книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

собой, при известных

Q211 линейное конечноразностное

уравне­

ние с постоянными коэффициентами второго порядка.

Решая

это

уравнение

по известному

способу, как

если

бы

правая

часть была заданной

последовательностью

чисел,

и принимая

во

внимание,

что

корнями

характеристического

уравнения

здесь будут h,2 = Р± 2 > находим

его общее решение

в виде (см.

например, А. О. Гельфонд [1])

ô2 f e = CL P 2(M-D + C 2 p - 2 < F C + 4 -1-

Q2m

m=jV

(k = N,N+

1, . . . ; J V > 2), (7.20)

62 к = = р2№-Н>

2m

m=JV

+

2 P2 m Q2 m + C 2 p - 2 ( № ) . (7.21)

Внеся это значение для Cj в формулу

(7.21),

получим

bik = у 1

Р4

m=ft+l

m=„V

+ Cop-^+V.

(7.22)

Рассматривая

совокупность

равенств

(7.18)

с

нечетными

номерами

и рассуждая

как выше,

будем

иметь

аналогично

1

OD

k

~|

2 p 2 ( f e - m ) Q 2 m + i

+

2

p-2(k-m)Q^+i

+

+ C 2 p - 2 ( f c + 1 )

(k = N,N+

1, ...;N>

1). (7.23)

Положим

далее

Pfe =

2

p 2 <f t -'"»Q2m,

<7fe

- S p - 2 ( f t - m

) Q

2 m -

m=k+l

m=N

Исследуем

сумму

,-,

, ^26-2

Q 2fe-4

,

,

®2N

(7.24)

Çk = 4.2k H

Г 2 ~ •

P

4

-Г

• • • "Г 2(ft-JV)'

P'

Так

как

{6J—ограниченная

последовательность

чисел,

то

на

основании

формул

(7.16)

и

(7.17)

правая

часть

выра­

жения

(7.19)

будет

убывать

при А->-оо

как

1//г.

Подставляя

выражение (7.19) в формулу (7.24)

и

принимая

во

внимание

соотношения

(7.17), легко заключаем, что ')

i

i

- Ni

1 J

К 3

_|_

^

,

&

(7.25)

(k -

2)

p

p<

'

*

"Т"

'

(k — 4)

3

-

" '

A,3p2(/i-jV)

І Ь

9133

г>22

~ Г

1

Заметим теперь, что последовательность

чисел

i

A _

Y

" j

_

,

/

k

V"

i

,

, i

k y™ i

,

k"'

(7.26)

- 1 /

p

1

\k — 2]

' p2

1

2 /

p f c - 2

^

pft-i'

{k=N,

N+l,

. . . ) ,

где m — некоторое

натуральное

число,

ограничена.

Действи­

тельно,

имеем

ы

<

k"1

j

_

г

+

• • •

Г k ] m

Р

р-

2

+ ,[fe/2]

1

(7.27)

„ft—l-[fc/2|

откуда и следует

утверждение.

На

основании

этого

из

соотношения

(7.25) будем

иметь

M

<

X

(k

= N,N+

1,

. . . ) .

(7.28)

Рассмотрим, далее,

,

Q2(fe+m)

(7.29)

P

. 2m

Подставляя

сюда

выражение

(7.19)

и

учитывая

неравенства

(7.17), сразу

находим

Ы

<

Х

(k

= N,N+

1, . . . ) .

(7.30)

На основании формул (7.30) и

(7.28)

из

(7.22)

получим

теперь

|

Ы

<

х

(A = J V , t f + l ,

. . . ) •

(7.31)

Исходя опять из формул (7.24) и (7.29), повторим преды­

дущее

рассуждение,

причем

вместо

ограниченности

b2h

будем

и i ^

м

') Для положительных констант мы будем в этой главе употреблять одно

и то же обозначение М.

Ы

<

f .

(7.32)

На основании (7.32), (7.ІЗ)

и

(7.17) из

(7.12) будем иметь

|р—2*л_2 А | <§-

(k = N,N+l,

. . . ) .

Следовательно,

\Р2кЫ<-ЩГ

(k = ± 1 , ± 2 , . . . ) .

стных Ьгм-і- Следовательно, имеем окоичательно

ІР*а*І <

W "

Ä = ± b ± 2 ; . . .

(7.33)

Неравенства (7.33)

обеспечивают

абсолютную

и 'равномер­

ную сходимость рядов (7.8), (7.9).

Таким образом,

доказано,

что если система (7.14), (7.15)

имеет ограниченное

решение,

то оно

будет давать

решение на­

сматриваемой

граничной

задачи.

Если удастся найти решение bh

системы уравнений

(7.14),

(7.15) , то, пользуясь

формулами (7.13) и (7.12), можно будет

определить

значения

всех

неизвестных

коэффициентов ah(k — 0,

± 1 ,

± 2 . . . ) .

Зная

эти

последние,

мы можем по

формулам

(7.3)

определить

значения

функций

фі(0—ф(°)>

ірі(0 = я|>(°)

на окружности 7.

После некоторых вычислений получим

Ф(СТ) = 0 0

+

2 1 ° * (°k + G-k)>

1

00

яр (а) = äo -

[a-kp-°-k-kp-2ak

-

(k + 2) p 2 û f t + 2 ] (а* +

р 2 а 2 +2 i

а-*),

Подставляя

сюда

£ = # ^ a + - ^ - j ,

найдем фі(^) и ярі(0- Оп­

ределив функции фі(г) и ipi(z)

внутри

эллипса, находим

значе­

ние в точке z=x-\-iy

искомого прогиба

по известной формуле

и(х,

y)=w0(z,

z ) + 2

Re{äpi(z)+xi(*)} .

В частности, прогиб

в середине

пластинки дается

выражением

«о =

wu (0, 0) -

Ц

(f, t)+

2Re [Uh

(t) +

xx (Ol] (Xj (0) =

0).

(7.34) '

3°.

О

п р и б л и ж е н н о м

р е ш е н и и

с и с т е м

у р а в ­

н е н и й 1 ) .

Будем пренебрегать в уравнениях

(7.14), (7.15),

начи­

ная с некоторого достаточно большого N,

членами

высшего

порядка малости,

сохранив из неизвестных в каждом уравнении

одну левую

часть

системы

(7.18)2 ).

Иначе

говоря,

уравнения

(7 . 14),

(7.15), начиная

с некоторого

N,

заменяем

следующими:

p2bk+2-(p<+\)bk+p2bh_2=Bh

(k =

2N, 2N+\,...).

(7.35)

Будем

.рассматривать

бесконечную

систему

уравнений, со­

стоящую

из

уравнений

(7.35) и двух

конечных

систем

по M

первых уравнений (7.14) и (7.15).

Ограниченное

решение

системы

(7.35)

согласно

формулам

(7.22)

и (7.23) имеет такой

вид:

J2k =

1 - Р 4

V

p-2(k->n)B2n

m=fc+l

m=N

+

(7.36)

V p ^ ( * - ' » ) J ß 2 m + I

+

V p - 2 ( * - « ) f i 2 m + 1

m=k+\

m=N

+ C2p-W+»'

(7.37)

где C2,

C2

— неопределенные пока постоянные.

Постоянные С2, С2

следует

определить

вместе

с

первыми

неизвестными bh из недостающих уравнений

рассматриваемой

системы и формул

(7.36), (7.37).

Возьмем

систему У Ѵ + 1

первых

уравнений

(7.15)

и в

двух

вестные b 2 N + h

b2N+3

их значениями

из формулы

(7.37):

b2l\j+i

= 1 - Р 4

у pHN-m)B3m+l

+

С2р

-2(Л'+1)

m=N

?2JV4 3

; B2!

C2p~ -2(Л'+2)

ЛГ+1

т = Л ' + 1

')

Хорошо известно,

что решение регулярной

бесконечной

системы

нахо­

дится

с

помощью

предельного

перехода

в решении конечной

системы,

полу­

чающейся из бесконечной

отбрасыванием

всех уравнений

и неизвестных,

начи­

ная с некоторого

номера

N. Поэтому решение такой системы, точнее, любое

конечное

число первых

неизвестных, всегда может быть найдено с любой

наперед

заданной

точностью.

Предлагаемый

ниже

способ решения регулярной системы (7.14), (7.15)

является

более эффективным

в том смысле,

что путем

решения конечной же

системы мы находим при данном N приближенные

значения

одновременно для

всех неизвестныхbk (k=Q,

1 . . . ) .

Тогда

для определения

Ь и Ь г , . . . , о 2

к _ ь

С2

мы

будем

иметь 'Систему из iV-j-7 уравнений. Решая

эту систему,

мы най­

дем первые неизвестные ^2;t+i(Ä = 0,

1,

N— 1),

а также по­

стоянную

С2 ,

с помощью

которой

по формуле (7.37)

опреде­

ляются и все остальные b 2 h + \ {k=N,

N-{-1,

. . . ) .

Рассматривая систему ./V-f-l первых уравнений

(7.14) и

заменяя

в двух

последних

уравнениях

этой

системы b2N, b 2 N + 2

деления

bo, b 2 , . . . , b2N-2,

С2. Решая эту систему, находим ана­

логично

предыдущему

все неизвестные £»2^(^=0,

1,

. . . ) .

Таким образом, упрощенная система решается

в замкну­

том виде. Легко убедиться, что ее

решение

6І'Ѵ )

(k = 0,1, 2,...)

дает приближенное решение системы

(7.14),

(7.15).

В

рассматриваемом

случае частное

решение w0

{z, z)

мож­

но брать в следующем виде:

ш ° ( г ' ~z) = 6&~2 ^ 2

( q =

c o n s t ) -

Принимая во

внимание

формулу,

вытекающую

из

(7.2),

/ і ( 0

=

- ^

' J L _ i _ r - 2 -

Wo {t,t)

(на

L),

dtdt '

' dt

легко

находим

для коэффициентов

разложения

(7.10)

следую­

щие выражения:

А,

=

[2Х (pG

+

р - 2 ) -

(р4

4- 2) (р2

-

р - 2)]

gR3

w

,

А3

=

[2Хр-

16D '

(8.1)

[К (р" + р - 2 ) + (р* + 1 ) ( Р 2

-

р - 2)] - f g - ,

А

=

-

Л_з = - [ 2 А р с + р2

( р 4 - 1 ) ] gR3

Л _ 5 = Хр

6

S2D

16D

все остальные Л А = 0 ,

в частности, А2к=0

(k=l, 2, ...).

соответ­

Отсюда,

так как

однородная система

уравнений,

ствующая

уравнениям (7.14), (7.15), не имеет

для р > 1 нетри­

виальных

ограниченных

решений,

будем

иметь

а 2 ,,=0

(k=

= 0, 1, 2, . . . ) .

N=3.

Далее,

в равенствах

(7.35) возьмем

Тогда

мы будем

иметь систему четырех уравнений для определения b\, b3,

Ь 5 , С 2 .

.

b 2 k + l

= C 2 p - 2 ( f c + 1 )

(ft = 3,4, . . . ) ,

определим

остальные

b2k+i.

После

этого

из

формул

(7.13)

и

(7.12)

определяем

приближенные

значения

всех

ак

(k=

= ± 1 , ± 3 , . . . ) .

все коэффициенты аи,

(Іг =

=

Отбрасывая

для

примера

± 9 , ± 1 1 , . . . ) , будем

иметь

следующие

приближенные

выра­

жения1 )

для ф(о) и я])(а):

ft=l,3

Ъ (о) с*

2

[a-kP~2k

-

2р-2£а* -

p2

(k - f 2)] (а* ±

с-*)

+

й=!,3,5

-г

( а _ 7 р - " - 7р~2 а7 ) (ст7

+ ст-7)-

Подставляя

сюда значения

а

+ ~ о ~ _ R '

а

Г aJ

R3

R '

a

"+" ер -

^

^

T-

.

;

a +

a7

~~ R?

R?

'

R?

R '

находим

приближенные

выражения

для

фі (z)

и ярі (z)',

после

чего

определяем прогибы по . приведенным выше формулам.

Указанные вычисления

были проведены для эллипса

с отно­

шением полуосей ~y = 3.

В этом

случае, очевидно,

-^- = -р=-

и, следовательно, в силу формулы

(7.6)

р = ] / 2 . Кроме

того,

было

принято

ѵ = Ѵз

и, значит,

Я = 3 . Если

найденные

приб­

лиженные

значения

фі(г),

%\{z)

подставим

в

формулу

(7.34)

и

положим t = R (ре1''3'11 + р - , е - 1 - » і я ) , то для прогиба

в

середине

пластинки

получим

« 0 ^ 0 , 2 0 6 6 - ^ .

Отметим, что это значение

для и0

близко К значению,

най­

денному Б. Г. Галеркиным

([1], стр. 337).

')

На основании формул

(8.1) коэффициенты ak

(k=

± 1 , ± 3 , .. . ,)

будут

вещественными числами.

5 А. II. Каландня

65

В настоящем параграфе изучается смешанного типа

задача

об изгибе пластинки в виде софокусного эллиптического

кольца,

основная задача плоской теории упругости. Приводится

пример

для случая постоянной

нагрузки.

1°. С в е д е н и е к

б е с к о н е ч н о й с и с т е м е

у р а в н е -

н и й. Область пластинки будем обозначать по-прежнему через

S, а ее внутреннюю и внешнюю границы через Li и

L 2 ;

большие

соответственно. Будем

предполагать, что

контур

L 2

закреплен,

a L \ свободен.

фі (z),

(z)

Для искомых

голоморфных

функций

мы будем

иметь (согласно формулам (2.9) и (2.12))

контурные

условия

ЪЖ) + h'i

(0 +

Фі (0

=

h (0 на U,

1(91)

- x"cp77j) + 7Ф1 (0 +

I K (0

-

h (0 + icxt +

С на

L

v

j

где fi(t)—заданная

на полной границе

пластинки

функция

ную

и комплексную

постоянные,

подлежащие

определению.

В дальнейшем будем считать, что fi(t)

имеет

вторую

производ­

ную по дуге s, удовлетворяющую

условию Гёльдера порядка 1.

После преобразования данного эллиптического кольца на

круговое в плоскости £ при помощи

функции

2 =

tf(c

+ ^ ) ,

2R =

Y^=^

( 0 < т < 1 )

(9.2)

условия

(9.1)

примут такой вид:

^ ) + ( ^ + ^ ) I

- 3 (

| + t ( a ) = / ( a ) на у 2

-

к

^ )

+ ( ~

+ гпо}-^^

+

у(о)=

\ (9.3)

=

/(а) +

іс

+

maj

+ C

на

^

здесь

f i ,

72 — концентрические

окружности

на

плоскости Ç

радиусов

соответственно

1 и

р > 1 ,

<pi(z)=q>(£),

i|>i(z)=i|)(e)f

(о),

с в С і

я ,

p =

i ±

J

^ «

L .

(9.4)

жутся сходящимися на f 1 H ч2 .

(9.8) — (9.14)

будем

разы­

Решение

бесконечной

системы

скивать в

классе

ограниченных числовых

последовательностей

и поставим

себе

целью

доказать,

что этот класс

решений на

самом деле приводит к цели. Вначале

приведем нашу

систему

к несколько иному виду.

Положим

(x + p - 2 f t )5 _ f c

+ / e b ^ a f t - Q f e

(k = 1, 2,..

.).

(9.16)

Тогда совокупность равенств (9.11) и (9.13) с нечетными

номерами

перепишется так:

mQs

— Qx = ß 1

4 - imc — ~ a u

(9.17)

mQ2 f e _i - Q2 f c _3 = ß 2

/ i _ 3 -

(2k - 3) -А- a2 / e _3

(k = 3, 4,...),

где

b = ( l - p * ) ( l - . 2 L ) .

Решая предыдущую систему относительно Qok-u

будем

иметь

fc-i

Q2 fc-i = [ ß x

+ itnc] m - f e + i - I V m-k+s-t

(2s — 1) a 2 s - i

+

+

V 1 m-k^Bss-i

(k = 2, 3, ... ) .

(9.18)

s = l

Введем

в рассмотрение

следующие

коэффициенты

Фурье:

Ак=тУ-*ЪрГ'

V = 7 i + Ta

(Ä = 0 , ± l , ± 2 , . . . > .

(9.19)

Тогда, как легко

видеть из соотношения

(9.7) :

тАк—Ак-2

=

Вк-2

(k =

0, ± 1 , . . . ) .

(9.20)

Отсюда

находим

A2k-i

= i41m-ft+« +

2 т - * + * В а _ ,

(А = 1,2,...).

s =

l

Внеся это выражение в соотношение

(9.18), получим

Q2fc—1 + m~k

% V ms-i (2s — l) a2s-\ — m (йх + i'^c — Лх )

s = l

;

= Л 2 А _ ,

(Ä = 2,3, ... ) . (9.21)

На основании формулы (9.16)

для ограниченного

решения

системы (9.8) — (9.14), при больших k имеем: Qh=0(k).

Поэто-

му

в силу

соотношения

(9.21) мы

должны

иметь (вспомним,

что

0 < т < 1 )

m [ ß x

+

ітс — Лх ] = Я ѵ m s

- _ 1

(2s — 1) a 2 s - i -

(9.22)

s=l

После этого равенства

(9.21) примут вид

ft—I

Q2k—i +

km-k

V m ' - i ( 2 s - l ) ß 2 s _ i - A

s=l

Л 2 / і _ ,

(ft =

2,3,...)

(9.23)

A = V

'"S -' ( 2 s -

1) a2s—i-

(9.24)

Положим, далее,

(к +

p2<0 5fe +

mk (1 -

p - 2 ) « - t =.ßft

(ft =

1, 2,. .. )

(9.25)

и равенства

(9.14)

перепишем в виде

<2* _ inütJi

= — B-k

— (ft — 2) Я л _ й +

2

(ft =

4, 5, ... ) .

(9.26)

Рассмотрим

систему

уравнений

из

(9.10),

(9.12)

и

(9.26)

с нечетными номерами, а именно:

Çil — mQx

= — В—! +

i (m2 — 1) с,

Q3 — mQ* =

— ß _ 3 +

îtnc — Яа_і,

ß » - i — яійй-8 =

-

ß -2ft+i -

(2ft -

3) X a _ 2 f t + 3

(K=ß,

4,...)

(9.27)

Решая эту систему относительно ßjjft—и будем иметь

Q2fc_i = tri*

ft—i

Qj. - f irnc —

ХУІ

m-(s+D (2s — 1) а_2 5 д- і —

s=l]

-

2

ß - 2 s + I

(ft

=

2, 3,. . . ) .

(9.28)

С другой

стороны, из соотношения (9.20)

легко

получить

A-2k+i

= /ПМІ -

V m*-*B_2,+i

(ft =

1,2,...).

s=l

Внеся

это выражение

в

равенство

(9.28)

и

заменяя

в нем

йі

его значением из соотношения (9.22),

получим

ft—1

2

(2s — 1) a _ 2 s + i — Л

= A _ 2 f c + 1

(ft =

2 , 3 , . . . ) .

(9.29)