книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

В самом деле, на основании формулы

(40.21)

и последних

двух

соотношений из

(40.19)

мы можем

написать

dv

et* = жр (t)

— Up' {t)

— i|i (t)

— mq>" [t)

+

- i - 2iЩ-і{к-\-\)ІАт

q/ (t)

(t =

Re'»).

Предыдущее

равенство

позволяет

записать

условия

(45.2)

и (45.3) в следующей

эквивалентной

форме:

иф (г) — Up' (t) -

яР (t) — imp" (t) +

.дН

i (« +

1) t

Im tp'(/)

= /(/),

Ы-щ-

(45.5)

где

/ (t)

=

2p \g (t) -

tg> (t)] e">

(t =

Re'8 ).

Равенства (45.5) и (45.4) составляют граничные условия

нашей

задачи.

Для

решения

задачи

воспользуемся

рядами1 )

(41.3),

(41.4)

и положим, кроме того, на окружности

со

/ (/) = V Аквш%

2p/i (t) =

2— соakelk0

(a_f t

=

ak).

(45.6)

Тогда для определения коэффициентов ак,

ак, ch{ch—ihh)

мы

получим следующую систему линейных уравнений:

— â"o+

teiKo

=

Ла,

j

r-cQK0

=

2ia0 - (x +

1) (Г -

Г),

j

(45.7)

WcJd

=

2iaD ,

*

+ ~ ^ n) anR~"

- j - Xca+lKn

=

Л_„

(я

>

1),

(45.8)

(x + 1) na„#-<«+» +

X2 c„+ 1 /C„+i =

- 2 і а я + ,

(я >

1)

(45.9)

— anR-»

+ (n—

2)

Г х - 1

— m (я —

l ) R - 2

J a „ _ 2 £ - " + 2

2

-

Xc-j/C» =

A n

( n > l ) .

(45.10)

При нашей записи систем уравнений следует при п=

1 вто­

рой член в левой части соотношения

(45.10)

считать

равным

нулю, а Л_і и /1і в правых частях формул

(45.8)

и

(45.10)

за­

менить соответственно на А - \ +

T'R и А х -г

—— (Г +

Г) /?.

Решая

совместно уравнения (45.8)

и (45.9), находим

(45.11)

і [2и +

(к +

\)

п] а л + ]

-

(x +

l)nÄ_„R -1

( п > 1 ) ,

(45.12)

с «+ і

= •

и

ы

д„ =

(45.13)

Детерминант Д„ и здесь отличен от нуля. В самом деле, на

основании известного

соотношения

ПКП

(X) = I 1Кп+1

(Х) -

Кп-1

(X)]

имеем

Д„ >

[xKRKn+i

-

(и +

1) я/С„]

= 4

[(и -

1) /С,,+ і +

+

(и + 1 ) К " я - і ] > 0

( я > 1 ) .

(45.14)

Коэффициенты а„

определяются теперь,

по найденным зна­

чениям ап

и с„, из соотношения (45.10)

в виде

anR-» = —Аа

+ (я -

2)

— m (а — 1)

- п + 2

- 2 і ^ я - 2 « я

- і )

А,7-і

+Кп

(* +

1)(/г —2) Л ^ + а і ? - 1 —

2і{х +

-т-^Цт-

1

(л — 2 ) l a „ _ i

Д,7І

( л > 3 ) .

(45.15)

2

Неизвестные

ао,

Со, Ci определяются из системы (45.7), a Oj

и а2—непосредственно

из уравнений (4510)

после того, как бу­

дут найдены Со и С\.

И здесь, на основании

асимптотических формул для функции

К п ,

когда

индекс п

велик,

нетрудно убедиться, что использован­

(45.7) — (45.10),

абсолютно и равномерно

сходятся на окруж­

ности, если задаваемые на ней функции g

и Іг достаточно

глад­

кие. Задача, таким образом, решена.

П р и м е р ы .

В качестве примера рассмотрим случай,

когда

нием точек обвода отверстия.

Граничные

условия имеют вид

T r tf=0,

vr—Vo,

c ù = 0

на

L,

(45.16)

где VQ — заданная постоянная.

Кроме

того,

Г = Г ' = Х = К = 0 .

Легко убедиться, что в рассматриваемом

случае все коэффи­

циенты Ah, ah, кроме Ai,

равны нулю, и

Ф (г) = 0,

ф (z) = -

2LIÜ0

-§-, Я (*, у)=0

при

|z| > #.

(45.17)

Следовательно, в данном случае моментные

напряжения

в

среде

возникать

не

будут.

В качестве другого примера рассмотрим случаи,

когда

•Xrt=vr=(ù

— 0

на L,

(45-18)

а напряженное

состояние

на бесконечности определяется

задан­

ными постоянными Г и Г".

В этом случае Ak=ak=0

при всех

/г(/г=0, ± 1 , ± 2 , . . . ) , и в

системе

(45.7) — (45.10)

останется всего

пять

неизвестных:

а ь

ûi> а3,

с0

и с2. Для них мы будем иметь

а , =

ЬШТ,

а[ = ^

(Г + Г) Я» +

( * + ! ) / С і

( Г -

Г) /?,

х - 1

2mR-*)xK2Ri+

(к +

l)K3R3

I I

A i '

Сп = ( и - г - 1 ) ( Г - Г )

с.

(x + 1)Г'

Ах

Зх + 1 ^ - ( x + l ) / ^ - ' .

(45.19)

1 Зх + 1

0 ; =

^ (

Г + Г)Я 2 , a3 =

^=^R*Y'.

(45.20)

с 0 = с 2 = 0 .

Эти коэффициенты дают решение задачи Ф ( г ) , \\}(z)

в клас­

сическом случае:

ф(2) = Г2 + ^ -

а,

а,

ф(2) = Г'2 -1-4

+ 4

(45.21)

(Я (X, у)

= 0) при \г\ > R

где а, an,

ßn— постоянные, N — натуральное число, а е — малый

числовой

параметр 0 < е < 1 , характеризующий

отклонение за­

данного

отверстия от кругового.

Тогда

функция

где

z = f f l ( Ê ) = a [ £ + e f ( Ç ) ] ,

(46.2)

верстия на внешность

единичного

круга плоскости

переменного

С =

£+/г), при условии

1 + е П £ ) = ^ 0

при

| £ | ^ 1 .

(46.3)

Мы

будем считать, что условие (46.3)

выполнено.

В граничных условиях первой основной

задачи (40.35) будем

на

этот раз вместо ср, яр, Я писать соответственно

срі, ярь # і и

введем обозначения

4

ф ( £ ) = ф і ( 2 ) = ф і [<û(Ç)],_i|ja)=i|)i_(z)=i|)1 [ с а д ) ] ,

Ф (£) = ФІ (г)

=

Я (£, £) =

(z, z) = Я х [to

со (С)],

(46.4)

где функция Ö ( L ) задается равенством (46.2).

После преобразования

переменных

упомянутые

граничные

условия на окружности единичного

радиуса

-у примут такой вид:

©' (а) ср (о) -!- о (G) ф' (с) + «' (о)я|7(г7) - f m Ф' (а) —2іШ

= Р (о),

Re f.

т Ф '

(а) -

2і ^4

= Л(а)

(сг = е'«),

где

(46.5)

F

(а) =

со' (а) [/, (о) - f і/2

(а)],

(46.6)

А(а) =

- К

(а)|/„(<*)•

бесконечно удаленной точки), а Я( £ , Ç) будет

удовлетворять

уравнению

А Я - Я . « | а , ' ( Е ) Р Я = 0 , Д = 1+^

=

4

^

•(46.7)

Потенциалы ф, г|?, Я будем разыскивать

в виде

рядов по сте­

пеням параметра

е:

2І8п ФЯ (£),

ф ( о

= ^ов П Ф И ( а ^ ( С ) = о

(46.8)

внешних усилий и моментов, а на

бесконечности

реализуется

напряженное состояние

оиа)=р,

аі в ) = С = т і , ? = 0,

(46.13)

где р — заданная

постоянная.

Отображающая функция здесь имеет вид

z = со (£) = / ? ( £ + -§-),

£ =

ре'*

( Я > 0 , 0 < е < 1 ) . (46.14)

Окружности

| Ç | = p = l

соответствует эллипс L с центром в

начале координат, полуоси которого равны

a = Ä ( l + s ) ,

6 =

#(1 — в) .

Функции нулевого приближения

сро(£), •фо(Ё). Я 0 нами уже

построены в § 41. Они будут иметь вид такой:

c P o ( t ) - r C - f

-^,

%ß) = T't + -!r

+ -±-,

(46.15)

Я 0 = [/i2 0 ) e2 № + h20)e-v»]

I<2

(XRp),

где

ai - ~ ^ »

о, — 2 1 , ô 3

- - ^ і . Л а

' а ^ Щ , '

причем

(46.16)

1 6 ( 1 - у ) / с ,

16(1 - V )

p

_

16(1—v)/Ct

Если

внести

функции,

определяемые

выражениями

(46.15),

в уравнения (46.12), и принять

во внимание

(46.16), то для Н\

получим, уравнение

AH1-KW-Hl

= -^^K2(XRp)sm4^

(46.17)

На основании

тождества

d2K

(XRp)

i dK

(XRp)

f

я 2 \

d p 2 - - +

y

" d p

-

рта +

-pgj K„ (Щ>) = 0,

(46.18)

легко убедиться, что функция

Я [ 1 ) = § £ 1 / С 2 № ) з і п 4 0

(46.19)

R3

= 1 +

96(1

— ѵ)/Ся

Ri

IR

[X*R2

1

U s

•f 3 "f" Kb

1 -Н 24

4 ( i _ v ) ^ - - l

Г ) _ 1

1 6 ( 1 - V )

Я Д К ,

À2 /?2

1

X2/?2

Я 7 = = 4 ( 1 - ѵ )

,

3 2 ( 1 - у )

• и - ѵ ) # Б / С 6

-

À2 /?2

Яз

n

, 3 2 ( 1 - у )

Rt

В уравнение

(46.12)

для іг — 2 внесем

построенные

выше ну­

левое и первое приближения и воспользуемся формулой

Кп (KRp) =

[Kn+i

( Э Д -

/Сп-i (W?P)1-

(46.23)

Получим

4/?г Гт2 КІ

(IRp)

sin 4ft +

+

8 ( 1 -

XR2RÔ

Г 7 ( 4

(Х#р) (sin 2ft - f sin 6ft)

ѵ) 4

~

XR~RXV

Кг

(kRp)

(sin 2ft +

sin 6ft)

&R0?2

4tf0P2

1 • tf4

ÇkRp)

-

~

K, (MP)

K0 ( В Д І sin 2ft.

(46.24)

+

3

'4

3

Рассмотрим

уравнение

Дсо -

WR3®

=

-^- /С2 р (XÄp) sin 2f/ft.

(46.25)

(/7 =

0,

1, 2,...; q=l,

2,...).

Частное решение этого уравнения будем разыскивать в виде

со =

VP,Q

(р) К 2 Ч (ЯДр) sin Ä/fl-,

(46.26)

где

Vp,q — искомая

функция. Для нее мы будем

иметь

следую­

щее дифференциальное

уравнение второго порядка:

Л

(46.27)

dp

нетрудно доказать, что функция и, определяемая

выражением

(46.26),

стремится к нулю при р - ѵ со со своими

производными

первых

двух порядков.

Из

изложенного следует, что искомое решение уравнения

(46.24)

представимо в виде

Я , = Я20 ) + # ^ ,

(46.33)