книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Глава пятая

О ПЛОСКИХ ЗАДАЧА Х НЕСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ

мируемого континуума необходимо наряду с обычными напря­

Наличие моментных напряжений предполагает несимметрич­ ность тензора (обычного) напряжения и приводит к рассмотре­ нию градиентов деформации высоких порядков. В случае плос­ кой деформации изотропного тела 1 ) появляется одна дополни­ тельная упругая постоянная, имеющая размерность длины и свя­ зывающая моменты с вызванными ими искривлениями.

Определяющие уравнения и граничные условия, соответст­ вующие тому или иному состоянию равновесия, имеют более сложный вид по сравнению с классическим случаем. Число гра­ ничных условий (геометрических, статических и смешанных), необходимых для определения упругого равновесия тела, равно трем. Число возможных комбинаций задания этих условий зна­ чительно больше числа тех же комбинаций в классической уп­ ругости.

Интерес к теории моментных напряжений значительно возрос за последнее время и различные аспекты ее стали предметом изучения многих авторов2 ). Основная часть имеющихся к нас­ тоящему времени солидного числа научных публикаций посвя­ щена общим теоретическим вопросам обоснования теории.

') Что мы и будем иметь в виду-во всем дальнейшем.

сам можно найти в обзорной статье Г. Н. Савина и Ю. Ы. Немиша [1].

261

В настоящей главе мы приведем основные соотношения не­ симметричной теории упругости и укажем применение аппарата теории функций комплексного переменного к решению гранич­ ных задач в простейших случаях.

§ 40. Основные соотношения плоской моментной теории. Постановка граничных задач

1°. К обычным уравнениям равновесия тела, связывающим четыре компоненты напряжения, присоединяется одно уравнение равновесия моментов Мх и Ми. Система уравнений равновесия в случае отсутствия объемных сил здесь имеет вид')

Ввиду несимметричности тензора напряжений касательные напряжения имеют симметричную и антисимметричную состав­ ляющие T s и га:

Симметричная составляющая т.„ так же как и в классическом случае, вызывает обычную деформацию сдвига ъ х у ,

уравновешиваемая моментнымн напряжениями, поворачивает элемент на угол ы,

Моментные напряжения Мх, Ми искривляют элемент, вследст­ вие чего появляются пропорциональные, по предположению, этим напряжениям кривизны хх, у.„, определяемые формулами

влияния моментных напряжений, здесь принята имеющая раз­

262

Поле напряжений (обычных и моментных) выражается через две функции напряжений U и V по формулам

Из этих уравнений легко заметить, что функция U — ангармо­ ническая, а V удовлетворяет уравнению

АѴ—12А2Ѵ—0.

Для упругих смещений и, ѵ и напряжений (40.7), (40.8) имеют место следующие формулы общего комплексного пред­ ставления, установленные Р. Д. Миидлиным [3] ' ) :

Здесь ер и яр обозначают потенциалы Колосова — Мусхелишвили,

') В названной работе имеются опечатки.

263

Наконец, функция V допускает представление (см. там же)

Выпишем еще известные зависимости между упругими эле­ ментами в полярной H декартовой системах координат:

Ha основании этих формул и формул (40.9) — (40.11) по­ лучим следующие формулы комплексного представления реше­ ний уравнений теории моментных напряжений в полярных ко­ ординатах:

2°. Подсчитаем компоненты вектора напряжения Jncfs, Fn ds, действующие на элемент дуги какого-либо профиля AB, прове­ денного в плоскости Оху. Имеем

где n обозначает нормаль к кривой AB, проведенную вправо по отношению к положительному на AB направлению. Замечая, что на AB

из формул (40.22) и (40.7) выводим

264

Складывая предыдущие равенства, после умножения второго из них на і, и интегрируя полученную сумму по s, получим

Внесем сюда вместо U и V их выражения (40.12) и (40.15). Тогда получим следующее равенство, справедливое вдоль лю­ бого профиля в физической области: •

=г f (X„ 4- iYn) ds 4- const. (40.23} 'о

Тем же путем, исходя из формул (40.8) и используя, пред­ ставление (40.15) для моментиого напряжения М„, действующе­ го на тот же профиль А В,

Сумму первых двух членов под интегралом (40.28) выразим согласно закону Гука через деформации sx, гѵ, примем во.

265

внимание равенство (40.29), а для двух последних членов в ин­ теграле воспользуемся формулами (40.5). Тогда упомянутый интеграл представится в виде

так и вызванных моментными напряжениями),— представляет собой потенциальную энергию упругой деформации, заключен­ ную в единице объема.

Отсюда немедленно следует равенство нулю всех шести ком­ понент напряжения ах, ау, ххѵ, хух, Мх, М„ во всей области, если на

где е, ос, ß — постоянные.

Задачи определения упругого равновесия тела при неодно­ родных условиях (40.32) и (40.33) будем по аналогии с класси­ ческим случаем называть соответственно первой и второй основ­ ными задачами моментной теории упругости.

Выше мы доказали единственность решений этих задач для конечной области. Приведенное рассуждение с известным огра­ ничением поля напряжений на бесконечности справедливо и для случая бесконечных областей.

Так же, как и в классическом случае, для существования ре­ шения первой основной задачи в конечных областях необходимо выполнение условий статики твердого тела. В нашем случае эти условия имеют вид

Указанные выше комплексные представления полей напряже­ ний, смещений и деформации позволяют теперь сформулировать основные граничные задачи теории моментных напряжений в

266

Наряду с условиями указанных двух основных задач можно, разумеется, ставить и другие граничные условия, например, задавать на границе области и, ѵ, Мп и т. д. Среди этих других задач мы укажем лишь одну, соответствующую соприкасанию тела с жестким профилем заданной формы при отсутствии сил трения (см. § 1). В качестве третьего граничного условия при­ мем здесь наличие углов поворота точек границы и запишем условия задачи в виде

да построить эффективные решения основных задач для облас­ тей, ограниченным одной окружностью или двумя концентриче­ скими окружностями. Некоторые простейшие задачи такого рода будут рассмотрены в следующих параграфах.

267

§ 41. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием1 )

Центр отверстия радиуса R возь'мем в начале координат. Условия (40.35) без несущественной постоянной в правой части примут в нашем случае вид

и, кроме того, главный вектор усилий, приложенных к обводу

где Кп(Кг) обозначает функцию Бесселя второго рода от мни­ мого аргумента (функция Макдопальда).

Выражая операцию —— в полярной системе координат, при­ меняя ее к правой части выражения (41.4) и используя правило дифференцирования функции Кп (см., например, Ватсон [1]), получим

—со

Ряды для производных от функции (p(z) мы получим, оче­ видно, дифференцированием соответствующее число раз по z ряда (41.3) для ф(г). Составим все производные нужных поряд­ ков и положим, кроме того, на окружности

') Задача для спободного от усилий отверстия'в однородном поле была решена в цитированной выше работе Миндлина [1]. Решения некоторых ана­ логичных задач имеются в работах Вейтцмана [I] и Хартренфта и Си [1].

2 Ï JVloMeimibie напряжения на бесконечности везде принимаем равными нулю: М[т) = M œ ) = 0.

268

Все предыдущие ряды будем считать равномерно сходящи­ мися на окружности и в этом предположении внесем их в усло­ вия (41.1). Мы будем иметь после некоторых приведении

достающие неизвестные а'0, с0 , ci определяются из формулы (41.9).

Решая совместно системы (41.11) и (41.12), находим

а,, =

(41.13)

д - (И-і) [2(-а„+ 1 / ? 3 - тп (я 4 1) Л _ „ ]

сп+\ =

269