книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

В соответствии с формулами (34.6)

имеем

Ф, (£) = Ф (£) + Ф 0 ( É ) , Y

і (£) = Т (£) + *F„ (Ç).

сти, постоянные Г, Г', X и Y задаются

самой

задачей. Поэтому

напряжения ст°, erg,

п

постоянные А и А' нам известны, они

определены формулами (34.9) и (34.10).

Задача наша заключается в определении из формул (34.7)

нормального напряжения о» по заданным

значениям на -у двух

других компонент стр и тРо-. Положим

а » + 0 р = : Й ( с ) ,

- 2 ( а Р - і т р ф ) = Ѳ ( о )

на

у

(34.12)

и перепишем

(34.7)

в виде

2[Ф(а) + Ф Й ] = й(а),

j

.

ahù'(ст)

[Q(а) - f Ѳ (а)] — 2CÛ(CT) Ф'

(О) = 2©' (ст)ХѴ(а)

на

-у.

J

' ' '

На основании первого из предыдущих

равенств

представим

функцию Ф(£) с помощью интеграла

Шварца.

С учетом

фор­

мулы (34.8)

будем

иметь

2 Ф « ) = - 2 Н і / ^ Г

{ C B S _ ) '

( 3 4 Л 4 )

причем для некоторого удобства

через S~ обозначаем область S,

а через

^ + —

область единичного круга

| Ç | < ; 1 .

Отсюда

имеем

2 Ф ' И

=

-

е

і

^

[ «

М

- *

Т

}

(34.16)

2

ф

>

)

=

^ = 1 _ 2 _ 1 | ^ 1

„ a ï

,

(34.16)

причем

т, так же

как и ст, обозначает

аффикс

точки,

лежащей

на окружности «(.

Подставляя выражения (34.16) во второе равенство (34.13),

получим

5 V l o ) [ Q ( a ) . и Ѳ ( а ) ] - ^ р

+

+ ^

|

-

^ 1

= 2 ш '

( а ) Т ( а ) .

(34.17)

Правая

часть

этого

равенства

(обозначим

ее

временно

F (а))—представляет

собой

граничные

значения

на

"у

функ­

ции от

голоморфной

в

2~

и исчезающей,

в

силу

формул

1 Г F (a) da

А

«.

v-, ,

2^7 .) ст _ g

= 0

для всех ç из

Ѵ+ >

f

t o

+

« - J ^ F - =

°

Н А V-

(34.18)

Равенства

(34.17)

и (34.18)

вместе

дадут

o ^ [ Q ( a ) +

0 ( a ) ] - ^ ^ 4 - Ä I ^

+

+

±г

1 [ ^

Ъ

) [Q (т) +

Ѳ (т)] -

+

К композиции

интегралов

в (34 . 19), понимаемых в смысле

главного значения

по Коши,

применим

формулу

перестановки

Пуанкаре — Бертрана

(см., например, Мусхелншвили [ 2 ] , § 2 8 ) .

Имеем

_1_

Г со (т) dx

I J _

Г

Q' (аг) dat \ =

wJâ)Q'

(a)

ni

y T — a

І2пі J

о-! — т

J

2

" h

Второе

слагаемое

в правой

части

этого равенства можно

через /

и принимая во внимание, что

]

1

Г 1

1

(т — а)(ст1 — т)

можем

написать

. . . . . . Г .

С

Г 1

1-1

1

Г со (т) dx

—fl\

R

* х п ,

я—.

v ; .. =

© H

—=•

при £ в V + .

COJCT)

I f

m ( T ) d T

=

2лі у

т — a

X ' G

J = - L f Q' (т)

ы(а)

— со (т)

2R

dr.

-.u т

т — а

от

Но согласно нашим

обозначениям,

£2(а) = 2[Ф(а) + Ф(а)]

на у ,

где Ф(£) •—голоморфная функция в

имеющая при

больших

| £ | вид (34.8).

Отсюда,

используя теорему

о вычетах,

легко

находим

_1_

Г Q'(r)d-

=

J _ Г d ГФ (т) + Ф (т)і =

J _ Г

Ф (т)

Ф (т)

d x ^

2

j

2пі

•

т

ni'у

т

ni

т-

Следовательно.

_

у

l

fQ , ( т

)

'

й

^

-

й ^ d T

_ M * . .

(34.23)

2л i y

4

T

— о

с

v

7

Учитывая

выражения

(34.20) и (34.23), получим из равенства

(34.19) искомое функциональное уравнение для

определения

й(о)

в следующем

виде:

^ Ч о 7

) [Q (с)

-'

Ѳ ( а ) ] -)- i

f T W ^ Ö № W

J - © (т) ]

-

^

-

• '

*

i l

_

^

j1

й ^ Г - й а 7 а , (

т ) d T _ І М

=

0

на Т .

(34.24)

= l i m F ( £ H - - ^ ,

(34.25)

F ( £ ) = - 4 I . ^ T F F L ^ 2 . ) . 9 ( T )

d T .

' (34.26)

^л

со

Й(о) = 2

aAa*

(a_fc = ak,

£ = 0 , 1 , . . . ) ,

(34.27)

-

c?V7^)

Ѳ (a) = 2

Л а й •

( 3 4 - 2 8 )

— со

Коэффициенты А к

— известные числа, а ак— неизвестные.

232

Из выражения

(34.4) имеем

R

aV"(ö) =-£ - 2 (/г+

1)ск+іа*

(34.29)

ft--о

Перемножение

рядов Фурье

(34.27)

и (34.29)

дает

а-со' (a) Q (a)

.

V

о"' -г .. . ,

(34.30)

m=0

ft I

где не выписаны

члены, содержащие

отрицательные

степени

аргумента а.

Разумеется,

мы полагаем, что произведенная

выше операция

интегрирование

ряда

(34.30)

под

интегралом

типа

Коши.

Тогда

- 1 f f о2to' (о) Q (a)rfa

_ V

Ram+:

kClfim-k-L-l

£ m

при t

В V-l-.

m=0

Из формулы (34.4) имеем, далее,

(34.31)

(û (T) — ш(сг)

=

- —

oc

f

со

c m + k i r

À a ^

(34.32)

2 \ï.

тег

m - 0

U=-0

У

7П=0 (к=

1

J

(34.33)

Внесем теперь выражения

(34.31)

и

(34.33) в уравнение

всевозможных

степенях

о. Тогда

получим

следующую

совокуп­

ность равенств ') :

= 2/1, Ram±2

m

- j -

I ) с т _ й - И

aÉ

—

аг

— fc=i(m— k

со

-

(m -•- 1) Z cm ,! A .+ I äA . =

Л,„,

( c _ É = ô A ) ; m =

0,1 , 2 , . . .

(34.34)

П р и м е ч а н и е I. Используя конформное

отображение и степенные ря­

ды, И. И. Мусхелишвили свел плоскую задачу

для произвольной односвяз-

точно, в указанном случае

система эта обрывается лишь в одном направле­

нии, т. е."каждое уравнение

ее будет содержать конечное число неизвестных

стем с точки зрения их практических применений.

(34.4) пер­

П р и м е ч а н и е 2. Постоянные А и А', дающие по формулам

вые коэффициенты в разложениях

функций Ф(£)

и гІ'(С) в окрестности точки

§ = о о , можно было и не задавать

заранее. Их можно

определить

из условии

самой задачи следующим образом.

Вычитанием равенств (34.1) получим на у

02 ш' (о) [Фд. (а) + Фг (о)] — а>{о)ф\

(ст) — со' ( а ) ¥ х

(а)

=

= еЧгТ5){а^-іт^).

(3-1.36)

'). В главе II настоящей книги

он назывался

методом (Н. И. Мусхелиш­

вили) 2.

Ф і ( £ )

= г - j -

- і + о ( г 2 ) , ^ (О = г' - i - -J- + 0 ( г 2 ) -

<3 4 -3 7 >

Здесь

Г и Г'— заданные постоянные,

а А и /Г— также постоянные,

подлежа­

щие определению.

Заметим теперь, что если Хп,

Y — составляющие по осям х и у

вектора

напряжения, приложенного к границе L тела, то справедлива

формула

„(1)

;_(1) =

(X

-f iY

)

„я v

(34.38) •

Умножая равенство (34.36) на da,

интегрируя вдоль V, и принимая во вни­

мание формулы

(34.37)

и (34.38), найдем

А-х--мѴ+*>-

(34-39)

где X и У обозначают компоненты главного вектора внешних усилий.

Второе условие для определения А и Л'

получим, требуя

однозначность

упругих смещений относительно криволинейных координат

К " + 4 ° ) = - f - Î ^ - § Î [ Х Ф І ( , ; ) ~ М ( S )

Ф І ( S ) _

I 0 K

в области

2J— •

Условие однозначности этого

выражения, как легко убедиться,

приводит к равенству

_

•лА -Ь А' = 0.

(34.40)

Решая совместно

уравнения

(34.39) и

(34.40),

получим

формулы

(34.9).

§ 35.

Примеры

1. П р о с т о е ( о д н о с т о р о н н е е )

р а с т я ж е н и е

н е о г ­

р а н и ч е н н о й

п л а с т и н к и ,

о с л а б л е н н о й

к р у г о в ы м

о т в е р с т и е м .

Пусть

неограниченная

пластинка,

растягивае­

мая

на

бесконечности

усилиями

в

направлении

оси

х,

имеет

круговое отверстие с центром в начале координат,

края

которого

свободны

от

внешних

воздействий.

Интенсивность

растягива­

ющего

усилия

обозначим

через

р ,

а

радиус

отверстия —

через R . Тогда

о»1 = тр 'і = 0, Г = - £ ,

r ' = - - f , А = А' = 0,

«>(£) =

Я?.

=

- f ,

% ( £ ) = — £ - •

Далее,

на

основании формул (34.10), (34.12) и

(34.26)

имеем

<M£)

о2со' (о) Ѳ (о) =

— 2 а'2со' (от) (ap — hpû)

=

А0=—

Rp,

Ah=0

(k=l,

2, ... ) .

Решение

системы (34.34)

дает

'.

а 2 = а _ 2 = — р , все остальные а,, = 0.

Следовательно,

Q (ст) =

— per — ро2

= — 2pcos 20,

Йо(а) =

2[Ф 0 (о) +

ф ^ ) ] = р

и формула

(34.35) окончательно дает

ст^0 =

р{\

— 2cos2ü)

на у.

(35.1)

2. Р а в н о м е р н о е н о р м а л ь н о е д а в л е н и е , п р и л о ­

ж е н н о е к

о б в о д у

к р у г о в о г о

о т в е р с т и я .

Обозна­

оУ =

- р ,

т $ =

0

(на у); Г =

Г =

Л =

Л' = 0І

Ф 0 (С) =

4f 0

(t) = 0,

(ст) =

0

(всюду

в S-

и на у)

' Далее,

'

о-со'

(ст) Ѳ (ст)

- -

2RÔZ

\Ор)

-

ітр[1)

-

2pRÖ2

и, значит, на основании

формулы

(34.26),

/=•(£)=() всюду в S+ .

Система

уравнений

(34.34)

будет

иметь

нулевое решение

и формула

(34.35)

дает

ai 1 ' = р

на

у .

(35.2)

л о ж е н н о е

к

о б в о д у

к р у г о в о г о

о т в е р с т и я . Если

Т — величина

заданного

касательного напряжения, условие за­

дачи представится

в виде

о™ =

0,

т $ =

Т

на у,

Г = Г' = А = А' = О,

Q 0 ( o ) = 0 ,

CT'-CÛ'

(СТ) Ѳ (СТ) =

2iRTa2.

Отсюда, как и в предыдущем примере, имеем

F(t)=Q

в 2-, Q ( o ) = 0

па -у.

и формула (27.35)

дает

с»

= 0

на у,

(35.3)

4. Р а с т я ж е н и е н е о г р а н и ч е н н о й и л а с т и н к и, о с-

л а б л е и и о й

э л л и п т и ч е с к и м

о т в е р с т и е м . И

в этом,

менее элементарном,

чем

предыдущие,

случае решение

задачи

не представляет никакого

труда.

Будем

считать, что большая

ось эллипса

расположена

на

оси X, а растягивающее

усилие,

величиной р , на

бесконечности

параллельно оси у . В рассматриваемом

случае

< о ( 0 =

RfS +

- f - l

(R>0,

0 < m < l ) ,

(35.4)

ор » = т

$

=

0

(на у),

Г = - ~ ,

Г' =

- f -

(35.5)

Кроме того, на основании

формул

(34.11)

£ а - / л

(35.6)

В правую часть

равенства

о2®'

(а) (ор — ІТро.) =

(а) 4- Ф7Й] -

=

оЛо^а) [Ф0

«Иф о(°0 -<*>' (<т) %

вытекающего из формул

(34.10), внесем функции

(35.6). Будем

иметь

1 — _|_ о

1

i

о- 4- /я

Us

"Г"0

a _ m

+

^

( o

a _

m )

2

(35.7)

Замечая, что в силу граничных

условий

(35.5)

а р

— ітра

=

= — (öp—ітро), из формул

(34.26)

и

(35.7)

определяем

функцию

F(l)

в виде

а Ѵ ( < 7 ) ( о ° р - і т ° р в )

da =

=

2{mTR

+

Rr')

=

-%-R(m

+

2).

(35.8)

'Отсюда следует, что

A^P_RiüL±3,

Л

й

=

0,

/ е > 1 .

Система уравнения

(34.34)

в нашем

случае примет вид

a 2 n - i=0,

п > 1 ,

Р (m 4

2)

a2 =

2

' a * =

m Ö 2 '

u ß =

т Й 4 ' • ' ' ' й 2 к =

m a 2 k ~ 2 ' • • •

Следовательно,

p (m 4f]2)

'.Q (a) = 2 Re V

a2fca2fc =

_

=

.1

p (m 4- 2) Re

w * - 1 ^ *

fe=i

ft=l

p (m 4- 2) Re

1 — Я2СГ

2

1

— ma2

1 a2 —m

(35.9)

Q0 (о) = 2 К (а) + Ф0 (о)} = - f [JTZW* + ;

(35.10)

(I)

1—т" — 21т— cos2fl)

.„ ^ я

^ n \

, о с

m

°* =Р

1 - 2 м cos 20 + m '

(0 ^

0'< 2я).

(35.11)

maxoi" = оУ)|о=о,я = р

2(1

+ m )

(35.12)

1 + :

— m

1

ности, а также компоненты X, Y главного вектора

внешних

усилий, приложенных к обводу отверстия.

Рассмотрение настоящего параграфа нам придется ограни­

чить

случаем

плоской

деформацшш

упругого

тела

и притом

в предположении

о

несжимаемости

материала

( v = l / 2 , v —

коэффициент

Пуассона).

При

этих

условиях

упругая постоянная у.,

фигурирующая

в выражениях для упругих смещений, равна

1, н полная

система

формул

комплексного

представления

напряжений

и

смещений

в криволинейных

координатах

представится

в виде

(ö=e'*)

-

Op '

+

2 і т $ =

Jff=r

[со (a) ФІ (о) +

со' (a) \

\

(а)},

(36.1 )

со (о)

а(р" -

л(Д

= Ф х (а) + Що~) - ~

Ф,' (а) 4-

ш (0)

г - с о ' ( а ) ^

(а)],

(36.2)

2іі ( И Х

+

іѵі) =

срх (ст) — со (сг) Фг (о) — % (а).

(36.3)

По условию

задачи

нам задано на окружности 7 выражение

2\i(ul+iv1)

=

Wi{a),

по которому следует на той же окружности определить

иапряже-

ния

о ^ о У ' и

т # .

Введем в рассмотрение две новые функции,

Ф*(£) = »-ф(а^*(£) = ^(£),

1 ( 3 6 4 )

(Ф, (£) = Ф (Ç) + Ф0 (£), (С) = Y (£) + Т 0 (I)),

j

Ф (а) -

со (а) Ф (а) - ф (а) = W (а)

(на

у ) ,

(36.5)

где

W (а) =

ІІ^ (а) - [фо (а) - со (а) ФДо") -

^

) ]

,

-77Г =

to

ш——

[а — е,&, а —в

,

rfö

да

да

находим

Ф ( а) - Ща) -J- ^

[со (а) Ф ^ )

-і- со' (а) Y (а)] =

Л (а), (36.6)

где

A

^ = i a l h ) ^ W { 0 ) >

( 3 6 J )

или, в силу обозначений (36.4),

Ф* (о) - f Ф* (а) — - H i - [ô7(âj Ф*' (а) + со' (а) ¥ (а)] =

— іЛ(а)(36.8)

ш' (а)

Тро — jap =

Л(ст)

на

у .

(36.9)

Вычислим

главный

вектор

внешних

усилий,

приложенных

к

границе тела в союзном поле. На основании формул (34.38),

(36.7)

и (36.9)

имеем

2л

j

(X* -г іГ,*) ds =

f Л (о) со' (о) da

= j

- ^ - Ц7 (a) ci» = О,

L

у

О

и,

следовательно,

Л* =

К* = 0,

Л* =

Л*' = 0.

(36.10)