книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

найти

из соотношений (34.13)

функцию Q{a)

по

заданным на

Ч значениям

компонент напряжения О Р И

Тр<>,

если заданы,

кроме

того,

первые

коэффициенты разложений

в

окрестности

t, — oo

функций Ф(£)

и \Р"(£),

голоморфных в Е -

и

исчезающих

данными (36.9) и (36.10).

Решая эту систему, находим

искомое

с»

в виде

со

el + oP = ÏL ata11.

(36.11)

Нам

остается,

наконец,

определить

контурные

напряжения

в

основном

поле

по заданным на

<у значениям

функций и, ѵ,

*

*

*

Op, 0 а И Трз-

Заметим

прежде

всего,

что формула

(36.6)

в

иной

записи

означает

равенство

Ф (а) -

Ща) +

4г(оь-

Ор) -

ітро =

Л (а),

откуда

А ,

іА2

а* - а р = 2ЛХ =

2т( ;0

(Л (а) =

(о) +

(а)).

(36.12)

Аналогично, из второй

формулы

(36.1), которую с помощью

обозначений

(36.4)

мы сейчас перепишем

в виде

—= I [Од. — G p j ,

^ г ["И

ф

* ' (°) +

и

' (

) = *

2ТрО(°)]

а» - ар +

2іТро = -

4ш

(а)

а

¥

следует

2тр о =

Ср — al-

(36.13)

=

( C S " ) .

2 Ф ( а ) ^ - 4 ^ + 4 г ! ^

«a v

Предыдущая

формула с учетом (36.11) дает

ß (о) =

4 Re Ф (а) = 2 Re lim 2л

f О * (т) dx )

i

J

=

— 2Re|t

Vflfca-f t

(36.14)

T

lia

основании

формул

(36.11) — (36.14) искомые напряжения

вдоль

обвода

отверстия

даются в .следующем

окончательном

виде:

a» = Re^i \.akA

-|- Л і (о),

Op :

Re

і ѵ.аьа*

Л , (а),

I

(36.15)

— Т..п =

Rp JI i

Напоминаем, что fi* —решениеf

бесконечной

системы

вида

(34.34), a Л = Л і + / Л г определяется

формулой

(36.7).

К

найденным

значениям

(36.15), разумеется, следует

еще

эта большая ось совмещена с осью

х и

делится

пополам точ­

кой 2 = 0 .

Тогда

(D(£) = R ( £ + - y J

( Я > 0 , 0 < т

1).

(36.16)

11^(0) = 0

. (на

у),

(36.17)

Г = -£-,

Г' =

X = Y = О,

(36.18)

где

/; — интенсивность

растягивающего

усилия

на

бесконеч­

ности.

Искомые функции срь

tyi представим в виде

Фі (t) = Ф (Ê) + Ф о ( Ü ,

Ь (£) = г|) (£) + Ф о (£.),

')

H. II. Мусхеліішвнли

[I], § 83а.

16 л. И. Каландня

241

где ф(£), тр(£) —новые

искомые функции, а

T o a ) =

PR

+ - f

rco(S) = ^ ^

(36.19)

Ф 0 ( £ ) = Г ' а > ( £ ) = ^ - ( £ + -

Согласно предыдущим формулам в нашем случае

ловия приведенной задачи, с учетом

(36.17)(e)=r',примет вид

Ф о ( £ ) = Г ,

Wo

(36.20)

и правая часть равенства

(36.5), выражающего

граничные ус­

W

(а)

=

T'R

I

(36.21)

— -f та

Из формул (36.16) и (36.21) с помощью элементарных вы­

числений находим

.

,

.

-p, та"

—

(36.22)

Л

(а) = Г

" "

, а _ 1

<т-

— от

а2со' (о) Ѳ* (а) = - 2oW (а) (ар -

ітр») =

-

2 і Г Я ^ - ^ -

(36.23)

Далее, на основании

формул

(34.26)

и

(36.23)

/ * (g) =

— - L f

в* (о) rfa =

2 . r j ;

( £ b S + ) >

(36.24)

и, следовательно, для заданных

коэффициентов

Ак союзной за­

дачи имеем

Al=ipR,

АІ = 0

( é > l ) ,

Л* =

0.

(36.25)

Решая систему • (34.34)

при правых

частях (36.25)

и вычис­

ляя Q*(o) по формуле (36.11), найдем1 )

Q* (а)

—

ір

1 — та'2

а2

—

m

Отсюда имеем

• ^

*

k

paL

(36.26)

іУ,ака

=

1 — rna-

1

и формулы

(36.15) окончательно

дают

тро = р Re | j g

„| g gj + Л 2 (а)

(Аг = Л х + іЛ2 )

') -См. п. 4 предыдущегоl

параграфа.

Вычислим,

наконец,

напряжения

<з%, ор,

х%,

соответству­

ющие

потенциалам

(36.20).

На основании

формул (34.10)

легко

получается

(36.28)

• 2 T 0 p

e = p R e | i ^ ; • та*

Составляя

теперь

суммы

а$.-\-а%,

..., величин,

определяе­

ния компонентов напряжения на к в следующем

виде:

/ т (1) _

P

1 — (m + 2) g2

•

(i)

_

(i)

Q.

Oo — tTpo —

g

y _ / n e r a

CTP -

° »

•

(àb.Zy)

эллиптического ядра будет иметь значение

°Ѵ = --тт=Ѣ

( * = ± U -

(36.30)

деляются в численном виде.

Для нахождения искомого

отображения

(в численной

фор­

ме) используется дискретный

аналог хорошо

известного в

тео­

Ф(а) + ш ( а ) 4 = = - + * ( а ) = / ( ° ) на у,

(37.1)

16*

243

конформное отображение

круга | £ | < 1

на 5.

1°. Сущность упомянутого выше метода

И. I I . Мусхелншви-

ли заключается в следующем. Положим

Ф ( £ ) = va*?*,

Ф'(£ ) =

i

^

] ^

' [

-

i

(37.2)

1:

о

при Ü

CÜ (а)

V

ЬкоК

f(a)

=

\ \ A k a k

na

(37.3)

ы' (а)

со

(37.4)

а„,

- f V kakbm-i ft-i

=

-4»,

т

> \ ,

dm -г

y^ltakb-,„-\k-\

=

А-т

m

> 0 .

(37.5)

о

Если найдено решение ah системы (37.4),

то

из

системы

(37.5) могут быть

последовательно определены

все

ак

. Пост­

дет

равна

a, + ay

= R e { - | ^ j j - } .

(37.6)

При заданной

отображающей функции а>{%) плоская

зада­

л а

сводится, таким образом,

к решению системы (37.4).

Дока­

зывается, что если

(в случае

конечной области) условия

стати­

ки

соблюдены, контур L и правая часть условия (37.1)

доста-

граничную задачу

(37.1)').

Нашей ближайшей целью является определение коэффици­

ентов Ь п 2

) .

2°. Будем для определенности считать, что область 5 конеч­

на и содержит внутри себя начало координат.

Отображающую

функцию co(t) подчиним условиям нормировки

©(О) = 0 ,

со'(0)>0 .

(37.7)

Пусть

граница

области

5 — простая замкнутая

кривая L ,

задана уравнением

р =

р(Ф),

(37.8);

где

р — гладкая в

достаточной

степени

функция

от

полярного

угла

Ф ( 0 ^ Ф ^ 2 л ) . Через Ф (Ф) будем

обозначать

зависимость,

устанавливаемую

соотношением

і=а(о)

между

полярными уг­

лами точек L и f,

Ф ({)-) = arg со (е'*).

Рассмотрим функцию

F(Z)

=

ln*f.

F(e'"»)=ln

р [ Ф ( Ф ) ] + і [ Ф ( ф ) — 0 ] .

(37.9)

Предыдущее равенство

означает, что функции

1пр[Ф(т>)}

(

D

^ - ^

- J L f

l n p [ 0 ( x ) ] c t g ^ d T .

(37.10)

b

Предыдущее

соотношение

представляет

собой нелинейное

сингулярное

уравнение относительно

Ф(гЗ),

указанное

впервые

в

работе

Теодор сен a

(Theodorsen, [1]) . После определения Ф (Ф)

из

уравнения

(37.10)

граничные значения F(ei{>) непосредствен­

но находятся

по формуле (37.9).

Для

решения уравнения

(37.10),

часто

применявшегося на

практике к задачам обтекания потоком несжимаемой

идеаль­

ной

жидкости,

обычно используется

метод

последовательных

приближений.

')

Подробно об этом см. в статьях H. II. Мусхелншвилн [4] и Д. И. Шер­

мана

[7].

2 )

Другой способ определения Ь,г, основанный также на нахождении ото­

бражения

в численной форме,

содержится в работе Пейзекейна и Мал-

верна

[1].

гой его работе (Ostrowski [2])

при тех же условиях близости

к кругу, что и у Варшавского,

устанавливается сходимость ме­

ѵ ( ф ) = ф + р ( ф )

( — я / 2 < р < я / 2 ) .

(37.11)

Функция

In C Û ' ( ^ )

регулярна

в круге

и вещественна

при £ =

= 0. Для ее граничных значений

имеем

l n c ù ' ( a ) = l n | ( ü ' ( o ) | + t a r g ( o ' ( o ) .

(37.12)

Но

arg(ü'(a) =

v - f t = ß - i - 0 - f t ,

\(л'(о)\=£

= ^ § ,

(37.13)

где s — дуга

контура

L, отсчитываемая

от произвольной его

точки.

С другой

стороны,

о

fiel)

ds

D

c o s ß = p - ^ - ,

^ = psecß,

2л

т} ctg т—ft dx - i -

{ß [Ф (т)] -!- Ф (т) -

In со' (0)

Отсюда

|ш'(а)|

= exp

2л

2л

{ß [Ф (г)1 +

Ф (т) - т} ctg

dx -S- In со' (0)

.

1

(37.14)

Эта

формула

вместе с соотношениями (37.13) позволяет вы­

разить

контурные

значения

и'(о)

через

решение

уравнения

(37.10)

и некоторые

известные

функции точки контура L — эле­

менты этого же контура. Мы будем

иметь

а' (о) = ехр

2л

2л

Ф (т) -

т} ctg ^

dx 4-

•

{ß [Ф (т)] +

1

Г

4- In сУ (0) + i (ß [Ф (ft)] 4- Ф (ft) -

ft}

(37.15)

На основании формулы (37.9) напишем аналогично преды­

дущему

1пр[Ф(Ф)]

2Л

^{Ф' -

(т) - т}-ctg' -

- ®

dx 4- In со' (0).

1

г

4

х

2л

о

<в (сг) =

р [Ф (ft)] еМ>(»)

=

2л

ехр

± j {Ф (т) -

т} ctg

dx + In со' (0) 4- іФ (ft)

(37.16)

благодаря

высокой

точности

простых

квадратурных

формул

для особого

интеграла:

2я

£ ( й ) =

2я - і / ( T ) c t g ï = ^ d T .

(37.18)

о

За

узлы интерполяции на

[0, 2я] возьмем

точки

Ът

= ж>

т

= 0,1

2ЛГ—1,

где N — произвольное

натуральное

число. Тогда

справедлива

квадратурная

формула

(Serbin

[1]; см. также А. А. Корнейчук

[1])

2N-1

gm=

ft=0

«ft-mfft

(m =

0 , l , . . . , 2 W - l ) ,

(37.19)

где

3

О

при

[ft — т\

четном,

O-k-n

1

,

J'

"1

при

\и

i

(37.20)

'

J_ ctg

[ft — m\

нечетном.

v

Формула

(37.19)

точна

каждый раз, когда

—тригономет­

рический полином порядка не выше N—1 ' ) .

Согласно формуле

(37.20)

соотношения

(37.19)

распадают­

ся на две группы:

к—\

f

"V

g2m=

ft=0

Ct2(ft-m)-t-l/2fe-:-l>

N - l

g2m~\ = S a2{k-m)-lfzk,

m = 0,1

, . . . , iV—

1,

ввиду

чего

применение

метода

итерации

к системе

с матрицей

{ah-m)

представляется чрезвычайно

удобным.

форма

уравне­

На

основании

формулы

(37.19)

дискретная

ния (37.10)

такова:

2JV-I

®т

=

Ъ

т

- 2

ак-т\пр[Фк],

m =

0 , 1 , . . . ,

2 ^ - 1 ,

(37.21)

Ф т

=

Ф (fl m ),

р [ Ф т ] =

р[Ф (Оя ) ] .

Для областей, в известном смысле близких к кругу, итера­

цию следует начинать от значений

Ф{Я=&т

(m = 0 , l , . . . , 2 y V - l ) .

со'(о)

(37.22)-

где

Fi

(ft)=A(ft)

cos ß (ft)

/\,(ft) = A ( f t )

sinЙ(ft),

2я

Л (ft) -

exp '

2

{ ѵ [ Ф ( т ) ] - Ф ( т ) } с І е ^ г і т

b

ß

(ft) =

Ѵ [ Ф (ft) ] + Ф (ft) - f t .

(37.23)

Для вычисления коэффициентов bm, определяемых равен­

ствами

2л

м (а)

b,„ =

1 С

ехр(— tmft)dft

(от = 0, ± 1 ,

± 2 , . . . ) , (37.24).

со' (а)

2Я

2.V-1

1

F (ft) ехр(—i//ift)rfft

/•(ftf t )exp(—imftÄ ).

(37.25)

'ѵ

ri

В результате будем

иметь

i/7îftft)

6

= щ

Ѣ

{F, (ft

)

-1- iF

(ft

)j exp ( -

(m

(37.26)

m

ft

2

f t

=0,+!,...),

причем согласно

формулам

(37.19) и

(37.23)

F1(K)

+

iF*iK)

=

=

exp

2N-1

•ft )

(37.27)

ft = 0с у . / : _ т

В конечном-

( ѵ й - Ф Л ) - ' г і ( ѵ т +

Ф„

nil

счете последовательность операций

для реше­

Z

ния

граничной задачи (37.1) такова.

Вначале

решаем

нелинейное

уравнение

(37.21)

и

находим

значения

функции Ф(т]) в узлах

ftm. По данным Ф т

для данно­

го

угла ѵ(Ф)

вычисляем необходимое

число

коэффициентов Ь т .

бования

равенства нулю

главного

момента внешних усилий, на­

ходим

первые

коэффициенты ат

разложения функции ф(£),

а затем

из

системы

(37.5) — первые

коэффициенты функ­

ции і|>(£).

Граничные значения на сетке отображающей функции вы­

числяются

по

формуле

(37.16);

они

вместе с выражением-