книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости
.pdfсоответственно совокупности L ( l ) |
, L ( 2 ) , L ( 3 ) ; ясно, |
что П і + п 2 - г - п 3 = |
|||||||
= N. Обозначим |
через с и . . . , |
cm , |
все |
общие |
концы |
совокупно |
|||
стей дуг L ( , ) |
и L ( 2 |
) , через bi,..., |
|
Ь,Пі —общие концы |
совокупно |
||||
стей L < 2 ) |
и L < 3 ) , а через d\,... |
,ат% |
— общие концы совокупностей |
||||||
L ( I ) и L ( 3 |
) . |
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
mi = |
rti+/7.2—п3, т 2 = / г 2 + п 3 |
— « ь |
т3=п3-\-Пі—п2. |
(2.6) |
|||||
Концевые точки bh, съ dh будем в дальнейшем называть соот ветственно Ь, с, ä концами соответствующих разомкнутых дуг.
Будем считать, что часть L ( 1 ) границы L закреплена, L ( 2 ) опер
та, а
L ( 3 )
свободна,.
Задача о равновесии такой пластинки согласно сказанному в § 1 приводит к определению регулярной в области 5 ангармо
нической функции и(х, у) |
по граничным |
условиям |
|
||||||
и = |
—w,°' |
dnu |
. |
- |
dn |
на |
L |
|
|
|
|
|
d w ° |
m |
(2.7) |
||||
|
|
G (и) = |
- G (ш0) |
на L ( 2 ) , |
|||||
|
|
|
|||||||
G (a) = |
—G К ) , |
H(u) |
|
= |
-H |
К ) |
на |
L ( 3 ) . |
|
Предполагается, что предыдущие граничные условия выпол няются всюду на соответствующих разомкнутых дугах, за исклю чением, быть может, концевых точек ah. От искомого решения
и(х, |
у) будем требовать, чтобы |
его частные производные |
перво |
||
го |
порядка |
были непрерывны |
в 5 + L . |
Предполагается |
также, |
что |
частное |
решение w{x,y) уравнения |
изгиба (1.19) имеет не |
||
прерывные частные производные третьего порядка в замкнутой области.
Функцию и(х, у) представим согласно формуле (1.21) через
произвольные |
голоморфные |
функции |
ср и % и подчиним |
первую |
|||||||||||
из них условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I m q / ( 0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
(2.8) |
|||||
Тогда граничные условия нашей задачи |
(2.7) |
на основании |
|||||||||||||
формул (1.7), |
(1.25) |
и |
(1.27) |
в |
потенциалах |
ср и ір примут вид |
|||||||||
|
q>(t) |
+ |
t |
V |
i ï |
+ |
W |
) |
= |
ï(t) |
на |
L ( 1 ) , |
|
(2.9) |
|
Re [ I [ - иф (t) |
+ |
WÏÏ |
+ |
|
W \ } |
= |
|
|
G H ) . |
(2-1 |
°) |
||||
Re}?[v(t) |
+ |
tVw |
|
+ |
WU)\} = - т ж ° |
и а |
L < 2 > ' |
( 2 Л 1 |
) |
||||||
|
±[-Ху(і) |
|
+ іУТ)+Ш] |
|
= |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
G (o»o) + |
i I И |
Ю |
|
+ i |
|
L < 3 > - |
(2 -1 2) |
|||||
|
2 ( l - v ) |
d s |
C H a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь С — постоянная |
интегрирования, |
|
|||||
/со |
— |
2 |
дх |
dw0 |
на L ( I ) , |
|
|
-г l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t' |
dsdt_ = eІѲ- |
|
з -:- V |
|
|
4>(2) = X'(Z), |
|
к — |
|
||||
Интеграл в правой части равенства (2.12) |
следует брать |
отдель |
|||||
но на каждой из разомкнутых дуг совокупности L ( 3 ) от некото |
|||||||
рой ее фиксированной |
точки. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, рассматриваемая задача об упругом |
равнове |
||||||
сии изгибаемой пластинки сведена к задаче теории аналитиче ских функций (2.9) — (2.12). Чтобы свести в свою очередь эту последнюю к интегральным уравнениям нормального типа, не обходимо предварительно проинтегрировать равенства (2.10) и (2.12) вдоль каждой из разомкнутых дуг совокупностей L ( 2 ) и L (3)
соответственно. Во избежание появления лишних постоян
ных интегрирования поступим следующим образом. |
|
||
Пусть А , . . . , |
/„ — все разомкнутые |
дуги, которые останутся |
|
после удаления из контура L совокупности L ( 1 ) и всех дуг сово |
|||
купности L ( 3 ) , которые имеют с обеих |
сторон rf-концы; |
каждая |
|
дуга tj(j=\, |
п; /г^Пі) будет представлять собой, |
вообще |
|
говоря, совокупность дуг из L < 2 ) и L ( 3 ) - Все разомкнутые дуги из
L(2) и £(3)( содержащиеся |
в |
|
обозначим |
соответственно |
через |
||||||||||
^гу+ь • • • , Lr.+\. |
и L m + |
P |
+i,. . . , |
Lm+p.+np |
при |
этом |
|
|
|
||||||
|
|
m — ttj -г th — «> |
|
|
rl = |
Pi — 0, |
|
|
(2.13) |
||||||
|
|
П = Pi + • • • + P/-i> |
|
Pi =•- л і -г • • • - f |
|
|
|
||||||||
ла |
Очевидно, что pft, srk — некоторые целые неотрицательные чис |
||||||||||||||
такие, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
р і + . . . + р „ = / г 2 , я і + • • • + л 7 1 = « з — Щ + п . |
|
|
|||||||||||
|
Пусть далее Ціг+и |
...,Ь„г+Пі_п |
|
—все разомкнутые дуги из |
|||||||||||
L < 3 |
) |
с обоими |
of-конца ми. Наконец, |
начальные точки дуг 4 |
L h |
||||||||||
обозначим через ajQ, ah0, |
а через sj0, |
sk0 |
( / = 1 , . . . |
. , и; & = / г 2 + 1 , |
• • • |
||||||||||
• • |
•. іЦ-\-іц) — соответствующие |
дуговые абсциссы. Интегрируя по |
|||||||||||||
s и t |
выражения |
(2.10) |
и (2.12) |
вдоль соответствующих разомк |
|||||||||||
нутых дуг, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Re |
[F |
[ - хф (0 + |
tVJt) |
+ |
Щі)] |
+ |
/ ?' |
[х Ф |
(t) |
- |
ttfjt) |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s/o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— \p (t)] ds = hY (t) |
- j - |
ah |
на Lk(k |
= rf+l, |
..., |
г,- + p,-; |
|||||||
|
|
|
|
j = l , . . . , n ) , |
|
|
|
|
|
(2.14) |
|||||
21
«Ф (t) + fФ' (/) + я|) (t) = f (t) -!- i C k - a t t + a f t + „ _ „ , +
|
- f і а / г + , ( і _ „ 2 |
на |
Lfc (й = /г2 + |
1, .. •, /га), |
(2.15) |
|||||||
- хф (0 + |
* Ф ' (f) |
+ і|> (t) = |
/ |
(О |
+ |
|
|
iCk-nJ |
aft + |
ißfe |
||
|
|
|
||||||||||
здесь |
|
|
на |
L/г (/г = |
/п + 1, |
. . « 2 |
+ « 3 ) ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
,f G (ьу0 ) ds |
на |
lj, |
|
|
|
||||
|
2(1 |
- V ) |
|
|
|
|||||||
/(О |
|
1 |
I о ( ш 0 ) + г |
I |
S(Otfsx |
л |
(2.16) |
|||||
2 ( 1 - ѵ ) в |
|
|||||||||||
|
|
|
АО L |
|
|
|
|
S/;0 |
|
|
|
|
|
|
на |
L k (k = я 2 4- |
1, . . . , я 3 |
4- rty), |
|
||||||
a Cs , a;, afe, ßfe — неопределенные действительные постоянные. Заметим, что не все из этих постоянных будут, вообще гово
ря, произвольными. В самом деле, нетрудно усмотреть, что за исключением того случая, когда 1\,... , /„ представляют собой совокупность всех опертых дуг (в этом случае ш = я 2 4 - Я з ) , одну из постоянных ak, ßft всегда можно выразить через остальные (к—/«4-1, . . . , Л 2 + Л 3 ) . А именно,
Щ + t'ßft = %кССк+и1-п2 4- PkCk-m 4- vftay- 4- Ли 4-
4- ѵЕ Re J ?' [ - у.ф (0 + / ф т ( ^ + ^ W ] ds LftO
(/г = / я - j - pi + l, .. ., m 4- /?/ 4- яу ; / = 1, .. ., /г)- (2.17)
Здесь ак+Пі—п:, Сь—„а> &> — постоянные, содержащиеся в правых частях равенства (2.14), (2.15), Kh, р,,,, ѵЛ — некоторые постоян ные, зависящие лишь от положения точек ам; Lho обозначает не которую разомкнутую часть контура L и
h k |
= |
2{\-v) ^ °(wo)ds |
{k = m+ |
I , . . . , я 2 |
+ я 3 |
; / = = ! , . . . , я ) |
|
|
|
ко |
|
|
|
|
(2.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, кроме того, что все постоянные %h |
отличны от нуля, |
|||||
а |
ѵ4 |
— действительная или чисто |
мнимая |
постоянная в |
зависи |
||
мости от того, будет |
Im К отличным от нуля или равным нулю |
||||||
(k=m+\,Я2+Я3). |
|
|
|
|
|
||
|
Из предыдущего |
следует, что правые |
части |
равенств |
(2.14), |
||
(2.15) содержат всего 2я 3 +Яі произвольных действительных постоянных, которые должны быть определены в ходе решения
задачи. Эти постоянные суть a,-, Ch ( / = 1 , . . . , Яі4-'г з; k—\, |
... |
. . . , я 3 ) . |
|
22
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к опреде лению двух голоморфных в 5 функций ф(г), i|)(z), удовлетво ряющих на границе области условиям (2.9), (2.11), (2.14), (2.15), причем под ak + фк в правой части второго равенства (2.15) следует подразумевать выражения (2.17).
Выведем теперь одну интегральную формулу, которой будем
пользоваться ниже. |
|
|
|
|
|
и(х, у), |
|
Заметим, что для любой бигармонической функции |
|
||||||
регулярной в достаточной степени в S-f-L, справедливо |
равенст |
||||||
во (см. например, 3. И. Халилов |
[ 1 ] ) . |
|
|
|
|||
\\uH(u)-%±G{u)\ds |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
- J j {v (Д«)2 |
+ |
(1 - v) [uL + u% + 2u%]} dxdy, |
(2.19) |
|||
где H и |
G — введенные |
выше |
дифференциальные операторы. |
||||
Если под и(х, у) разуметь здесь |
правую часть |
формулы |
(1.21), |
||||
где Ц)(г), %(z) —произвольные голоморфные в 5 |
функции, удов |
||||||
летворяющие достаточным условиям гладкости в S + L , |
и учесть, |
||||||
что |
|
|
|
|
|
• |
• |
L<\H(u)ds = 0 ,
то, как легко видеть, левой части равенства (2.19) можно при дать вид
иН (и) -~G (u)lds = 2 (1 - v) Im f ЩГ) + Щ' (t) +
J
L
|
|
|
|
+ *Ф (Ol |
гі[-иф(0 - f tVT)+W)}- |
(2.19a) |
|||
Далее, из той же формулы (1.21) после элементарных вы |
|||||||||
числений |
находим |
|
|
|
|
|
|
||
f Z ^ ; |
( д " ) 2 |
+ ихх |
+ Щу + 2<Лу = |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= 8 (2 (х - |
1) [Re ер' (г)]2 |
- f |гФ " (г) + |
я]/ (г)|2 }. |
||
На основании трех предыдущих равенств выводим искомую |
|||||||||
формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im f |
[W) |
+ V |
(t) |
-]- ip (t)] |
d [ХФ (t) - t^ïtj-W)] |
= |
|
||
|
= 4 | Л 2 ( х - 1 ) [ К е ф ' ( г ) ] 3 |
+ |
1іф"(2)+'Ф'(г)|2 ] <*xdy, |
(2.20) |
|||||
справедливую |
для |
любой |
пары |
голоморфных функций ф(г), |
|||||
ty{z), |
регулярных |
в достаточной |
степени в |
замкнутой |
области. |
||||
23
|
3°. П р и в е д е н и е |
к и н т е г р а л ь н ы м |
у р а в н е н и я м. |
||||||||||||||||
Функции ф(г) и ap(z) будем |
искать в виде |
(Д. И.: Шерман [1]) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
] |
с а |
(t) |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ' W |
|
2лі J |
t — z |
^2пі) |
t—z |
|
2лі |
J (/— z) 2 ' |
|
||||||||
где |
©(0 = ai( 0 + Ш 2 ( 0 — и с к о м а я |
функция |
точки |
контура L, |
|||||||||||||||
непрерывная |
в |
смысле |
Гёльдера |
на L. Интегралы как по полно |
|||||||||||||||
му контуру, так и по его некоторой части |
будем брать |
в поло |
|||||||||||||||||
жительном направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Подставим граничные значения функций ф(г), q>'(z), ip(z), |
||||||||||||||||||
определяемых предыдущими |
формулами, в условия |
(2.9), |
(2.11), |
||||||||||||||||
(2.14), (2.15).. Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 — л |
|
|
|
j T ^ f ' |
+ |
К (*„) = |
/ Ю |
на |
L<'\ |
|
(2.22) |
||||||||
—5 |
(0 Со) + |
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
[^осо (t0) + |
ha |
( g ] |
- |
Re |/o/C ( g |
+ |
,f t" [x(o (/) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
s /o |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Д' (01 & |
I - |
- |
~ |
[h, (t,) + a,], |
(2.23) |
||||
l - v . r 7 . . . . , / — Г Г Ц |
• |
1 J |
- * r ^ W - ^ W ^ , |
|
|
||||||||||||||
- 2 ~ |
L^oCû ( g |
" f ^оы (if0)J |
- i - - ^гр \ |
|
— t |
|
|
d t - r |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
< i _ ^ £ j& ( i ) d l n _ y _ o 2 R e |
|7од- ( g ) = / î 2 ( g > |
|||||||||||||
|
|
|
|
на |
Lf e |
|
(k^rj-'r- |
|
1, . ...ry + p/; |
y = 1, .. |
|
(2.24) |
|||||||
— |
xuj |
( g |
+ A" ( g |
= |
/ (t0) |
+ |
iCk-nJo |
+ |
a k + l l - j, t |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
- f i a f t + W l _ „ . |
|
на Lfe |
(Ä = |
/în -f- 1, . . . , m), |
(2.25) |
|||||||||
- |
хщ ( g |
+ |
(*0) - I - vf t Re |
j ' F" [x(o (0 - |
Д" (01 rfs= / ( g |
+ |
|
||||||||||||
|
- f |
hk + |
(iV0 |
+ |
Ufc) Сл _„г + Я.й а6 + „,_„, + |
Vfcocy, |
|
на Lf e |
(& = |
m + |
|||||||||
|
|
|
|
|
+ |
/>/ + |
1, .. ., m + |
р / + n / |
; |
j=l,...,n), |
|
(2.26) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я ( g = è |
j о, w d m ^ |
- 2 - L j |
|
|
d |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
24
Несобственные интегралы, |
содержащиеся |
в правых |
частях ра |
||
венств (2.22), (2.24), следует понимать в смысле главного |
значе |
||||
ния по Коши. |
|
|
|
|
|
Совокупность |
равенств |
(2.22) — (2.26) |
представляет |
собой |
|
относительно (ùi(i) |
и и 2 (/) |
систему (действительную) |
сингуляр |
||
ных интегральных |
уравнений с разрывными коэффициентами. |
||||
Правая часть этой системы содержит, помимо известных функ ций, неопределенные постоянные а,- и Ch.
Умножая |
равенство |
(2.23) |
на х—1 и складывая с равенст |
||
вом |
(2.24), получим |
|
|
|
|
|
?„а (/) - |
/0а> (/) |
U_ |
СО(Odin |
|
2л і |
/-/„ |
1 1 2лі |
|||
I |
|
|
L |
|
t~tB |
|
|
|
|
||
|
+ Re J l UK (/.) + |
|
|
i - ^ |
|
|
|
|
( |
T |
fi"lK(ù(t)-K(t)]ds\ |
'/о
где
Разделяя действительные и мнимые части в равенствах (2.22), (2.25) и (2.26) и используя матричные обозначения, мы можем записать эту систему интегральных уравнений в виде одного равенства следующим образом:
|
A ( g Q ( g + |
j |
Ш% |
+ M(tQ) = F (t0) + ß ( g , (2.29) |
|||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
где Q=(coi, CÙ2 )—искомый вектор |
(одноколонная |
матрица), |
А, |
||||||||
В — известные матрицы, |
ß = ( ß b |
ß2 ) —вектор, компоненты кото |
|||||||||
рого содержат |
неопределенные |
постоянные; |
более |
подробно: |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
о |
1 |
|
|
|
А = |
|
|
|
В |
|
і (1 + |
«)| |
на L ( , ) |
, |
||
|
|
|
|
|
|||||||
• |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
т с - |
•X) |
|
|
|
|
|
|
|||
А = |
. |
0 |
0 |
|
В |
|
i sin •& |
І COS 'Ö' |
|
на L<2 |
\ |
cos •& |
sin ft |
|
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А = |
— |
X |
0 |
|
В : |
|
0 |
0 |
|
на L ( 3 ) |
, |
0 |
— к |
|
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.30) |
|
ßi (О + |
i'ß2 (0 = 0 |
на L ( 1 ) , |
|
|
|
|
|
|
|||
ß1(o + /ß2(o = 4-Fr ^-i - ay на |
L A (/г =/-г і- 1, . . . , Гу-fpy), |
|
|||||||||
25
ßi (t) + |
jß3 |
(0 = |
ick-„tt |
aft. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
на Lf c (/e = |
n 2 |
-1-1 |
tn), |
|
ßi(*) + |
ißa |
(*) = |
(*' + Ы |
cf c _ |
|
|
|
|
||
на |
Lf t (k =m |
+ pi+ |
1, .. ,,m + |
Р/ -г л/; / = 1, .. |
||||||
M=(Mi, |
M2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.31) |
обозначает |
вектор, компоненты |
которого — инте |
||||||||
гральные |
операторы |
типа Фредгольма, а F= |
(Fu Fz) |
—известный |
||||||
вектор, компоненты |
которого выражаются |
исключительно через |
||||||||
частное решение wQ |
и обращаются в нуль при wQs=Q. Нетрудно |
|||||||||
также выписать |
явные выражения компонент M, F. Обозначим |
|||||||||
|
|
S*=A+B, |
D*=:A- -В, |
g=S*-lD*. |
|
|||||
Из выражений |
(2.30) |
имеем |
|
|
|
|
||||
g |
|
|
|
|
2-л |
па L(О |
|
|
||
^ I о |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) |
- 5 j ( * 4 - D |
|
|
|
(2.32) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
cos 2fr |
sin2'& |
на L1 |
|
0 |
на |
L(3) |
||||
sin 2ft |
|
• cos 2d |
|
1 |
||||||
Как легко |
убедиться, det 5*=^= 0, detD*^ 0 |
|
) |
|||||||
всюду на L, в силу |
||||||||||
чего к системе (2.29) возможно применить существующую тео рию систем сингулярных интегральных уравнений с разрывными
коэффициентами (Н. П. Векуа [1]) . |
|
|
Для применения этой теории |
требуется |
определить корни |
уравнения ( £ 0 — единичная матрица) |
|
|
det {g-^ (t+o)g(t-o) |
- а д |
- 0 |
в точках разрыва коэффициентов интегральных уравнений. Тако выми в нашем случае являются точки смены граничных усло вий— ah(k=l N). Из формулы (2.32) после элементарных вычислений получаем
det {g-1 |
(bk |
+0)g (bk |
- 0 ) - ВД = |
A* - |
1, |
|
\ |
|||||
det { g - 1 |
(с,- + 0)g |
(с/ - |
0) - |
E0X} = V - |
1, |
(2.33) |
||||||
|
|
(ds |
+ 0) g (ds |
|
|
|
|
|
{Jr^ |
|||
det ( g - 1 |
- |
0) - |
ВД |
- |
Г- + |
Ь + 1 |
||||||
|
(k = |
l, |
m2; |
/ = 1 , . • •, іщ\ s = |
1, |
. . . , m3 ). |
||||||
Вычисляя |
теперь |
по |
известной |
формуле |
(H. П. Векуа [1], |
|||||||
формула |
(13.49), стр. 116) |
индекс %0 |
класса Не |
системы интег |
||||||||
ральных |
уравнений (2.29), в силу |
формул |
(2.33) и (2.6) находим |
|||||||||
|
и„ = — Щ |
+ -О (ті + т2) |
|
|
|
(2.34) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
4°. И с с л е д о в а н и е |
и н т е г р а л ь н ы х |
у р а в н е н и й . ІТз- |
||||||||||
вестно, |
что |
решения |
|
сингулярных |
интегральных уравнений |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2G |
|
|
|
|
|
с разрывными коэффициентами представляют собой, вообще говоря, разрывные функции. Имея в виду связь с граничной задачей, мы будем согласно общей теории сингулярных уравне ний разыскивать решения нашей системы в классе Нг—в наи лучшем в смысле гладкости классе из всех возможных, в кото рых следует искать решения таких уравнений. С другой сторо ны, согласно требованиям граничной задачи необходимое нам решение a(t) уравнения (2.29) должно быть более гладким, не жели функции из класса Не в общем случае.
Ниже будет показано, что любое решение класса Я е системы (2.29) удовлетворяет на L условию Гёльдера, а его производная принадлежит классу Н* (на L).
Интегральные соотношения для ш (t) на опертой части конту ра подвергнем предварительно некоторым преобразованиям.
Пусть Q = ( ö , , о>2) —решение класса Нг системы (2.29) при некоторых значениях постоянных ce,-, Ch. Тогда в силу соотноше ния (2.28) мы будем иметь
~l f ? m ( ? r ; ^ f l = Q)(g н а і * ( Ä - 1 , 2 , . . . , и,), (2.35)
4
где Ф (/) обозначает следующее выражение:
Ф С ) = - Ѣ ш 1 ? a { ( ) t Z ^ d t + Ф 0 ( g , ' (2.36)
- ш i ö ( ö d I n f 5 f |
- 2 |
R e |
{^r°K |
{ |
g |
+ |
^тгт^) / ? ' [ X C Ü { t ) |
" |
||||||
- |
К it)] ds + |
2/г* (t0) |
+ |
| ^ | . |
щ |
н |
а |
Lfe |
|
|
|
|
||
|
(é = |
/ y + l , . . . f |
/ y + P / ; |
j |
= |
|
l,...,n) |
|
|
(2.37) |
||||
(значки справа от символа 2 означают, |
что пропускается |
соот |
||||||||||||
ветствующее значение индекса суммирования). |
|
|
|
|
||||||||||
Обращая уравнение (2.35) и принимая во внимание, что |
||||||||||||||
t'(ü(t) — t'(o(t) — почти |
ограниченная |
функция |
на |
L k , получим |
||||||||||
to® {t0) |
- tau (t0) = |
-^— |
J R |
{tK} {{ _ |
^ |
|
H a l f t (ft = |
I , |
... ,n»), |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.38) |
|
причем ph, qk обозначают |
концевые |
точки |
дуги |
L h , а |
под |
Rk(t) |
||||||||
27
понимается граничное |
значение, принимаемое |
радикалом |
У (2 —pft) (z — qk) на L h слева. |
|
|
Если подставить (2.36) |
в формулу (2.38), то среди других |
|
выражений появится выражение вида |
|
|
h.р(g |
* к Ѵ і ) Ѵ г - и jsnL3 — — *} |
Имеем |
< 0 Πl f t ( / e ^ P ) - |
|
Lp
• X
причем z обозначает точку, не расположенную на Lf t и стремя
щуюся слева к точке t0. |
Введя функцию |
|
|
||||
|
|
1 |
Г 7 ' с о ( 0 - А о 7 7 ) d |
|
|||
4 |
' |
2лг J |
|
/ — z |
|
|
|
|
|
Лр |
|
|
|
|
|
и замечая, что отношение y f - À является |
голоморфной |
функци |
|||||
|
|
ей |
(z) |
|
точек дуг L k , L p , с помо |
||
ей в любой области, |
не содержащей |
||||||
щью формулы Коши получим |
|
|
|
|
|||
2яі/гЛ (г) J |
t-z |
|
|
al~2ni |
J |
(/)(/-z) ' |
|
здесь Aft,p обозначает |
совокупность |
двух |
замкнутых |
простых |
|||
контуров Лк, Ар, охватывающих соответственно дуги L h , L v , обхо
дящих их в направлении |
вращения |
часовой |
стрелки и настоль |
|||||||||||
ко |
близким |
к ним, чтобы |
точка z находилась вне каждого из |
|||||||||||
контуров Аіу |
Ар. Принимая во внимание многозначность радика |
|||||||||||||
ла Rk(t), |
а также |
равенство |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Pt |
(0 - |
Р7 (t) = ?Û) (0 - |
*'со(0 на Lp, |
||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l_ |
г |
|
Рр ІО dt |
|
j |
_ , |
t'a{t) |
— t'<ù jt) |
. |
|
|
|||
|
ир ji) at |
|
L |
|
||||||||||
ni |
J |
Rk Jt){t(t) -(tz)- |
z) |
2ni |
J |
RÄk ft (0(<(t) {t - |
z) |
|
' |
|
||||
|
Aft |
P |
|
|
|
|
I p |
|
1 |
Г 1 |
f |
1 |
f Гш (/) -/'(Q (Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lh |
4 |
*-p |
|
|
|
Последнее равенство вместе с (2.40) |
даст |
|
|||||||||||
_1_ |
f _ J |
|J _ |
f* ? m ( i ) — t'älfj} |
dtl |
= |
|
|
|
||||||
ni J |
|
|
|2я і ^ |
|
l — tx |
|
<^i1-z |
— |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Ç t'ait) —i'ajt) |
A t |
1_ |
Г t'ajt) —t'a (t) |
|||
|
|
|
|
|
2jiiRkiz)} |
tp |
|
t -/ z- z |
u |
t — 2л2лii J |
к ь ( , г д г —z; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Подставляя это выражение в (2.39) и переходя к пределу при z-*-.t0 на Lh, получим
|
|
|
|
|
h,p(t0) |
_flfe(^o) |
|
Г l'(ù(l) |
— |
t'(ù(t) dt. |
|
(2.41) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ni |
|
J RR |
— z) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
k(t){t |
|
|
|
|||||||
|
Подстановка |
выражения |
(2.36) |
в |
формулу |
(2.38) |
с учетом |
||||||||||||||
предыдущего равенства |
дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
И\ |
|
+'~7Г\ |
|
V ' |
Я/г Со) |
|
Г T'û) (I) — t'(x> (t) |
|
,, . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p=i |
|
|
|
|
|
(0 С - ' о ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
flfe Со) |
j |
Ф0 |
(Q dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
Пусть Lj—разомкнутая |
|
|
дуга, смежная с L h . |
Имеем |
|
|||||||||||||||
Lp |
|
|
|
(t) |
о |
1 |
|
с |
|
(t)-t'(o(t) |
А4. |
, |
|
|
|
||||||
'1 |
Г t'®V)-t'a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
.fcm |
) |
Rk |
it) (t - |
g |
|
|
|
J я й (о [t - g |
|
a r + |
|
|
|
||||||||
P=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
У |
1 |
Г ^ Т / " , ? |
<Й. |
(2.43) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p=l |
Lp |
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
т(^)—некоторая |
функция |
|
точки |
zf на L , |
принадлежащая |
|||||||||||||||
классу Я*. Очевидно, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Г ( * \ - [ |
|
Г |
T ( Q - T ( f B |
) |
.. |
, X(tg) |
С |
|
dt |
|
|
|
|||||||
|
|
l i |
W - м |
) |
Rb (t) (t - |
|
*„)a i |
"г |
ni |
J ДЛ (0 (< - Л ) " |
K 1 |
||||||||||
|
Представляя |
последний |
|
интеграл в виде |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
Ѵ ' 1 |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||
m I R k (0 |
( < - ' о ) |
|
р=1 |
і р |
Rk |
(') C - ' o ) |
'2Й./Я/ |
J |
ад |
(/-*„) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.45а) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и замечая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(на Lf t ), |
|
(2.45) |
|
|
|
|
-ifcnf |
|
J Rk |
(t)(t-t0) |
|
|
|
|
Rk(t0) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
P=l |
Lp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выражение |
(2.44) |
можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
/ /М - |
1 |
f |
т ( f ) ~ т ( ^п ) |
Л 4- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ni |
J Rk(t) |
|
(t-t0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
T(*„) |
|
î |
|
|
V |
JL f |
|
d t |
|
|
(2.46) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Rk({o) |
|
|
ы |
Jp |
Rk{t) (t -1, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
29