книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Отсюда следует, что функции ^i(Ç)

и і?г(£) должны

иметь

вид1 )

/г, (Ç) = &о +

=*+•••• +

- f e r

-

Ч

ô p - i C - 1

(5.14)

причем

Ö0 +

Ö0

- -

2 ^ j — ^

(5.15)

Как видно

из формул

(5.7)

и

(5.8),

постоянные bh, ск

пред­

рестности £ =

0.

Эти

величины

ср'(О)

ср< р ) (0)

и

являются

искомыми.

Принимая

во

внимание выражения (5.7) и (5.8),

из

формул

(5.11) находим для

| £ | < 1

со i

cD'(Q +

( o ' ( 9 ? ( 0

+ а, 0 ю'(і)ф'( £ )

=

І - Ѵ

( І ) Ф (£) — £ ев ( J )

ф'(С) -£<o'

(Ç) -ф (Q

=

(5.16)

Исключая из этих равенств функцию ор(£) и решая диффе­

ренциальное уравнение относительно ф(£), будем иметь

Ф(£) = С

1-Я

(5.17)

- . /1

Здесь С — произвольная

постоянная,

1

-

V,

F (£)

=

M ß (£) +

Я ' ( ö l ,

(5.18)

Q(S)

= E-îï%Hi(S)-i-/?i(e)],

я ( о

= І І 5 % И 2 ( £ ) + Я 2 ( £ ) ] .

(5.19)

Из предыдущих формул видно, что выражение для ср(£) со­

держит неопределенные

пока постоянные

С, Ьк, ск.

гр(С)

можно

После того как будет найдена ф(£), функцию

определить непосредственно из второго равенства

(5.16).

Таким образом, нам остается лишь найти упомянутые выше

постоянные.

')

Мы полагаем

ф ( 0 ) = 0 .

Для определенности будем считать, что Х(р-\-1)—не

целое

число, и что корни

полинома

со' (і-) £ Р - «

=

+

• • •

+

раР

(5.20)

простые. Пусть

эти

корни

(расположенные

внутри

ч)

будут

£і , • • • , £ Р - І -

Из предыдущих

формул легко убедиться, что функция

1-Х

(5.21)

регулярна

в окрестности точки £ = 0.

Поэтому

при

малых

\t,\.

справедливо разложение в степенной ряд

=А0+А£+...+Ар-&-1+...

Выражение

(5.17) перепишем

теперь

в виде

(вспомним,

что

Ь < 1 )

Ф (£)

=

-1

А-Х

Р

- І

X

ft=0

р

S'm' (S)

V

(5.22>

-MP+1) + A

- / /

1

со

Легко

видеть, что требование

однозначности предыдущего^

выражения в окрестности

£ = 0 даст С = 0 , и потому

Ф(£)

=

а' (£)

X

С г/

£0-«(p+i)f (£) _ У Л Й С - М Р + 1 ) + Й

, 1-Х ,

Р

- І

- 1

I

/ и

•2- •ЧР+1) + А

(5.23)

З а м е ч а н и е .

Очевидно, что коэффициенты А0,

Аіг

. . . ,А

^ содержат

не определенные пока величины

<p^(0)

(k=l,

р). Если для определения

последних выразить, как в случае

плоской задачи

(Н. И. Мусхелишвили

[1],-

§ 8 4 )

условие, что

ср^ (0),..., q>^ (0)

представляют

собой

коэффициенты

разложения

правой части выражения (5.23), то, как легко убедиться,

получим

ие уравнения,

а тождества

<р('^ (0) = ф( й ^(0), где k=

1,

. . . , р — 1, и одно

усло­

вие

(получаемое сравнением

коэффициентов при £ р

),

совпадающее

с услови­

ем

(5.15).

Дело в том,

что, как

показывает

проверка,

коэффициен­

ты А о, A i,

. . .

, Ар—% вовсе

не содержат

известных

величии

и

представляют

•собой некоторые линейные

комбинации

от

ф^1' (О), .. . , ф ( Р — 1 )

(0);

известные

величины в разложении правой части выражения (5.23) войдут

в коэффициен­

ты при

начиная лишь с

k—p.

На самом же деле, неизвестные

ф ^ (0), . . . , ф ( р — ( 0 )

должны

быть

•определены из требования голоморфности внутри у

выражения

(5.23),

пред­

ставляющего собой, вообще говоря, многозначную функцию.

В случае, когда X(p-j-l)—целое

число, либо когда среди

С" (£ — £ A ) m * »' (ö

О

при

£ = £f t>

р - 1

;=0

- Ä. (p + 1) +

/ ^

7=1

(/=0,1, .. . , mA—2; Ä = 1 ,

. .. ,

r).

Предыдущие равенства, обеспечивающие голоморфность в-

круге выражения (5.23), опять дают вместе с формулами (5.15)

ческих уравнений для

определения

неизвестных

<р(">(0)(&=

= 1, ...,/>).

§ 6. Примеры

1°. Б е с к о н е ч н а я

п л о с к о с т ь

с э л л и п т и ч е с к и м

о т в е р с т и е м . Будем

рассматривать

бесконечную

пластинку

І т П і т г ^ ф - я М о о ) ] ! = 0.

(6.1)

U->co

/

Задача состоит в определении прогибов точек срединной по­

верхности, когда на границе области

непосредственно

заданы

прогибы и изгибающие моменты (задача I I I , § 1) ' ) .

z = co(£) = # ( ^ - + mS), # > 0 ;

0 < / п < 1 .

Отсюда

Cü

функции в круге

| £ | < 1 ,

то из предыдущих

формул и формулы

(5.5)

заключаем,

что при

малых

| £ |

Ф ( £ ) = 0 ( £ 2 ) ,

^ ( Ç ) = 0 ( Ç 2 ) .

Исходя

из

этой

оценки,

легко

показать, что функции Йі(£)>

£2г(£), определяемые равенствами

(5.7),

(5.8), будут ограничены

вблизи

£ =

0, если только соблюдено условие

т с р ( 0 ) + г р ( 0 ) = 0 .

(6.2)

Ввиду

того, что

/ м < 1 ,

это

условие

всегда

можно

считать

выполненным

(ср. с работой Н. И. Мусхелишвнли [1], стр.

501).

В

соответствии

со

сказанным

равенство

(5.16)

примет

вид

£ Ѵ ( £ )

Ш Ш Ф' (£) + « / ( £ ) * ( £ )

+

W ( - f ) ( P ' ( S ) = ^ i ( Ç )

+

&,

(6.3)

- iс о- ,

)

- й

(

т

Ф' (S) -

£<*>'(ЁЖ?) =

4> (S) +

с

т

Здесь

6, с—-не

определенные

пока постоянные;

функции

и Л2 (£)

определены

формулой

(5.12), где fi и f2

даются

форму­

лами

(5.6), причем — D(l—v)hi(s)

и /Î2 (S)

обозначают

на

этот

раз заданные значения изгибающего момента и прогиба

соот­

ветственно.

Условия (5.13) в нашем

случае дадут

b + b =

1

Г h

(a) da

С — С.

(6.4)

2ni

Нетрудно убедиться, что второе из предыдущих условий

влечет

за

собой

справедливость

равенства

(6.1),

обеспечиваю­

щего однозначность прогиба в рассматриваемой

области.

Как

показывают

простейшие

вычисления,

формула

(5.17)

дает

1 Чк ГІ — т£а-і 1-Я. F a)

Г 1 — т£?Я,1 + Г 1

-

m £ 2

dg,

(6.5)

где

F(Ç) = — -щг^іу

[A, (£) +

ZA* (g) +

A2

(Ç)

+

+ Ь + {l +

2mt*) с].

.(6.6)

Функция CD'

имеет

(внутри

-y) два корня

g = ±

Ут.

Yïh

-Y

m

n ^ r f < ö * ; + c = o ,

j

[ ^ ] 1

_ х ^ ( 0 « + с = о.

о

о

2°. Б е с к о н е ч н а я

п л о с к о с т ь

с к р у г о в ы м

от­

в е р с т и е м . Относительно

характера внешней нагрузки и

на­

ложения, что и в предыдущем

примере.

Применяя

на

этот раз

преобразование z=R%,

дающее

отображение

рассматриваемой

области

на

внешность

единич­

ного круга и следуя приему,

указанному

выше, получим (см.

Н. И. Мусхелишвили [1], стр. 485—487)

Ф (0 = №

J [RA, (0 + Л 2 (g) -

U'z (С)]

со

где

с = 2яі J

а

У

точке

2 = 0 . Большую и малую полуоси^его

будем

обозначать

через

а и Ъ соответственно ' ) •

Г. С в е д е н и е к б е с к о н е ч н о й с и с т е м е л и н е й н ы х

а л г е б р а и ч е с к и х

у р а в н е н и й .

В

рассматриваемом

случае

граничные

условия (5.1) нашей задачи

могут быть-

ь ІФі (t) + Ф. (01 + t" [Фі (t) +

*ФІ (t) + ^ («)] = /і (t) •

(7. î )

Здесь

d2 i

î

h (t) =

1

ds2 '

«,

( ? \ -

1

f m i W d t

,h

Ы

-

1

Г ^ П М

_L[t^{f)dt

'

Ф і

^ -

2ST

J f - z

'

1 1

w

~

2л7 J T = l

2ш J

f _ z

L

L

L

(7.3)

где Ö I ( 0 —искомая

функция точки контура L.

Подставляя

выражения

(7.3)

в

граничное

условие

(7.1),

бу­

дем

иметь

i->U •

- г

*0

= h(t0).

Введем

подстановку

(7.4)

l

(7.5)

а +

У а 2

•4R2

Р =

2R

(7.6)

отрезок [—2R,

2R].

Подставляя

выражение (7.5) в соотношение (7.4) и заме­

чая, что

(р1 — 1) a3

t

R (a 2 — 1)2 (a2 — p") '

где a по-прежнему обозначает

аффикс точки на f, получим

' 1

Г стсо' (a) da

1_ Г

оа>' (а) da

1 )

2ni]

er — Ç

2лі)

_ j _

Г+

.

У

У

° ~ I

JJ

(P1 - 1) ol

j

^ w (a) da

1

1 ( ш (er) da P-1

-

1

со'

(a) da

= / K ) ; (7.7)

2лі

y a

здесь ö ( a ) = © i ( 0 ,

/ Ч о ) = Ы 0 -

Функцию со (a) ищем в виде ряда Фурье

со (a) =

2 %сгй.

(7.8)

Отсюда

— СО

со

со

(7.9)

о/ (а) = 2

Аа^а*-',

ûTTâ) = 2

Й ; Р 2

( / г - % - / г + i_

—со

—со

(7.10)

Положим еще

- p") •/(<*) =2

Лй а*.

R (ff2 - 1 ) г ( а 2

М 1 о а - ( Р * + 1 ) +

р*а-2 ] 2 tefcafc

— 2

kabo-k

- (а2 - 2 + а -

2 )

2 К р ^ + ' Э а - * -

2

ft

+

Jfeä p-*№~i)a*

+ (р4

- 1)\2а0 + 2 [ак + а^р-* + (р* -

1) £af t P -2 <*+i>] а*

= 2 Лег*.

—со

Сравнение коэффициентов при ak{k = 0, +1

, . . . ) дает

2 (р* -

1) а0

+ 21 (р4 - 1) аъ + 2Ä.(p-2—p») ä2 = Л0 ,

(7.1 Г)

%(k+2)

[p4 af e + 2

+ Â f c + 2 р - ^ + О ] -

Xk[(p4

+ 1) ak + 2"aftp-2^-D] +

- f (p4

- 1) К + a-f t p-4 6

+ (p4

-

1)HP2<S+"] +

+ K(k — 2)[ak-2

+ àft_2 p-9(fc-3)] =

(A=l,2 ); (7.11")

(p4 - 1) a_fe = Ä. (fe + 2) [ a f c + 2 + â f c + 2 р2 »+з)]

-

относительно

ак

(ft =

0,

± 1 , . . •)

бесконечную

систему

линей­

ных алгебраических уравнений1 ).

Приведем нашу систему к несколько иному виду, более удоб­

ному для исследования. С этой целью подставим

значения а~к

из соотношений (7.12) в (7.11)

и в

полученную

систему

отно­

сительно ак

введем новые неизвестные bk формулой

а 0 = 6 0 ,

Kkpka, =

bk

( f t = l ,

2,

. . . ) .

(7.13)

Тогда после некоторых упрощений будем иметь

2 (p* -

1) ô0 =

(р-2 -

р2 ) Ь2

+ (p4 -

р - 4 )

h

+ Л0,

(7.14')

S A

+

тіаЬ2 =

(P2 +

P"1 0 ) ô4

+

( 1 +

P - 8

)

h

- ß 2 ,

(7.14")

X

\b2k+2

+

p 4 ï 2 A _ 2 ]

-

B

2

k

(ft =

2,

3,

. . . ) ,

(7A4'")

[(X- 1) (p4 +

p-") + 2 ( H - 2%)} (&x

+

6,)

=

=

Я. (p2

+

P"6 ) (Ьз +

оз) -

№ u

(.7.150

?2ft+lÖ2fc+l +

T]2fc-fl

Ôft+1 =

P

[l

- i " p-

<

f e + 1

>] b2 fc+ 3

+

2

2

8

+ P2 [1

+ p - 8 f c ] Ô 2 f t - I

+

+ (1 - f p8 ) p-2(2/e+3) [ 5 2 f c + 3

p ^ ^ , ]

-

B 2

k + l

(k

=

1, 2, . . . ),

(7.15")

где

5ft =

p M f c

- p - 3 M _ f c

(ft =

1,2,...),

Eft =

(l

+

PO (i +

p-4 f c )

+

i

О -

P4)

(i -

Р~"г )-

(7.16)

Tlft

-2(ft+l)

—

H P

4 -

)

(ft =

2,3,

. . . ) .

V

1

2

') Используемый здесь

способ

сведения

задачи

к

системе

линейных

уравнений

с точки зрения

идейной

не что иное,

как

метод

функциональных

уравнений

1, но внешне все же отличается

от

него.

Было

бы

правильнее

назвать его сочетанием методов Мусхелишвили

1, 2 и 4

(см. стр.

47).

Имеющиеся методы решения плоских задач, несмотря

на

их

значительную

при любом

р ( р > 1 ) . Нетрудно

также убедиться,

что при

боль­

ших р они будут уже вполне

регулярными2 ).

Ниже

будет доказано,

что

система (7.14),

(7.15)

имеет

рассматриваемой

граничной

задачи. Будет

также указан спо­

соб приближенного решения этой системы.

2°. И с с л е д о в а н и е б е с к о н е ч н ы х

с и с т е м

у р а в ­

н е н и й . Будем

разыскивать

ограниченные

решения

системы

имеет такой же порядок убывания при

возрастании

номера,

как правая часть системы.

Заметим прежде

всего,

что согласно

нашему

предположе­

нию относительно

заданной

функции f 1 (t) для

коэффициентов

разложения (7.10) будем иметь неравенства вида

\Р*М<-%

{k =

±l,±2,...).

(7.17)

Пусть теперь

bk

— некоторое

ограниченное решение

систе­

P " 6 f t + 2 - ( р Ч 1 Ж + Р 2

V 2 = Q ,

Ц

(k = N, N+1, . . . .

tf>3),

(7.18)

где использовано

обозначение

1 —

Р'" I 1 . I . г,—Ik

- M ( ' + P ' > - l 1 U

t

1 - P «

Jj

*

i 0 -2(fc+l)

4 p 4 - - f ( p 4 - D 2

- p - 2<2* - 3>& f e _ 2 -

(1 + p8) p-2(*+à)

[bk+2

- f p«5f t _2 ]

(k = 2, 3, ...).

(7.19)

Совокупность

равенств

(7.18)

с

четными номерами

(или,

что все равно, равенства

(7.14), начиная

с k=2)

представляет

') О

бесконечных системах

уравнений см.,

например,

Л. В. Канторович

и В. И. Крылов [1], гл. 1, § 2.

2 )_Как показывают даже грубые оценки,

для этого

достаточно брать

P>Y Зі или, что то же самое, а^.2Ь.

Однако условие того, чтобы системы (7.14)

и (7.15)

были

вполне регулярными, не

будет

соблюдаться при любом р > 1 ;

например, третье уравнение системы

(7.14) не

удовлетворяет этому

условию

даже при р = 1 , 5 .