книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

с последующей заменой интегралов на конечные суммы с по­ мощью того или иного способа приближенного интегрирования. На основании формул (37.25) и (37.29) будем иметь следую­ щие приближенные формулы, пригодные строго внутри круга:

отдельности необходимо еще знать приемлемое в смысле точ­ ности выражение для второй производ­

•силы, единичные по величине, приложены в точках А и С вдоль

') Для функции ѵ(Ф) знаки равенства в условиях, определяющих Ф, сле­ дует опустить.

250

Следует иметь в виду, что для законности приведенных вы­ ше рассуждений необходимо от границы области 5 требовать гладкость в определенном смысле, например, чтобы контур представлял собой кривую Ляпунова. При наличии же углов у L функция со'(а), как известно из теории конформных ото­ бражений (это нетрудно видеть и из выражения (37.14)), об­ ращается в' бесконечность или в нуль в точках, соответствую­ щих этим углам. По этой причине вблизи указанных точек окружности нам придется при осуществлении нашего алгорит­ ма иметь дело с большими или малыми величинами, что отри­ цательно повлияет на ведение счета. Но и при наличии углов можно попытаться применить схему непосредственно, если уз­ ловые точки выбранной сетки будут изолированы от «опасных» точек. Однако тогда мы будем иметь контур со скругленными углами. Кроме того, комплексные потенциалы ср и тр будут об­ ладать (не выделенными явно) особенностями на окружности, характерными для контурных сосредоточенных нагрузок. Это обстоятельство, разумеется, также представляет известные не­ удобства для получения приемлемого решения задачи.

251

формулы (37.31) мы можем считать заданной функцией от о\ Для нашего примера имеем

3, 4) окажутся в середине между двумя соседними узлами за­

Как видно из табл. 1, полярные углы -о точек окружности незначительно меняются при преобразовании круга, т. е. с боль­ шим приближением можно считать

Следовательно, допущения относительно соответствия гранич­ ных точек окружности и ее изображения, принятые выше при вычислении коэффициентов (37.33), соблюдены с желаемой точностью.

вычисленные таким образом дискретные значения растягиваю­ щего напряжения ау по отрезку DA.

<Й(£) в круге вовсе не сходится в углах, а первый ряд (37-3)

фициенты Ь т и ат убывают довольно медленно, что и подтвер­ ждается при вычислениях.

Тем не менее табл. 2 качественно хорошо воспроизводит контурное напряжение. В количественном же отношении при­ нятая степень аппроксимации, возможно, не вполне удовлетво­ рительна.

Отметим, наконец, что этот же пример методом комплексно­ го переменного ранее рассматривался в работе Грея (Gray [1]),

Система уравнений (37.4) может быть получена из функци­ онального уравнения Н. И. Мусхелишвнли ([1], § 78)

V V

(38.1) заменой фигурирующих в нем функций соответствующими ря­ дами (37.2) и (37.3). В случае углов у контура, меньших, чем

') Настоящий параграф воспроизводит содержание статьи О. Е. Лалиашвплп [1] в сокращенном виде.

253

я, а также тогда, когда нас интересует главным образом рас­ пределение суммы нормальных напряжении OX +G„, более целе­ сообразно исходить из некоторой другой системы линейных

Степенной ряд для q/(£), очевидно, получится из соотноше­ ния (38.2), а ряд Фурье для неизвестной плотности интеграла типа Кошн в левой части (38.1)—перемножением рядов (38.2) и (38.3) после замены в первом из них с; на о и перехода к со­ пряженным значениям. Эти ряды вместе со вторым рядом из (37.3) внесем в уравнение

операцию дифференцирования интегралов типа Кошн произве­ дем после их представления в виде степенных рядов.

Сравнивая здесь коэффициенты при £ m ( m = 0 , 1, . . . ) , полу­ чим после некоторых упрощений искомую систему для опреде­ ления неизвестных uh:

будем определять способом, изложенным в предыдущем параг­ рафе. Для этого нам понадобится решить, как и прежде, нели­ нейную систему (37.21), воспользоваться формулой (37.16), ко­ торую, с учетом равенства

2я

1п со' (0) = §ïr .f ІПР[Ф(*)Ы0,

о

мы сейчас представим в виде

254

и, наконец, после нахождения дискретных значений этой функ­ ции вычислить коэффициенты (38.6) применением квадратур­ ной формулы (37 . 25) .

После того как будет найдено решение ик системы (38.5) и, следовательно, определена функция

m ' ( Ç ) '

другая искомая функция плоской задачи і|/(£) определится не­ посредственно из граничного условия (37.1), которое можнобрать и в таком виде (см. формулу

Ф (а) 4- Ф (а) - =ff=- [оТЙ Ф' (а) + а|/ (а)] = а р - ітр * на у,

со' (а)

(38 . 8)

Правую часть этого равенства следует считать заданной функ­

рен в качестве примера упругий эллиптический диск, растяги­

') Все вычисления, как в этом, так и в предыдущем примере, проводились па БЭСМ-2.

2 ) Вычисления велись с точностью до Ю- '. Во всех таблицах настоящего параграфа, за исключением таблицы 2, приводятся округленные значения.

255

Что касается чисел ссгн-ь ТО они отличны от нуля, но последо­ вательность {a-2h+\} убывает довольно быстро. Численные зна­ чения этих коэффициентов приведены в следующей таблице:

По данным таблицы 2, при правых частях (38.9), решалась •система (38.5), в которой отброшены все уравнения и неиз­ вестные ит, начиная с / п = 1 7 . Это дает конечную систему из 32 вещественных уравнений, с тем же числом неизвестных, для вещественных и мнимых частей первых коэффициентов ик. По найденному приближенному решению ик системы (38.5) вычис­ лялись значения суммы

приведены ниже в виде таблицы.

) Величина сосредоточенной силы принята равной единице.

256

венно используется конформное отображение областей. Поэто­ му нередко бывает весьма важно уметь строить отображающие

') См. сборники: Construction and Application of Conformai Maps, Nat. Bur. Standards, Appl. Math., Ser. IS, 1952; Experiment in the Computation of Conformai Maps, Nat. Bur. Standards, Appl. Math. Ser., 42, 1955; Numerical analysis, Proceed. Simp. Appl. Math. 6, 1956, а также монографии Л. В. Кан­ торович и В. И. Крылов [1] il М. А. Лаврентьев п Б. В. Шабат [1].

2 ) См. заметку автора [17].

Для дальнейшего уточнения отображающей функции мы будем правую часть (39.6) принимать за первое приближение, а последующие приближения находить по той же формуле. Та­ ким образом, для (п+1) - го приближения мы будем иметь

258

Внося выражение (39.8) в формулу (39.7), мы можем пред­ ставить эту последнюю в следующей, более простой форме:

весьма удобна для численного счета.

Точность первых приближений, определяемых по формуле1 (39.10), существенным образом зависит от подбора начального отображения <во(£). Для областей, близких единичному кругу,

(39.10). Речь идет о сходимости метода последовательных приближений для. нелинейного функционального уравнения

Здесь следует ожидать результатов, аналогичных установленным. Варшавским; (Warschawski [1]) относительно метода Теодорсепа.