книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

мых на границе функций / ь /2 , /о использованные выше ряды для потенциалов ф, i|>, H и их производных будут абсолютно и рав­ номерно сходящимися па окружности \ z \ = R . Для этого доста­ точно, например, считать, что заданные функции имеют произ­

Решение, определяемое коэффициентами (41.16) при задан­ ных значениях постоянных Г и Г', и было указано в работе Миндлина [1] . Переходя в формулах (41.16) к пределу при /->-0 и используя асимптотические формулы для функций Макдональда (см., например, Ватсон [1]), получим (предельные значения коэффициентов обозначаем теми же буквами)

270

известное решение Кирша (Н.' И. Мусхелншвили [1], § 56а):

, w _ t ( , + » f ) . • ( , ) —

§ 42. Примеры

1°. Р а в н о м е р н ы е н о р м а л ь н о е д a в л e н и е, к а с а- т е л ь н о е н а и р я ж е и и е и м о м е н т, и р и л о ж е и и ы е-

и имеют постоянные значения, а напряжения на бесконечности

причем дуга s отсчитывается на обводе L в направлении, остав­ ляющем нашу бесконечную область справа. Поэтому согласноформуле (40.36)

271

На основания формул (42.3) и (42.5) решение нашей задачи

2° С о с р е д о т о ч е н н а я с и л а , п р и л о ж е н н а я в т о ч ­

Фо. "фо — голоморфные функции, регулярные иа бесконечности. Внесем теперь в левые части равенств (41.1), выражающих граничные условия задачи, выражения (42.9), перенесем, извест­ ные величины, содержащие коэффициент А , в правые части и примем во внимание равенство (42.8). Тогда после элементар­ ных вычислений мы придем к следующей задаче для определе­

ния функций фо, фо и Я :

272

все остальные A h и ak равны нулю.

Обращаясь теперь к системе (41.9) — (41-12), легко заметить, что все неизвестные в ней, кроме а2, а2, а4 и с3 , равны нулю. Для этих неизвестных имеем

дельные значения коэффициентов обозначаем теми же буквами)

(42.15) дадут потенциалы cp(z), ty{z), соответствующие сосредо­

и для главного момента уснлпіі, приложенных к обводу отвер­

Уменьшая беспредельно радиус R и требуя при этом, чтобы величина M оставалась постоянной, найдем равенство

274

§ 43. Решение второй основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием

Задача решается вполне аналогично первой основной задаче,

Подстановка указанных рядов в условия задачи (40.37) дает для неизвестных коэффициентов а,„ а,„ сп систему уравнений вида

— а'о + ЛсД,, = Л0 ,

правых частях формул (43.3) и (43.4) следует заменить соот­

Исследование детерминанта Д„ не представляет никакого труда. Для этого достаточно вспомнить известное соотношение (Ватсои [1])

пКп (Х) = f [/(„+! (А') - /(„_, (X)}.

') Во второй основной задаче, как н в классическом случае, следует до­ полнительно задавать компоненты X, Y главного вектора внешних усилий, приложенных к обводу отверстия. Мы полагаем, что А' = У = 0 .

На основании предыдущего будем иметь

Д„ = R~l №RKn+i - (x + 1) пК„] •= j [(к - 1) Kn+i +

с м е щ е н и я и р а в н о м е р н ы й п о в о р о т т о ч е к о б в о д а о т в е р с т и я . Принимается, что напряжения и вращение от­ сутствуют на бесконечности, главный вектор внешних усилий, приложенных к границе, равен нулю, а на обводе отверстия за­

остальные ап согласно формуле (43.8) равны нулю. Окончатель­ но будем иметь

276

Для конечных одпосвязных областей формула (44.6), разу­ меется, всегда справедлива. В нашем случае формула эта на основании выражений (44.3) дает

мы, вставленное в отверстие бесконечной пластинки, спаяно с окружающим материалом вдоль обвода отверстия, а напряжен­ ное состояние в пластинке вызвано заданными на бесконечности усилиями и вращением, характеризуемыми постоянными Г и Г'.. Главный вектор внешних усилий, приложенных к границе среды,, следует считать равным нулю.

Мы будем предполагать, что смещения и поворот точек кон­

') Решение задачи в случае, когда окружающий материал сообщает точ­ кам контура L касательное смещение и поворот вокруг центра ядра, также не представляет затруднений.

277

неизвестными в системе будут Й І Я І , «з.со и с%. Для них мы будем иметь

Главный вектор внешних усилий, приложенных к пластинке со стороны ядра, будет иметь составляющие X и У и потому, как и в п. 2 § 42, функции <p(z) и я|-(г) допускают представ­ ление

278

Решая систему (43.2) — (43.5) при свободных членах, опре­ деляемых выражениями (44.13), найдем

#(A-, </)=2Re [А,/Сі(Ие'*+Аз/С8 (Лг)еа'»],

где коэффициенты даются равенствами (44.14) и (44.12) ' ) .

§ 45. Третья задача для плоскости с круговым отверстием 2 )

Как мы видели выше, бесконечные системы линейных урав­ нений, получаемые при решении первой и второй основных за­ дач моментной теории упругости, решаются в замкнутой форме, а это дает возможность построить решения этих задач в виде степенных рядов. То же самое относится и к третьей задаче моментной теории упругости, которую мы сейчас рассмотрим.

Граничные условия этой задачи (40.39) в рассматриваемом случае имеют вид

На основании представлений (40.19), (40.21) и (40.27) условия

В нашем случае, когда область ограничена окружностью, представляется возможным исключить из условий (45.2), (45.3)

279