книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

условиям ') :

Ф+ (0

- i -

®W)

+ t Wuj)

- i -

W+ (t) =

Ф -

(/)•!• Ф - (0

-f-

4

. t

W-U)

+

¥ =TÔ - f ІК, Re | 4

[хФ - (/) -

ФЩ

-

-tWW)-V4t)])

+

fa(t),

(33*.6)

хФ+ (f)

-

Ф+ (/) -

t Ф'+

(t) -

W+

(t)

=

кФ-(І)

-

Ф -

(0

причем

-

t Ф ' - {t) — x¥-

[t),

при

f

на

L ,

(33*.7)

Ф(г)=~'(г),

^

(г)

=

f

(r),

X

=

T

с с

(33*.8)

1 -i-

V '

д

ѵ °

2а/г

'

/Со

f0{l)

=

-L-lX(t)-riY{t)}.

Введем новую, также кусочно-голоморфную на плоскости z

функцию y_(z) равенством

" x ( z ) = ( I ) ( z ) + z ( D / ( z ) + ^ ( z )

(З3'*.9>

и сложим равенства (33*.6) и

(33*.7). Тогда граничные усло­

вия для

функций

Ф, x запишутся

в виде

( х + 1 ) Ф + ( / ) = - . ( х + 1 ) Ф - ( 0 - г -

+

ІК0

Re {•£

И

ь

(0 -

%+ С)]} +

/о (t),

(33*. 10)

хФ+ (f) -

x + W

= х Ф - (0 -

F ( Ô -

Последнее равенство перепишем теперь так:

хФ+(*) +

х + ( 0 = * Ф - ( 0

+

х - ( ' ) ,

(х (2)

= уДі))- (ЗЗМ1)

/о(0

1

(33*. 12)

ф ( г ) = 0 ( 2 - 1

) , 0 ' ( z ) = 0 ( z - 2 ) , 4 f ( z ) = 0 ( 2 - 1 ) . (З3.*13)

J ) Кусочно-голоморфность (на плоскости) здесь означает, что Ф(г)

uxV(z).

голоморфны всюду в S+

и в S - и непрерывно продолжимы на все

точки L

хФ(г)

- j - %(z) = 0

на всей плоскости z,

(33*. 14)

откуда, по-прежнему, для точек вещественной оси

выводим-

соотношение

%'+(i)=—KO'-{t)

па L .

Предыдущее равенство позволяет исключить из рассмотре­

ния искомое %(z), 1 1 согласно (33*. 10) мы приходим

к задаче

Ф+ (t) — Ф~~ (t) -f- iX Re {Ф'+ (t) -'г Ф'~~ (t)}

- j - f (t) на

L, (33*.15)

где

b = £jh>

/ ( 0 = ^ п -

(33*.16)

Полагая

где со (t) =ii (t) + t ' v ( 0 — н о в а я

L

искомая

функция

на оси,

i*<o = - Ä i £ f T ) .

( З З М 9 )

ѵ М - т і т т

= ^

H a Z -

( 3 3 * - 2 ° )

L

где

X (t)

§ W =

h (x + 1) •

# ( 0 =

^Т2

G(t),

(33*.2!)

?,

причем

1 +

N(t)

= \ѵ (т) eC!xdx,

G{t)=

\g (т)

e^dx.

Применение

обратного

преобразования

Фурье

к равен­

ству (33*.21) определяет искомую функцию

\(t) в

следующем

v ( 0 = \g(t-x)ri(x)dx+

±-\g(t-y)dy

S 1 J ^ T , (33*.22)

L

I

I

'

^

= 2 - р ^ ~ Я ' Г ' -

(33*.23)

Следует

иметь

в

виду,

что для существования

интегралов

по бесконечной прямой L , понимаемых в смысле главного зна­

чения

по

Коши 1 ),

необходимо

неизвестную

плотность

co(/)

подчинить

на той же

прямой совершенно

определенным

усло­

виям

(см. Н. И. Мусхелншвили

[1], § 71). Как

явствует из

формул (33*. 19)

и

(33 *.22), дающих явное

выражение

для

и (г),

эти

условия

должны

обеспечиваться соответствующими

требованиями, налагаемыми

на заданные

функции

X(t) и

Y(t).

ши

(33*. 17),— находится

в

явном виде (в квадратурах),

после

чего из формулы

(33*.14)

и

(33 *.9) определится и вторая

иско­

мая функция W(z). Для нее мы будем иметь

У

(z) = — иф (z) — гФ' (г) — Ф (г).

(33*.24)

П р и м е ч а н и е .

Для приложений может представить интерес

случай,

когда

напряжения

в усиленной

пластинке вызваны действием

сосредоточен­

ной нагрузки (p, q), приложенной

в произвольной точке г0=х0-\-іуо,

не лежа­

щей на оси х(уо¥=0)

•

ф1

(г) =

— Р + 11

1

+ ф (г),

1

К '

2 л ( 1 + х ) г — г0

(33*.25)

V

(г) =

х (р

1

_ ~го (Р + 47)

1

i ту ( г )

1

К '

2я (1+х )

z - z 0

2я(1 + к )

( г - г 0 ) а

Ѵ

где Ф, Ч/ — искомые функции, голоморфные

всюду,

за исключением

точек ве­

щественной оси, и исчезающие на бесконечности.

В

граничные условия

(33*.10)

при f0 (0 = 0 внесем вместе Ф иг Р правые ча­

сти выражений (33*.25). Тогда

для

определения

новых

искомых

функциГі

Ф и ХУ мы придем, как и выше, к соотношению (33*.24) и

граничной

задаче

(33*.15), где свободный член f(t)

будет определяться

равенством

/(0 =

2л (1

\

v.R

v.R — 2R

2R

(i-z0)

, (33*.26)

\(/

-

г 0 ) 2

(t -

z0 )3

где R = p+iq.

В

рассматриваемом

случае

u,(x)=0,

a ѵ(.ѵ)

определяется

формулой

(33*.22) при

+

h [ тху

•txy +

i[ot

— <*v )]

+ £ с Л

0,

(33* .27)

U+' + ІѴ+'

на L ,

о!

+

irjy

=

hj_(t),

1

(33*.28>,

где hit Іі2 — заданные

-

К [t)

а 1,1

усилия,

приложенные

к берегам

разреза.

Без ограничения

общности

рассуждений

можно считать, что

3°.

Решение задачи без ребра жесткости,

т. е. зада­

чи об

изолированной трещине в бесконечной

пластинке,

легко

может быть построено методом Н. И. Мусхелишвили,

Q„ (2) =

Ф 0 ( _ Z) - 2 ФО ( - 2) -

\ \ ( - 2).

(33*.32)

Тогда, как легко видеть, справедлива

формула

Ох + ІТХУ

=

Ф„ (2) - f Й0 ( - 1) -

(2 - f 2) WJ7),

в силу чего условия

(33*.30) примут вид

Ot(t)

+ Qô(t)=h(t),

1

(33*.33)

Фо

(0 + ^of (0 = h (t) на

/. J

В рассматриваемом случае главный вектор усилий, прило­

женных к /, равен нулю и, кроме того,

по условию

задачи

функции Фо,

(следовательно, и й 0 )

должны обратиться

Й 0 ( 2 )==Ф 0 (г) ,

(33*.35)

где

X (г) =У(г

— ai)(z — Ы).

Под

X(z)

понимается

ветвь

радикала,

имеющая

при

боль­

ших \z\

вид

X(z)=---z

-!- а 0

- b ^ f i - l -

a тіод.Х(і)-—значение,

принимаемое

этой функцией

на

левой

стороне

разреза.

После нахождения

Фо

функция

Ч/о определяется

согласно

(33*.32),

формулой

Ч'0 (2) =

Ф 0

(2) -

Ф 0 ( -

2) +

гФ'о (2).

(33*36)

В частном,

но важном

для

практики

случае, когда

разрез

Фо(г)

=

2Г — Г'

(а +

b) і , Г'

2Х (z)

-т- —

(33*.37)

2Г — Г"

(а +

Ь) і

йо(2)

=

2Х (z)

2

4°. Наличие явных решений

рассмотренных выше граничных

тегральным уравнениям

с непрерывными

ядрами

и

построить

для ее решения аналог обобщенного алгорифма

Шварца.

Левые части (33*.30)

обозначим

через

u(t),

а

соответству­

ющее решение этой задачи — через Ф0

х ¥ 0 . Согласно

формулам

(33*.34) и (33*.35)

имеем

Ф

° (г>-ШЩГ))—Т=-г

(33*.38)

г1го (г)

= Ф0

(г) -

Ф0 ( -

г) +

гФ'0

(z).J

Аналогично,

обозначив

левую

часть

первого

равенства

(33*.29) через

iv(t),

где

ѵ — вещественная

функция

на о с и 1 ) ,

а соответствующее

решение

задачи

(33 *.29)—через

Фь ХѴ\,

в силу формул

(33*.17),

(33*.22)

и

(33* 24)

находим

Ф,(г)

1_

Г О [с; /]

dt,

2л

(x - j - 1 ) Й [и; f] =

] о (* — х) т] (*) cLv

(33*.39)

i

L

Ь

(

,

_

^

Л

^

,

L

L х

У .

% (2) =

- хФ\ (z) - Ф Х ( г ) - З Ф ; (2).

Решение нашей задачи представим теперь в виде

< D ( z ) = © o ( 2 ) + 0 1 ( z ) ,

1 F ( 2 ) = ^ o ( 2 ) + > F i ( z ) >

(33 МО)

где входящие

в суммы

функции

даются

формулами

(33*.38)

ральные уравнения для и и ѵ вида

и (0

- i - .f m (t,

т) Q [У (т); т] dx

=

f [t) на I,

a (t) -

Re j

[k (t, т)] и (x) +

~

[k* (t, x)} и (xjj 1,гіт=0,на L

(33*.41)

')

Нетрудно убедиться, что в нашем случае эта левая часть на самом де­

ле будет чисто мнимой величиной на оси.

15 д . И. Каландня

225

где

^ =

(у. ~і- П т - ( х - І ) /

2т

m

х-1

— z-

(х + О а

А' ( f ' т ) - ы Y W l { i + п і ) { і ~'~ ь і )

т + 1

u0(t)=h(t),

ѵо(і) = 0,

1

Un (t)

=

.f m {t, T) Q [D,,-,; T] dr,

f n (t)

=

- Re J (J- [A; (t,

T)] U„ _ , (T)

(33*.44)

. d

[k*(t;jt)}utt.-i{xydx

ô l

Ф„(2)

1

'

X{t)h'(t)dt

2niX(z)

i>

t — z

(33*.45'>

Ф2 /<(2).

2ліХ(г)

f

t - z

Л ( Ä = l , 2 , . . . ),

Y2 f e (z)

Ф2к

(г)

- Ф2ІІ

( - z) + гФ'к (г)

(Ä =

0, 1,

•) .

<Dafc + i(z)=

1

f Q

t — :

-dt,

f (33*.45")

2n l

Y 2 t + 1 (2)

хФгл-и (г) — гФ2 'й +і (z) — Ф 2

Й + 1 (г)

(А =

0, 1, .

• ) ,

hsk-i

(0 =

Ф2 *-і (0 -1- Фал-і (0 -

I Ф'к-і ( 0 -

T 2 f e _ ,

(О,

ft2ft

(0 -

- Ко Re \ ^ [хФ2 / ; (f) -

Ö^fJ)

(33* .45"')

Ф(2) =

Ф 0 ( 2 ) - Ф 1 ( г ) - 1 - Ф 2 ( г )

,

Т (г) =

¥ 0 (г) - Ч\ (г) -'- Ч'2 (z)

}

( 3 3 * " 4 6 )

и0 (/) 4- Их (0 + - • • 4- ип (/) +

• • •, 1

ох(0 + о*(0 4- . . . +и„(t) +

. . . I

( 3 3 * - 4 7 >

[Ь

)12

Г

со

-11/2

\\u\\ =

\\u{U)u(it)dt\

,

\\v\\ =

l \ \ v { t ) \ s d t \

.(33*.48)

Элементарные

оценки

операторов

в правых

частях

соотно­

шений (33*.44)

позволяют

утверждать,

что

числовые

ряды,,

составленные

из норм элементов рядов

(33*.47),

будут

мажо­

тельно, при таких

значениях

числа а ряды (33*.47)

будут

сходя­

щимися

на соответствующих

контурах в среднем,

а их суммы

ІІ и о

будут представлять

собой функции, непрерывные на I

и L . Ряды же (33*.46), дающие решение задачи,

равномерно

сходятся в любой

замкнутой области, не содержащей

точек

15*

227

а(» +

а » > = 2 [ Ф 1 ( £ ) + Ф х Ш ,

(34.1)

P2<Ü' (О ю(£ ) Фі(£ )

+ а ' (S)

где а»>, а!/), • Д О

компоненты

напряжения в криволинейных

координатах,

связанных с конформным

отображением

z = a > ( £ ) , Ç =

peад.

(34.2)

(34.3)

ром

в начале

координат.

Это означает, что функция со(£)

представима

в области 2 в виде

ряда

œ ( £ ) = tf£ + ^ + ç - H - - - - +

- ^ +

(34.4V

Напомним

еще, что функции

срі (£),

ірі (£) допускают

в той

же

области представление

(Н. И. Мусхелишвили

[1], § 50)

Фі il)

=

-

2л (1 +

х)

l n

S + ЯГ£

-1- ер* (О,

(34.5)

где

ф^ір*—голоморфные

функции,

регулярные

при

£ = оо,

а X,

Y — компоненты

главного

вектора

внешних

усилий,

прило­

женных к границе области

S.

Положим

теперь

сто -г

CTo + og,

т<і) =

тг » +

тД>,

(34.6)

где

а°, а°, т%

компоненты

н а п р я ж е н и я ^

однородном

поле,

характеризуемом

постоянными

Г и Г " ( Г = Г ) , и представим со­

отношения (34.1)

при р = 1

в виде

( а = е і

й ) ,

2 [Ф (а) -Ь TjJT^j =

а р +

ст» на у,

2 [и (а) Ф' (а) +

со' (а)-¥ (а)] =

а2 ©' (а) [а» -

стР

+

2пгр»].

(34.7)

Здесь Ф и Чт — неизвестные функции,

голоморфные

в области

2 и, на основании формул

(34.3) — (34.5), имеющие

при боль­

ших

| £ | вид

Ф(£)

(34.8)

А

=

X + іТ

А'

•л (X — і К )

(34.9)

" 2 л / ? ( 1 + х ) "

"

2 л Я ( 1 4 - х ) '

Напряжения

а°, о!} и TJ^ вычисляются по формулам

ар1

4- aï

=

2 [Ф0 (0 4- Фо (£)],

(34.10)

• о 0

2іт°

- Д ^ [ с о ( £ ) Ф 0 ( £ ) 4 - с о ' (S) ^о(С)]'

при

Ф 0

( 0

=

г І'о(0

=

(34.11)