книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Подставляя

Qi из соотношения (9.22) в

первое

равенство

(9.27), получим еще

Q* — ХА = Л _ і — іс.

(9.30)

Равенство

(9.22), (9.23), (9.29), (9.30)

и дают

искомую

определения с и а2к-і

(k = 0, ± 1 , . . . ) -

Согласно формулам (9.16)

и (9.25) она запишется в следующем

виде:

(х -Ь р2 ) ai - f m (1 — р - 2 ) а_і

— Ы=- А-і — ic,

m (x | р - 2

) й _ і +

( 1 - p2) ax

— XA = m (Ay — imc),

(x + pik~2)

ä2 f t _! -!- (2k -

1) m (1 - p-2 ) a_2 f c + 1 +

У m-* (25—1) a _ 2 s + i — Л

Л _ 2 Ь + 1 ( / г - 2 , 3 , . . . ) ,

s =

l

-!- (2/г - 1) I - P s

(и + р - « + 2 )

a_2 f t l I

Xin-

V m s - i (2s — l ) a 2 s - i — Л

S = I

(9.31)

здесь

Л = V m*—I (2s— 1) Û2S-I.

s--=l

Рассматривая

равенства

(9.13) н (9.14) с четными номерами

вместе с равенствами

(9.8) и (9.9) соответственно, мы получим

с — хв = л 0 ,

(х + р*к) a2k + 2mk (1 — p-2 ) a^2k

+ \тк x

X I 2 У)' m - ( s + l ) sa-2 s -

в] = Л _ 2 Й 1

I

(9.32)

2

S=I

+

2/e — - a2k

(x + P"") a- fe

/n

fe-i

= Л2/,

( й = 1,2,...)

2 V rn?~ha2s

— B

s =

i

где

В = 2 V ms~]sa2s.

S =I

Как видно из самого

вывода

этой системы, она эквивалентна

(в смысле разрешимости в классе

ограниченных решений)

исходной. Вновь

полученная система

по структуре своей

ничуть

не

проще первоначальной,

но тем не менее

она оказывается

более удобной для исследования ' ) .

2°. И с с л е д о в а н и е

п о л у ч е н н ы х с и с т е м.

Ниже

будет

доказано,

что система

(9.31),

(9.32)

имеет и

притом

единственное такое решение с, С, ah(k=

+ 1 ,

± 2 , . . . ) ,

которое

дает

абсолютно и равномерно

сходящиеся рядыдляф(£),ф''(£),

и,

следовательно,

будет решением

рассматриваемой

краевой

з а д а ч и 2 ) . Будет также указан

способ решения

этой системы.

Исключая из

системы

(9.31) неизвестные

а-гь+ь

получим

систему относительно с и а2 ) 1 _г

(k=l,

2, ... ) вида

W ^ 1

X + P ~ 2 J

= A l 2 f t + 1

(£ = 2,3, ... ),

(9.33")

где

a

• m ( l

1 - Р 2

л*

_ 1

,

(2fe-

l ) a

,

^-2ft+i — ^~2k+\

"Г —

_ 4 f t

+ 2 ^2fc-l

X - j - p

_

x

^ m " - s - ' (2s

I)

Л2 5 _і

(£ = 1,2,...).

(9.34)

')

Для практического же решения

системы в таком приведении, разуме­

ется,

нет никакой

надобности.

2 )

После

того

как доказана

абсолютная и равномерная

сходимость

рядов

для

ф(£),

ф'(£)> аналогичное

утверждение

относительно

ряда

для

(1—т£- 2 )г|)(£)

непосредственно

следует

из краевых

условий

(9.3).

7!

Пусть

с,

a 2 , , - i ( A = l , 2,...)—некоторое

(ограниченное) реше­

ние системы

(9.33). Положим

Pk

m , ; - s - ' ( 2 s - l ) ^

| ß 2 s - l | ,

s=l

Як

• (2k-

1) m-k V m»-» ( 2 s -

1) |a2 s _i|,

(9.35)

s=ft

ru

„,ft—2s—1 / 0 „ n

™

V л

( ^ _ 1 L

V OTv-i

( 2 v _

i) «2V-1 .

s=l

K

v=s

'^nSy1

(2s - 1 ) H 2 s - 1

(9.36)

к - f p- 4 S + 2

Легко видеть, что

(M=const).

(9.37)

pk<Mk2,

qh<Mk2,

rh<Mk2

Используя

предыдущее

неравенство

п неравенства

(9.38),

из последнего

равенства

(9.31)

находим

также

| а _ 2 й + і |

<

M

(k=

1,2,...).

к

ft

3

Аналогичное

рассуждение

применительно

системе

(9.32)

даст,

очевидно,

такие

же

неравенства

для ее ограниченного

решения a2h(k

=

± 1 , ± 2 , . . . ) .

±2, ... ) — ограниченное

Следовательно,

если

с,

ah(k= ± 1 ,

решение1 ) системы (9.31),

(9.32), то

ІРЫ<^'

\a-*\<W

<* = Ь 2 ,

. . . ) .

(9.40)

')

Ограниченность

последовательности а

,£ (ft=l, 2,

... ) можно и не

предполагать.

решения рассматриваемой

краевой

задачи 1 ) .

Отсюда заключаем, что при условии

(9.38)

система

урав­

нений (9.8) — (9.14)

допускает (единственное)

решение,

обла­

дающее

свойством

(9.40), и, следовательно, наша краевая задача

разрешима.

3°. П р и б л и ж е н н о е

р е ш е н и е б е с к о н е ч н ы х

си­

с т е м .

Перейдем

теперь

к вопросу о

фактическом решении

системы

(9.33). Введем

новые неизвестные bh соотношением

kah=bh

{k=l,

2,...)

(9.41)

и перепишем эту систему в виде

2s-

1

m-

*-2

_ 2(v - s - bl) (

2 v +

V

Ô 2 S - 1

=

X - f p- l s + 2

1 — —

X -r P- 2 ( 2 V + 1 )

\ *

p2

L

j

(2fe- l ) m - f e + 2

_ /

_

_mM ^

m f e ~ 2 s (2s -

1)

p 2

( x +

р - і Л + 2 )

^1

p2 J^

x + p-4S+2

Л + •

K*AZ-2k+\,

(9.42")

1 - P 2 I

x -r P

') Легко убедиться, что система уравнении

(9.33)

(и аналогичная ей систе­

ма) квазирегулярная. В самом деле,

для этого достаточно

заметить,

что не­

равенства (9.37)

остаются

верными,

если

в

правых

частях формул (9.35)

ПОЛОЖИТЬ a2s—l

= 1 ( s = l ,

2,

. . . ) .

где

Ь* =

( 1

- р ^ _ . / И 3 )

(Ä = 2,3, ... ) ,

Л =

2 ^ - ^ , .

(9.43)

Если бы постоянные с и Л были известны заранее, то преды­

дущая

система,

будучи

треугольной

относительно

b2h-i

(k=\,

2, ... ), дала

бы возможность

последовательно определить

все

&2fc-i, так как коэффициенты

при последних

отличны от

нуля для любого k. В рассматриваемом

же случае

решение

можно получить следующим

образом.

Пренебрегая временно зависимостью (9.43), решим систему

(9.42) при правых частях соответственно:

Л =

Л =

с = 0; Л =

с =

АІ2к+і

= О,

Л =

1 ;

Л =

с =

А І 2

Ш

= 0,

Л = 1

(Ä =

1,2,...).

Пусть

эти решения

будут соответственно bffl-u

bik-u Ь22Ц^\.

Очевидно, что Ь21-\ ( 5 = 1 , 2) —вещественные числа.

Тогда

решение

b2h-\ системы

(9.42)

представится

в

виде

bik-x =

ôS'-i + АЬЧи

+ (А

+ —iï-z)

ЬЧ1{

(k =

1, 2, ... ) .

(9.44)

Умножая эти равенства на m*"1, суммируя по k от 1 до со ')

и принимая во внимание формулу

(9.43), будем

иметь

А = V m'-'ftäL, + Л V m*-'6ÖLi +

("Ä -\- —

ѵ

m*-»&gL,.

(9.45)

Ввиду

того, что неизвестную

bi

можно

без

ограничения

общности считать

вещественной

величиной,

предыдущее

равенство вместе

с

равенством (9.44)

при k=l

(или, что все

равно, с первым

равенством (9.42))

представляет

собой полную

систему для определения Ь и с и А .

Эта конечная

система одно­

Определив таким образом Ь, с

и Л, найдем по

формуле

(9.44) неизвестные

b2h-\, начиная

с k—2, после

чего

а^н+і

найдутся из вторых

равенств (9.31).

2,...),

Совершенно аналогично решается система для b2h(k

=

\,

' * + p'1 *-2

, ( 2 й - 1 ) ( 1 - р » ) » 1 ,

_

2 А - 1

" г р 2 ( х + р - ^ + 2 )

j 0

2 ' ' - 1

= Л І 2 Л + 1

(ft =

tf,W+l,...).

(9.50)

конечную

систему треугольного вида.

Равенства

(9.44), начиная

с k=N,

совпадут

с системой

(9.50).

Очевидно,

что увеличивая

.Л/,

мы

можем

таким путем

найти

решение

системы

(9.42)

с любой точностью. Все сказанное относительно

системы (9.42)

относится в равной степени и к системе для b2h,

и тем

самым

завершается решение

задачи.

4° П л о с к а я з а д а ч а д л я э л л и п т и ч е с к о г о к о л ь ­

ц а . Если

в формулах

(9.1) положить

к= — 1 , с =

0, то

получим

для

рассматриваемой

области

первую

основную задачу

плоской

Первое уравнение (9.42) будет иметь вид:

— к[А + I] = 1-х -f- mА,.

(9.51 )

Из уравнения (9.51) вытекает необходимость условия

Im Ü _ i - f тАу] = 0 ,

мента

всех внешних

усилий.

В

рассматриваемом случае

равенства

(9.44)

примут вид

bak-i = b4Li

+ Ab2lLi

+

MLi

(k

= 2,

3,.

. . ) ,

')

Такое

упрощение

нашей системы

означает,

что

мы

пренебрегаем в

выражениях

для неизвестныхbik—i,

начиная с некоторого номера, величинами

порядка kmk)p~4k In k.

вании

формулы (9.43)

А -

bx = I

m"-*

+ Л |

m*-' &2У_, + Л J m*-*

bgU

ft=2

k=2

fc

= 2

(9.52)

В

виду

того,

что

Ьі—вещественная величина, равенства

(9.51),

(9.52)

однозначно

определяют

Ьі и Л. После этого

а_2 / і + і

( & = 1 ,

2,...)

определятся

из соответствующих

равенств

системы

(9.31),

первые два

равенства

которой

в силу

уравнения

(9.51)

тождественны.

Далее,

необходимо

еще показать,

что первые коэффициенты

в равенствах

(9.42)

и аналогичных для b2k, а именно, выражения

вида (с точностью до постоянного множителя)

Фо (0 + fq-o (t) +

Ѣ (t) = /о (t)

на L 2

( 1 0 . 1)

• -л Фо (0 + ' ^фо (0 + Фо (t) = h

(*) + icjt - f С на

L

где фо(г), x\i0[z)—искомые

аналитические функции

в

данном

кольце,

Qt

lid Ъ2 ,

(10.2)

hit)-

i

G (шо) — i\H

iw0) ds-L

на L x

J

2 ( l - v )

G и Я — дифференциальные операторы

(1.23),

<Г2

Учитывая

характер

многозначности

функций ср0 (г), apo(z)

(С. Г. Лехницкий

[1],

стр. 209), из вторых

равенств (10.1)

и (10.2) после элементарных вычислений находим

Фо(г) = -

ш

, _

„, qb- In (1 — m) +

ln - т -

2 + Фі (z),

1 -

m

г | , 0 ( 2 ) = г | н ( 2 ) ,

(10.3)

32 (1 -

яг)2 І\ 2 ( 1 + / п )

^

+

^ ] ( 1 - 1 - 2 І П Р

+

+

1 п ( 1 - Ь - £ 1 ( 1 л - mer»

m \/

ma

m

а

/ И

=

1 6 ( 1 - m )

(1 +

т

)

(то+±

1 + l n ( l + - £ ) - x l n ( l

+

+тст2 )

1 +

v

2

^ 3

1

-m 1 -

v

з

i / o

34

,

2 т * - 1

,

/ игг,\ .

4(1

— т ° - ) /

1

на

+

( 2 т — т3 )о--і-

—

+ ^ 5 І +

— — — [та —

i

За:

D

(10.4")

Разлагая эту функцию в ряды по степеням а, получим по

формуле (9.19)

коэффициенты A h

( £ = 0 , ± 1 , . . . ) .

По изложенному выше искомые постоянные с, ак следует

определить

из

системы

(9.42)

и

ей аналогичной,

после

чего

находятся

и все остальные неизвестные. Как видно из формулы

(10.4), в

нашем случае

A2k = А

^ = A 2 k == 0 (& = 0, ± 1,...)

и поэтому

С = 0 , a2Jt=a2ft =

0 (k=0,

± 1 , . . . ) . Кроме того, так как