книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Ф (9 +

*<р'(0+

ч|> ( ' ) = / ( * ) на L<2>,

(3.3)

,

...

1 (dw0 , dw0

tit)

=

н а ^ ( 1 — ѵ ) ,

приведем

контурные

условия

на

опертой

части

к

виду

Re

2?

Ф (*) +

г

f

t'i t'i [(1 - Щ Ф ( У +

W

(/,) +

яр &) ] Л і =

Re {?

[ф (0 +

^ФЧО +

} =

& (0

на І 2 Й _,

(Ä =

1,

. . . ,

/г).

где C 2 Ä _ I — неопределенные

действительные

постоянные,

(3.4)

a

(f\ -

1 d w °

•

2k-1

здесь

X = 1 —

V

Функции

ф(г)

H i|)(2)

на

этот

раз

будем

брать

в

виде

(Д. И. Шерман

[2])

,

s

1

Ç

(ù(t) dt

(3.5)

/ — z

ta

(t)

dt

(3.6)

V [• I ~~ 2ni TJ

n

2ni

'

t - z

2ni •]

(t

-

z)«

где ш(0 —новая искомая функция точки контура L , непрерыв­

ная в смысле Гёльдера на L .

Внесем выражения (3.5), (3.6) в контурные

условия

(3.3),

(3.4), и к левым частям

равенств,

полученных из условия

(3.3)

и

второго условия

(3.4),

прибавим

соответственно

выражения

Ь7+Ц\-1

\

t

(3.7)

t

t

где Ь — чисто

мнимая

постоянная,

связанная

с

и (t)

соотно­

шением

Тогда для определения

a(t)

получим

уравнения

2È-1

jUk

2л iL

Р

t~t0

l

- R e .

t"t'

ю

(Л _i_ J_

f и (^)

!

/С (t)

Л

- / C i

=

w

t ' .

*i

— i*

2ft-l

(t0) +

Cak-i,

(3.80

g l

j[?ô © (*„) +

*ô ш (*o)] +

R e

K*

(Q)

= §2 (to)

на

L 2 f c _ ,

(Ä

=

l . . .

. . . л), (3.8")

где

©(*о)+Я*('о)=А('о)

на

L<2),

(3.9)

/С ft,)

L

L

'

'

0

К* (/о)

1 - П

(3.10)

»0

K l

(fо)

( і ' - і ; ) а и - у - г ; ) м и

Л -

2яі ^

Легко заметить, что совокупность равенств

(3.8),

(3.9)

пред­

ставляет собой

систему сингулярных

интегральных

уравнений

пока постоянные Coh-\(k=l,

2 ,. . . , п).

J _

Г t'a (t) — t'(ù {t)

dt — Q (tQ) + C2 ft-i

на L2 fe-i

2A—I

(k = \, . . . .

л),

(3.11)

')

Используемая

ниже идея

преобразования

сингулярной системы (3.8),

(3.9)

к

уравнениям

Фредгольма

заимствована у

Д. И. Шермана

[3],

приме­

Постоянные С^-х определяются

при этом

из требования не­

прерывности (ù(t) па L 2 ; t - i в виде следующего

функционала:

г

_

1

f

®(t)dt

'2ft-1

Преобразуем

теперь

правую

часть (3.13). Прежде всего при

помощи легко доказуемого

равенства

2k-\

2ft-I

2ft —1

где под ln^l —j - jnpii

данном t подразумевается ветвь, обращаю­

щаяся в нуль при z—O, можно

написать

o2fc—1

L

L

1

J

= - 4 J

? ? « о ( 0 А - ' - ^ - | а > ( 0 1 п ( 1 - ^ ) л +

2ft-l

t

+

s r J f f l W * I

in(i-f)d(?;?;). ( 3 . 1 4 )

Рассмотрим теперь выражение

вида

/,,<_! ( g = ^

j

J

т ( 0 Л (і0,іх

на L 2 f t _ ,),

L2k-l

°2ft - l

где т(0 — непрерывная функция

на Lof t -i. Совершенно анало­

гично равенству

(2.39)

напишем

С,

^2&—I

2fc-I

Далее, имеем

2&-1

° 2 f t - l

2ft-l

'

л» г J

#f t (*i)(*i — г )

„ J

b 2fe-l

-

2fe-l

Ь 2 й - 1

2/г-1

а (4 ^1 , 0 =

( ? п р и

S l

<

S '

'

\ \

при

sx >

s,

причем Su s обозначают дуговые абсциссы точек ti

к t

соответст­

венно. Подставляя

выражение

(3.16)

в равенство

(3.15)

и пере­

ходя к пределу при г-*-

на Ь^к-и будем

иметь

/ 2 f t - i

(fо) =

- ^

j -

J

о (t0,

t) dt

J

^ (

^

-

^ )

'

(3.11 )

L2k-l

L 2ft-1

На

основании

формул

(2.41),

(3.14)

и

(3.17),

равенство

(3.13)

после

подстановки

в

него

выражения

(3.12)

можно

2ч

Т ГГ

и \

/ "7Г\1

V '

Rk

Со)

f 7'ш (і) -

/'со (/)

,,

1

JL

P

- т а г , ! " ( ' . - і Я ^ й + л Т ) ) ^ ] ' « І Й і ^ Ѵ

где

2 * - l

#.(*„) = R e

fô/C*(h)-i.

f

t"~t'K(t)dt-

°2fc- l

(0^0_C ..

/ J 4

i

_

Л

*o

•

+ 4 j f

®(t)dt

ï

l n ( l - ^ ) d ( ï î î ; )

L / C , ( f o ) -

(3.19)

Имеем,

далее,

°2fc- l

>

4? '

Rk Со)

Г t'a(Q-t'a~V)

v-, /Я* Co)

Г

Гсо (О -

f'ЙО

^ м - і

2ш'

J

R Ä (0 (* - f 0 )

dt==JUk27ii

j

/

Rk(t)(t-t0)

d t

r

p=l

p

p=l

2p - l

.

?f c Co) f

?co (/) -

*'m (Q

M

_ - m

Со)

RkW-b)

'

" T • "2дТ~

j 2

)

{

Заметим

теперь, что на L( 2 > мы

имеем для

со(/)

равенство

(3.9). Поэтому

если внести выражение

(3.20)

в равенство

(3.18),

втором интеграле правой части

(3.20) при помощи

(3.9),

полу­

чим

равенство,

которое не будет больше

содержать искомое

a{t)

под особым интегралом. Оно и определяет вместе со вторым

равенством (3.8) искомый вид уравнений на L2h-i(k=l

,

. . . , « ) .

Таким, образом,

будем иметь

То « (*„) - *'о

=

M, {со (t), g (t),

t0],

j

T0<ù{t0)+to'âJtQ)

= M2{a{t),g{t),t0}

на L 2 k - \

{k = 1 , . . . , n),\

' '

где

*a (0

-hgi

( 0 - g t ( 0

T U . J

tfft

{t)(t -

?0)

^2fc-l

iW8{a> (0, g (0, M = - 2Re {t0

K* (*„)} + 2& (f„)

(*„ на

L 2 f c _ ,) .

Совокупность равенств (3.21)

и (3.9) дают для определения

(ù(t)

систему интегральных

уравнений

Фредгольма,

эквивалент­

ную

(в смысле разыскания

решений, удовлетворяющих

условию

Гёльдера) системе (3.8), (3.9).

Рассуждением, вполне аналогичным приведенному в преды­

дущем параграфе,

нетрудно

показать

(см. А. И. Каландия [3])

что, при наших предположениях

относительно гладкости правых

частей соотношений (3.21),

(3.9)

и контура L , любое

(абсолют­

но интегрируемое)

решение

a(t)

этих интегральных

уравнений

есть

непрерывная

функция

на кривой L, удовлетворяющая ус­

ловию Гёльдера и

имеющая

абсолютно

непрерывную

первую

производную. Аналогичным

же образом доказывается

(см. там

же),

что система

уравнений

(3.21),

(3.9)

имеет

единственное

Смешанная задача плоской теории упругости

(когда

на од­

ной части границы задаются внешние усилия, а

на другой —

упругие смещения) изучалась в работах Д. И. Шермана

[4, 3].

') В главе

воспроизведено с некоторыми изменениями содержание статей

А. И. Каландия

[1, 4].

2 R e { - Ѵг Щх (t) - f i|>; (Ol + Vpi' (t)} =

К

(t),

(5.1)

2 Re ( f [cP l (t) + Up: (t) + % {t)]} =

^

на L .

Ai(0

= -

S -

М*)

=

- « Ѵ ,

К =

(5.2)

причем wQ — некоторое частное

решение

уравнения изгиба,

ѵ —

коэффициент

Пуассона.

Функцию CÙ(£), дающую отображение области S на единич­

ный круг плоскости переменного £, зададим

в виде ')

(5.3)

Внесем в

выражения

(5.1)

функцию

t=a(a),

где а

обозна­

чает

аффикс точки единичной окружности

»f и учтем, что

_

іаа'

(g)

Будем иметь

2 Re

{ o V (O)[CÛ (а)

Ф ' (а)

-|- и'

(а)

Y

(а)] -|- Я0со' (а)

Ф' (а)} =

=

М а ) ,

(5.4)

2 Re

іасо' (а)

(<*)]} =

M ° )

на y,

где

Фі (2) = ф ( £ ) ,

r|,,(z) = ф(Е). co'(t) Ф {%) = ф / ( £ )

,co'(Ç)XF (£)

= i | > ' ( ü ,

(5.5)

f i (a) =

I

(0 )1%

[со (o)],

f8

(a) =

| со' (o)|

^

Я2 [co(a)J.

(5.6)

Введем, следуя H. И. Мусхелншвили,

кусочно-голоморфные

(за

исключением

полюсов

в

точках

І =

0,

—

функции

Qi(z),

Q2(z)

следующими

равенствами (ср. с книгой Н. И. Мус­

хелишвили

[1], стр. 492):

£ 2 « '

(£)

й ( і ) ф ' ( 0

+ со' ( £ ) ¥ ( £ )'

+

А,0 ©'(І-)Ф '(С) при

| Ç | < 1 ,

-ІНгЬ^іі)+ЧШ-

<57)

(О ф'

(j) при

|Ç | > 1,

i œ'

ф (g) - g 5

Ф' (g) -

£«>'(£) гр (£) при | £ | <

1,

Q2 = { 5 < о ' ( 0 Ф Ш - ' 0 ( О ф ' ( |

(5.8)

U ' j j ^ g )

при

|£| > 1,

где принято обозначение:

Р(^)=Р(%).

В

функциях

Qi и Q2

граничные условия (5.4)

примут

такой

вид:

Й і ь ( а ) - Й Г ( а ) = / 1 ( с т ) ,

(5.9)

Qjf

(а) -

Qs" (а) = ih (er).

(5.10)

Решая граничные задачи

(5.9) и (5.10), находим

(Н. И. Мус­

хелишвили

[1], § 108)

Qi(t)=Al(i)+Rl&),

Q2(t)=A2(t)+R2(t),

(5.11)

где

2л"г" J

а - £ ' ^ (

Ç ) - 2 l J

7

T

' ( 5 Л

2 )

Щ - ' ^ - ш У - 1 ^ '

(5.13)

4 А. И. Каландня

49