книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Пусть теперь

L h — некоторая

дуга

из L№, имеющая хотя бы

одну из концевых

точек (скажем, qu)

в качестве с-конца,

a L , —

дуга из L<n с одним из концов qh. В силу равенства (2.22)

на L }

имеем

tm(g-^осо(g

=

- ( г — ^ і j

\ _ t o

dt +

+ ( Т ^ Й

f "> (0d l n

f z f • i" î4biI m ß [ / W - A' Со)]) •

(2-47)

Введем

теперь,

следуя

Д. И. Шерману

[4], функцию

p(t),

определенную на всей границе L следующим

образом:

<f(t)

п р и * н а І . < » ,

p

W

=

\ P ( 0

при

t на L - L « ) ;

( 2 - 4 8 )

Р(/")

обозначает

полином

от

подобранный таким

образом,

чтобы

функция

p(t)

была

непрерывной иа L вместе со своими

производными до второго

порядка.

Тогда в силу формул (2.46) — (2.48) первый интеграл

в пра­

вой части выражения

(2.43) примет вид

( 1

V ' 1 f

d t

\ - — \ А '° { П ~ К" { І а )

dt 4-

X ХЩШ) -

' яГ іГ.Äf c (0(/-

-if i . . Rk[t)(t -U,)

a i +

^ ( 1

где

Ao ( g -

J

Л -4-

+ [ l - ? ) l ° t - i

d l n f z f +

I m $ [p ( g - /с ( g i } .

h со ( g -

t'o м д +

г й ^ і

j ? а ^ і ; о т а dt + к ( g =

L

г

Со) ( l - K ) n

i - J

[л

'dt +

I

_L Г

ф о о d t

•_ v« '

і- Г ' ' M O -

''но ^ _

1

,

RkV)(t-tv)

l

2

—

i

ft,/n i

J

•-

*

A ( W

- ' O )

J

i k

Lft

p=l

L p

L

f ^о(0-д'о(^о)

- 1 ,

I

l H- X

f?(o

(/) +

<'to (/)

первого рода и такая,

что F(t)^Ba,

F'(t)<=B* на L . Положим

1

, •

R

(z) = И (г -

a,f

"

ft=i

FM

- R

( Z ) Г F ( t )

d t

L

где z — любая точка, не лежащая

на L .

Тогда предельные значения на L

изнутри

и извне

функции

F(z)

будут удовлетворять условию

Гёльдера: F+(t),

F~(i)E=Br

а предельные значения

производной

F'(z)

будут

принадлежать

классу Я*:

dz I

dt

^~

'

\dz

j

dt

Утверждение относительно функции F+(t),

F~(t)

является

почти

непосредственным

следствием

формул

(2.3)

и

(2.5). Что

Как

видно

из

выражения

(2.37),

Ф 0 ( ^ ) ( = # *

(точнее,

Ф о ( 0 £ = # е ) на

Lk(k—\,...,

п2).

Поэтому

наше

утверждение

относительно второго слагаемого

правой

части уравнения (2.50)

немедленно следует

из формул

(2.5)

и сформулированного вы­

ше предложения. Остается исследовать

интеграл

J { t ° > ~

nt

Л

t - t a

[ni

l

Rk{tl){tl-t)\dL

(2-52)

Б

силу формул (2.3) и

(2.5) имеем

вблизи

qk

1

г

dtA

Ср

,

Ф« (0

на Lft,

ni j

Rk

ССо|

J _

— на L h

(2.53)

<7fc

где c0

— некоторая

постоянная,

ср*(0>

ф**(0

удовлетворяют

условию Гёльдера вблизи qh,

а «о — положительная

действитель­

ная постоянная,

меньшая

1/2. Выражение Vсо (<) +

(0. будучи

функцией класса Я Е

на L, в силу соотношения

(2.23). удовлет­

воряет

условию

Гёльдера

на L h . Отсюда

на

основании тех же

формул

(2.3)

и

(2.5) легко

заключить,

что

J(t)

обращается

в нуль в точке qh и удовлетворяет условию

Гёльдера

вблизи нее.

Положим далее: J{t)=Ji{t)-\-J2(t),

где

ft

p

p

и заметим, что в силу

равенства

(2.23)

функция

\t'a> (t) +

i ' со (t)]

принадлежит

на L h

классу Яе . Тог"а на основании

сказанного выше

относительно

интеграла

вида (,2.51), производ­

ная от

первого

слагаемого

правой части выражения (2.54)

будет принадлежать на L h классу Я*. Утверждение

относитель­

но второго слагаемого выражения (2.54) очевидно.

Теперь нам остается

лишь показать, что выражение

J * ™

S T . J .

it-tn)*

И J « * № - 0 Г

принадлежит

на L h классу Я*, ибо

аналогичное

утверждение

для второго

слагаемого

производной от J2(t)

непосредственно

следует из формулы (2.3), если при этом учесть

второе равенст­

во (2.53).

І / * Й К Т ; ^ Ѵ '

\ ш < . . с о п 1+ 1

ѵ е ь &

К — <lk\

I*- ?fcl

где

ß— любое действительное

число,

такое,

что ß>oso+l/2 . Лег­

ко также убедиться

(Н. И. Мусхелишвили

[2], § 6), что функция

\t—Як\®+eJ*{t)

будет удовлетворять

условию

Гёльдера

вблизи

qh при любом

сколь угодно

малом

е > 0 . С другой стороны, вви­

ду

того, что а 0 < 1 / 2 , числа ß и е

можно

так подобрать,

чтобы

выполнялось

неравенство

ß - ( - e < l , и поэтому / * (^) е:Я*

на L h .

Наше утверждение относительно правой части выражения

(2.50)

полностью

доказано').

Умножая

равенство

(2.50)

на g-(1—х), складывая с

равен­

ством

(2.24)

и принимая

во

внимание

соотношение

(2.49),

получим

* ю Со) +

j ^ т 5 " + К (t0) = M, ( g на L k

,

(2.55)

где Mi (t)

удовлетворяет вблизи qk

условию

Гёльдера,

а

произ­

водная М\ (t) принадлежит

классу

Я*. Кроме того, как нетрудно

заметить

из

предыдущего,

сумма

первых

двух

слагаемых

в равенстве

(2.55)

остается

непрерывной

при переходе

через

точку qh, т. е.

lim

Mx(t)

—

lim

f(t).

мы

Следовательно, если ограничиться

решением класса Я Е

систе­

(2.29), то интегральные соотношения на опертой части

(2.23)

для

')

В случае,

когда

обе точки pk,

qk

являются с-концами д у г н і ft, получим

левой части равенства

(2.50) то

же

самое выражение с той разницей,

что

при суммировании

будут

исключаться

не /г, /,

a k, j , s, и

интегрирование

будет вестись по дуге

Lj +

L s вместо

L - ; при этом

L s

— разомкнутая дуга

3 А. И. Каландия

33

и

(2.24), при наличии

с-конца

у дуги

L h , могут быть

приведены

к

виду (2.55).

qk

ph)

L h из

L

В

случае, когда

(либо

является ô-концом

дуги

i 2 \

преобразовать

равенства

(2.23)

и (2.24) к нужному виду

гораздо

проще. На этот раз L s

—

смежная

с L k дуга,

имеющая

одним из своих концов qk,

будет

свободной частью контура L ,

и потому на ней мы будем

иметь

вместо равенства (2.22)

урав­

нение типа Фредгольма

(2.25) или (2.26). В этом случае рассуж­

дением, вполне аналогичным предыдущему, мы можем

привести

соотношения (2.23)

и (2.24)

к одному равенству вида

- и © (tQ) + В Д ) =M2{U)

на

L h

(Ä = 1,

. . . , я 2 ) ,

(2.56)

где M2(t)

удовлетворяет условию

Гёльдера

вблизи qh,

а

М2 {t)

<в(0 будет

непрерывным

при переходе

через

точку qh. Если же

оба конца L h являются

fr-концами,

то упомянутые свойства функ­

ций M2(t) ,M2(t)

будут

сохраняться целиком

на L h

, a

со(і) бу­

дет непрерывным на обоих концах

(более

подробно см. в статье

А. I I . Каландия [2]) .

Введем, далее, на L новые точки разрыва

следующим обра­

зом.

D2)

Пусть І-і" и L'3 'совокупности всех дуг из

с обоими с- и

6-концами соответственно, /J0 ) ,..

— все остальные дуги L ( 2 )

(т0

— некоторое

целое

число,

іщ~^піг).

Разобьем

каждую

дугу

/ / 0 )

( / = 1 ,

/и0 —ш3 )

некоторой ее внутренней

точкой

ат,+і

на

две части и совокупности этих

частей

с концами

соответственно

ch и Ьк обозначим через Іг 1 ' и Ь23).

Положим

U " = LO + L,( , )

-г L$\

№

= L(3) +'L\3)

+ L 2 3

) .

Тогда в силу изложенного выше решения класса

НІ

системы

(2.29) будет удовлетворять уравнению вида

a(<o)œ(g + ^ f ^ ^ - = M 0 (

g

,

(2.57)

где

( * _ ( ! _ х )

на Lo\

j L (1 +

и) на

L 0 u

r

Mo(t)—некоторая

функция

на

L ,

такая,

что

M0{t)^Hdr

Mo (t) <=#*, причем du

dmcn

а\, ...,

ая, dm,+u

dm<s

исчер­

пывают все точки разрыва

функций MQ(t)

и MQ(t)

соответствен­

но; равенство (2.57) имеет местовсюду

на L за

исключением,

быть может, точек du

• • •,

dm,.

Фо (t) +

t Фо (О + -Фо (0 = 0

н

а

(2.61)

Re I? [-хфо (t) + t cpô (t) +

% (*)] +

I *" N o

(0 -

^

(0 -

-ÎUÔ]*,-] = 0 , 1

(2.62)

R<l? [Фо (0 + ^"ÔTÔ +

) = 0 на Lf c

(й =

г/ +

1,

0-rP/)>

— хф0 (0 + WQ

(t) + Ч'о (0 =

0 на

U

(к = лз + 1,

• • •, /и).

(2.63)

-х<Ро(9 + 4 ( 0

+ ^ Л О + Vfe Re J Г [х Ф о (0 -

*Ф7(0 -

ЫЭД ^ - О

на L h

(fe = m +

l , . . . , м2

- f »3 ).

(2.64)

Подставляя

фо(г) и яро (г) в

формулу

(2.20)

и

принимая во

внимание однородные

условия

(2.61) — (2.64), получим

(вспом­

ним, что х > 1 )

Фо (г) = i e z + ô ,

a p 0 ( z ) = ô b

(2.65)

где е — произвольная действительная постоянная,

а б, ôi — про­

выражения

(2.65)

в какое-либо из условий

(2.63),

(2.64) или

в

первое

условие

(2.62), находим1 ):

е = 0.

После

этого

любое

из

равенств

(2.61), (2.62), как легко видеть, даст

ôi = — б . Но

тогда (Д. И. Шерман

[2]) ш 0 (0 =<°{0 , (0 + Щ°> (0= 0

всюду на L

и, следовательно, уравнения

(2.60) не имеют решения в классеЯ е .

Зафиксировав

в правой

части

равенства

(2.29)

постоянные

Ch{k=l,

. . . , « з ) произвольным

образом,

постараемся за счет под­

бора а Д / = 1 , . . . . И і + Я з ) удовлетворить

условиям

разрешимости

в классе

Нй

системы

(2.29). Эти условия имеют вид (Н. П. Ве-

куа [1], стр. 144)

f [ F ( 0 + ß № c f t ) W * !

= 0

(Ä =

1 , . . . , 0 ,

(2.66)

L

где T w ( 0 =

( T i f t ) (Öi T^f e ) (0)вполне

определенные векторы,

причем

число / этих условий определяется при помощи введенного

выше

индекса хо следующим образом (там же, стр. 145):

1=—х0=п1+п3.

(2.67)

') В случае, когда

какое-либо

из L ' 1 ' ,

отсутствует, мы

будем

пред­

полагать, что

Z/ 2 ' не является

совокупностью

параллельных

между

собой

прямолинейных

отрезков.

Кроме

того,

когда

отсутствует,

надлежит

s

последующие рассуждения внести

некоторые несущественные

изменения

{см. замечание 3 в работе А. И. Каландия

[2] ).

ПІ +

ГІ,

2

Vft,/«/=/fe

(k = I , . . . , % + ns),

(2.68)

где

Yft.j — определенные

действительные

постоянные, не

завися­

щие

от F(t)

и С„, a

fk—также

действительные

постоянные, за­

висящие

от последних

и обращающиеся в

нуль

при

/•*(/) = 0 ,

С „ = 0 ( s = l ,

я 3 ) . Соотношения

(2.68) дают для определения

постоянных

а,} систему

линейных алгебраических

уравнений.

Докажем, что определитель системы (2.68) отличен от нуля.

Пусть а'0 ' —некоторое

решение

однородной

системы,

соответ­

ствующей (2.68).

Очевидно, что система интегральных уравнений, получаю­

щаяся из (2.29)

при F(t) = 0 , C s

= 0 , щ

= af> {s=

I , . . . ,

n3;

j=

= 1 , . . . , щ-\-п3),

будет

иметь

определенное

решение

(<а{0), Ю|0 ) )

класса Я * . Для

потенциалов

<po(z), аро (^),

отвечающих

этому

решению, будем иметь на границе области

Фо (*) +

*ФІ (*) +

% (0 =

0 на К » ,

(2.69)

Re

lï[-K%(t)

+ twD(t)

+ %(t)]

+

+

11" [ифо С) -

'ф'„ W -

Фо ( ' ) ] d s )

= a j J(0).

(2.70)

s.

Rett' [ф0

(t) + 7 Ф

; (t)/0+ % (t)}} =

0 на Lf e

(/e =

r,

+

1,

«Фо(0 +

< Ф ^ + Ы О = с # | „ _ я >

, - - ^ „ ^ , на

Lfe

(Ä =

" 2 +

1 :

, т),

'(2.71)

ифо (0 +

ІЩГ)

+ Ыі)

-!- vftRe

J ?' [хфо (0

-

ko

— tw0 {t) —1|)0 (i)] ds =

A* а і ° ] Л і _ Л г

+

vkccj

m

L k

(k = m + P

j

+

+

1,

...,m

+ pj+n};

j = 1, . . . , n).

(2.72)

Применяя к функциям фо(£), T|'O(Z )

тождество

(2.20)

и

ис­

пользуя

предыдущие

условия,

находим

по-прежнему: ф0 (г) =

= іег+о, і];0 (г)=оі. После этого, рассуждая

как выше,

получим

Фо(г)=0, ipo(z)=0 в области 5, что в

силу тех

же

равенств

(2.70) — (2.72)

и

условия А*=7^=0 означает, что

в с е а ' . 0

) = 0

( / =

= 1 , . . . ,

П і + ' г з ) . a это доказывает

наше утверждение.

Из предыдущего следует, что если в правой

части равенства

(2.29) постоянные а;

заменим

их

значениями

из

соотношения

мую в классе Н* при любом выборе значений

Ch.

Пусть

(CÙI, CD2 )—решение

(класса

Я Ё )

этой

системы1 ),

a cp(z), г|)(2)—соответствующие голоморфные функции. Тогда,

непрерывная

в S-\-L

вместе

со

своими

первыми

производными

функция

и{х,

у),

определяемая

формулой

и (х,

у)

= z ср (г) +

z ф~(2)

+

% (г) H- %(zj,

будет удовлетворять граничным

условиям

)

на

L<>,\

~ °

на

І " \

G (и) =

-G(w0) ѵ

d a

0

2

2

G (ы) =

—- G (а>„),

Я (и) =

— Я (а>0)

на

LW,

(2.73)

гг =

— Й'О - f ѵ,-

на

(/ = ЛГ +

1, . . . ,

N

+

па),

где

у,- — некоторые

(действительные)

постоянные,

a

L l Y + i , . . .

. . . ,

Ljv+ n , — разомкнутые дуги,

которые останутся из L после

удаления

всех дуг совокупности Ь<-3К

Постараемся

теперь

постоянные

С,, подобрать

так, чтобы

ворялись с точностью до одного

H того

же слагаемого

на

всех

LdJ=N+l

, . . . , Л Ч - п . 3

) .

требование (f„+l

=

...=

Нетрудно

убедиться,

что последнее

'.= Yw+n,) вместе

с

условием

(2.8)

дает

для определения Ch

си­

стему линейных уравнений вида

2

h.iCj

=fk

(£

=

1,

. . . , / i 8 ) ,

(2.74)

J=I

F(t),

где

ß f t ) J — определенные

постоянные,

не

зависящие

от

a fh

— также

постоянные,

зависящие

от

F(t)

и

обращающиеся

в нуль при

F(t)=0.

Докажем, что система (2.74) однозначно определяет посто­

янные Ch. Пусть

Cfc0) —некоторое решение однородной

системы,

a q>o(z), 4|)o(z)—голоморфные в

5

функции,

определяемые

по­

средством решения

(класса

Я Е )

интегральных

уравнений (2.29)

при

F(t)=0,

Ch=

СІ0)

( & = 1, . . . ,

n3 ).Тогда

ангармоническая

функция

Xo(z) + 7.0 (z),

u0(x,y)=z

фо (z) + z фо (z) +

где

%o(z)—некоторая

первообразная

функция

ipo(z), — будет

удовлетворять граничным

условиям

0 на

L<",

G (н0 ) -

0

на L(2>,

G (u0 ) =

Я (u„) = 0 на

L(3),

(2.75)

и0 = у на

Lfe

(А =

N -}- 1,

. . . , N - f /г3 ),

причем 7 — некоторая (действительная)

постоянная.

')

Очевидно,

что

функция

(ù(t) = coi(/) +ім 2 (0

будет

зависеть

линейным

образом от неопределенных постоянных Ck

(k =

1,

. . . ,

п3).

Применяя

формулы

(2.19а),

(2.20) к функции и0—у

и ис­

пользуя равенства (2.75), получим

сро(г) = t s 2 + ô ,

ipo(z)=ôi.

Но в силу

условия

(2.8)

е =

0,

следовательно,

cp 0 (z)=ô п

Ф О ( 2 ) = О І .

wo{z),

Согласно

определению функции

яро (г),

на свободной

части границы L будем иметь

[— ж Р о (t) + tw0 (t) - I - гр0 (*)] =

tCfc_„3

на Lfe

(/г =

л 2

+ 1, . . . ,

п, + /г3)

Отсюда вытекает,

что

все

С$0 ) = 0

( / = 1 , . . . , п3 )

и

наше

предложение

доказано.

Если теперь в правую часть системы (2.29) внести решение

системы (2.74) и при помощи единственного

решения

(класса

приятный случай, когда одна часть

края

пластинки заделана,

а остальная

оперта.

Итак, пусть контур пластинки L состоит

из 2п дуг L h с кон­

цами ак и ah+i

( & = 1 , . . . , 2/г; a 2 n + i =

«i). Положим

№ = 2 ^ - 1 ,

L(2> = É L

2 U .

/г=і

ft=i

Будем считать, что на части L ( I ) пластинка оперта,

а на L(2 >

заделана.

Согласно формулам

(2.9) — (2.11)

мы будем иметь

следую­

щие граничные

условия:

Re{(l + У) Ф' (0 + j (1 -

ѵ)[ІуЩ

+ ѴШ

е - т } =

=

-LG(W»),

(3.1)

Re (?

[cp (0 - f ttfjt) +

W)})

=

- j

^ r н а L ( 1 ) '

(3-2)