

место

при п — 4т— 1, ѵ =

—2m ^Фѵ = -2-J или при п = 4т, v = 2m, 2 m + l . Но

m

1=

у

1_

V

у

fc=i,3,...

É=I.3....

2 m

+ 1 = f t > p + L j + 1

л*

J_

"8

2m+l

C другой

стороны, в силу

неравенства

2 (2Л -

1

'2n-l < 2

I ) 2 ^

2л - 3'

k-

Г/i-f 1 і

а -г о

2m+ l=i

ства

(12.6)

будем

иметь

окончательно:

.

п

4 ѵ ч

1 - л2

(л -і- 5)

(12.8)

lt=i

Обратимся

ко второму

слагаемому

в

равенстве

(12.6).

Беря

интеграл, находим

я

_1_

1

9

1

_ J

1_ , j t

2п

ft — ft.

ft —ft.

sin

ft.

я —

ft„ ft,, +

4

Ig2

Функция

sin ft л —ft

ft

4

max F(Q)=F (я/2) =

1 +

зх

4

mlnF(Q)

= F(0)=-j-

—

я

'

F(ö)

= F (я —d)

0 < # -

Следовательно,

— — -

1

2п

f f t - f t v V

ft — ft,,

t g * -

(12.9)

Равенство в правой части достигается

для

іЭч,==я/2, что воз­

можно при нечетных

п.

ции и соответствующей суммой Римана, справедлива

оценка

J ( v ) <

1

(12.10)

п -I- 1 "

В силу приведенных выше оценок будем иметь

Qi ( ѵ ) <

1 -

( j

-

+

і ) +

g (

д +

+

5 ) + (

7 Г ^ -

(12.11)

Перейдем

к оценке Q2 (v). Рассмотрим

функции

рк

(?)

= ctg2 А _

+ G t g 2

Л ,

±

А

Я —

- ;-

i—i +

ü

Яи <<•) = dg2 V

-

+ ctg2

ь

« + 1

+

(ft =

l , 2,

я ) .

Непосредственной проверкой' можно убедиться, что

min

p k

(0)

= р к

( •£.), min

C7fc

(fl) =

qk

(-J + (

~ Ц

r

Предыдущие равенства позволяют заключить, что

2 ctg2 ,-^ > > ctg2 ^— >

(12-12)

ft=i

~

fc=i

где

2

при n нечетном,

* ¥ =

я

,

n v

я

(1213)

, (— l ) v

при/г четном.

І Т + 2 ( В

+

1)

При суммировании

в правой

части

неравенства

(12.12)

индекс

мости от того, будет ѵ нечетным или четным. Равенство в

(12.12)

осуществимо

всегда, за

исключением

случая

п = 4 / п .

Правую

часть неравенства (12.12) представим в виде

И

! І

rfg'^r1*

=

J ctg2 Ц±*

й Ь _

j ,

(12.14)

где

J

(ö-) = J ctg2

—г — dr} — — j 2J ctg2 —•

Ь

1

ft=i

/*($*) можно

оценить так:

«.

Я

J * (G*) < j ctg2 t±£ d$ +

J ctg2-^* d& <

Используя

здесь

неравенства

x - < t g x <

п^2х

^

х ' Т

и принимая

во

внимание

формулы

(11.5)

и (12.13),

получим

J*(®*)<T-n-p-

(12-15)

Замечая, наконец, что

f c t

e 2 i ± ü = - i _ _ „ - .

*

4

- я

.)

L L g

2

sin

fl*

Л

п

>

о

в силу формул (12.12), (12.14), (12.15)

и

(12.5) будем иметь

для Qs(v) оценку.

^ ) > ( І - 4 ) ; г т т - »

< І 2 Л 6 )

Неравенства

(12.11)

и

(12.16)

дают

теперь

на

основании

неравенства

(12.4)

следующую оценку для ||Я0 ||

(/г>1):

(12.17)

1

/г

-I- 1

Отсюда

вытекает, что если

К =

max

В(х)

< Т '

( 1 2 Л 8 )

то, начиная

с некоторого

п, | | Я 0

| | < 1 . Тогда

в

силу

известной

теоремы

функционального

анализа

(см. например, Л. В. Кан­

торович

[1], стр. 102) оператор Ко имеет обратный

Kö~l,причем

I * 5 l < j 4 ^

(12.19)

З а м е ч а н и е

1. Указанный результат не допускает улучшения.

В самом деле, при я = 2 т + 1 , ѵ = т + 1 мы имеем следующую

асимптотику

О і ( ѵ ) - й а ( ѵ ) = 1 - 4 4 - + ° ( І ) -

С другой стороны,

если

функция В (х)

отрицательна и модуль

отношения

д

достигает

своего

максимального

значения

в точке х = 0 ,

то при тех

же условиях и достаточно больших п справедливо равенство

"

Ъ,

4А. I 1

л л ' И

I п*

7 J Ьѵ

-