книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

1 Г

a(a — t)da

_

1 — t2

1 Г 1 — at

da

_ 1

2яі J (1 — о7)(ст — z)

rj(zj! — 1)'

2лі J

а (а — /)ст — z

zt '

1 С ada

Q,

1

Ç

1_

z

2лi J о — z ~

'

2лі.) a (a — z)~

v

y

Под l n ^ l

i - j при

фиксированном t

понимается

однозначная

ветвь логарифма, обращающаяся в нуль при z—со.

Предыдущие

формулы дают

голоморфные

части функции ф

и і)з в следующем

виде:

:

Фо (z; t) = —p x l n f l - - ! • ) +

(33.15)

•Фо (z; t) = p

2Г

Фо (z"'"0

(33.16)

.

Отсюда на основании формул

(33.11)

для функций влияния ф

и ір имеем

окончательно

Ф (z; t) = — р ln(2 —0 +

к1п (1

zC у 1

t-(zt—\)

+

g, (z), (33.17)

Ф (z; 0 = Р

X ІП (2 — О

z—t

In

1 - 4 -1

4

гг1

y 1 z2(z/" — 1)

1 — / 3

1

+

& ( Z ) ;

(33.18)

zt(zt— I ) 2

гг

&(z) =

- "С" +

" Г '

1

(33.19)

=

Положим теперь

( L — [ 1 , а])

ф ( г ) = | ф ( г ; 0 Л т ( 1 - / ) й (г),

(33.20)

y(z) =

$ty{Z;t)dt

+

( l - / ) g 2

( z ) .

ф(2) = - ^ г

] Й 1

( 2 ; 0 т ( 0 Л - Ь ^ ( 2 ) ,

(33.21)

Q 1 (2; 0 = - I n ( z - 0 - x l n ( l - ^ - ) -

a 1

zi j

/ (z^ — 1)

Q 2 ( 2 ; 0 = x I n ( 2 - 0

+ T

? T + l n ( l - ^ - ) +

(33.22)

+ z 2 ( z i — I )

1 - І 2

zC(zi — l ) 2

zï '

x(x)

=2np{x).

(33.23)

- ( 1 + х) т (x) = rty (x, 0) -

(x, 0).

(33.24)'

3°. С в е д е н и е к и н т е г р а л ь н о м у у р а в н е н и ю . По ­

тенциалы ф и ар, как видно

из самого их построения,

удовлетво­

ряют граничному условию

(33.9) при любом т. Легко

убедиться,

Составим с этой целью ядро

выражения

— хер (г) +

гф' (г) -f-

+op(z) при z=x.

Для него из формул (33.22)

после

элементар­

ных вычислений

находим

Q {x,t) = 4r[-<Z;')-;-2Q<(Z;0

+ É № 7 ) ] 2 = ,

= - ^ - [x [In (x - t)

+

ln(x-t)}

+ (x2 - f 1) In (l

-

± )

+

_

1 -

s2 ]

1

( * 2 - l ) ( l - < 2

)

1

- i - xt)

t3

x*

J**—i~r

xt(xt-iy-

~

xt

j '

dxfx

~пТni

І П

(* - 0- /т- ч(0- /Ä" - =— - т><*)w

+!

- і

j

Т x

Ш

_ ~

л

Г

t

(33.26)

d

1

L

L

f1 ln (x - 1 ) X (t) dt = T (x) +

^

J

,

dx

ni

справедливыми всегда, когда функция х{х)

непрерывна

по Гель-

деру на интервале

(1, а ) .

ф

В соответствии

со сказанным получаем

± j

Q {x, t) x (0 Ä = - L J J - ^ - f - A i e

( X i

W

(33.27)!

14*

211

емого воспользуемся формулой

(33.27), приняв также

во внима­

ние обозначения

(33.19). В результате весьма несложных вычис­

лений мы приходим к следующему

соотношению:

1

2л

L

L

где

К

(x, 0 = - "5Г 37 * (*. 0 - 2іЛ0

Я (x - t),

(33.30)

/ W - - ^ - i - ^ ) - ^ ( i - K

^

+ 7 ) - Ä . C 3 3 . 3 i )

*о = *

^

^

(33.32)

Н{и)

=

] при ы > 0 ;

Я(и) = 0

при и < 0 .

(33.33)

плотности т(х) комплексных потенциалов1 ).

4°. С х е м а

в ы ч и с л е

н и я. Ч и с л е н н ы е

р е з у л ь т а т ы.

Линейным

преобразованием

z = a C - b ß ; « = 4" '

l 5 = - F + 1 '

< 3 3 - 3 4 )

где

/ — длима

стрингера,

отрезок

L = [ l , с] перейдет в

отрезок

[ — 1, 1] на плоскости £ =

£+г 'ч> а

окружность Ы =

1 обратится

9

о

в окружность радиуса — с

центром в точке £ = — 1

j .

Уравне­

ние

(33.29)

преобразуется

при этом к виду

1

-

1 ^• nр- g-

г •

42яг .(' A d . T l j T ^ r f n ^ d )

( - К

£ <

1),

(33.35)

1

- 1

') Во всех почти исследованиях, посвященных изучению

модели «стрин­

гер — пластинка», ставится задача об определении

одной единственной

функции

-т:(х),

а вопрос о напряжениях в пластинке вне отрезка L , как правило, не об­

суждается. Как видно из изложенного выше

(см. еще след. пункт),

все эле­

менты упругих полей в пластинке и стрингере

могут быть выражены

через

і(.ѵ)

с помощью определенных

интегральных

операторов,

позволяющих

довес­

ти решение до численных результатов.

k(t

і і ) = М і . ï ] ) - 2 ^ t f ( ë - r | ) ,

(33.36')

М 6 . Ч ) = -

І

*

(Б. л) =

-

{ ( * ' +

i - - f M

і ! 2

1

Л 2 j

Jrf

-г

/2

'

г "хну

{ 6 6 - Л Ь >

r(x)=x(l),

K(x,

t) =K(l,

r,),

/ ( * ) = / ( ! ) :

(33.37)

x = a l + ß ,

f = a r ] + ß ;

Я = с й 0 .

(33.38)

ствование у уравнения

(33.35)

решения т ( | ) , принадлежащего

на [ — 1, 1] классу Я*

(см. §2,

п. 1). Это означает, что функция

видным, что искомая функция х(х) должна на правом

конце

отрезка L = [ l , а]

иметь тот'же порядок

сингулярности,

т. е. в

окрестности х = а

она должна вести себя

как О ((а—x\~h).

На

*№ = Ѵт=іг°№'

( 3 3 - 3 9 )

9

1 л;

/ п = - 1 , 2 , . . . , / г .

l m = cosftm, ft m = ^'\п

порядка

я—1 и имеет вид (13.4).

PI мее м

1

I

т (ч)rf'l=

1 + S Ç тп (r|)

rfn

__]__ г T0 (i]) dr|

. g

4 0

2л J

il—s

2л J ^ / i — i f N — 2, Г

2л ^ i ' i — ^ " 1

' '

Сингулярный интеграл в правой

части

предыдущего

равенства

лу применим квадратурную

формулу типа Гаусса (см., напри­

мер, И. П. Натансон [1], стр. 614):

1 г

F(l)dl

- 1 '

s

v=l

"

о

2 а < " ѵ Т ѵ = / л » ni = 1,2,..., п.

(33.43)

н-1

$

x

ф

2 У cos ß

v sin j $ n

= ctg

"' 2

y ;

верхний знак берется в

случае,

когда

число | m—ѵ| нечетно,

_

1

- I - ctg % c t g d m + ®у 4- ( i +

cos r}v)/e(cos Ьт, cos

a " ! V -

"2T" 1

(33.44)

После решения системы (33.43) решение уравнения (33.35)

представится

в виде (33.34), где под т 0 ( | )

следует понимать по­

лином

(13.6), составленный по числам т,°.

Имея в виду известную

формулу

часть

2 )

r = 4 R e q

±і.

(33.45)

вычислим ее правую

при z = — 1,

O f l + o

/ ( z )

Из первой формулы (33.21) дифференцированием по z на­

ходим

L

(33.46)

Функция q/(z), очевидно,

голоморфна

всюду

при

| z | > l , за

исключением точек

отрезка

L . Легко убедиться, что в точках

z = + i функция cp'(z) имеет

одни и те же вещественные части,

и общее их значение

равно

Recp'(z) = J - - f m(t)x{t)dt

+ T— T',

при

z = ± i

, (33.47)

L

1 )

Нуль принимается за четное число.

2 )

Не забудем, что по условию задачи иа обводе отверстия а г = 0 -

1, m

i

О

3

-I

5

6

7

S

9

10

• о(1>

2,5863 2,1825 1,9072 1,7228 1,5943 1,5011 1,4309 1,3766 1,3335 1,298&

"о-

2,5863 2,6391 2,6654 2,6810 2,6911 2,6983 2,7037 2,7078 2,7111 2,7138

Т а б л и ц а 2

/, m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2,5543 2,1220 1,7983 1,5590 1,3779 1,2374 1,1258 1,0354 0,9609 0,8987

ст(2>

2,5543 2,6214 2,6551 2,6750 2,6880 2,6973 2,7041 2,7094 2,7136 2,7170'

В этих таблицах

оѴ обозначает значения о> при параметрах

первого варианта, а

о»' — те же значения для второго

варианта.

П р и м е ч а и и е. В диагональных членах

системы

(33.43)

согласно запи­

си

основного уравнения

в виде (33.29)

появляется

функция

Хевисайда И

с нулевым аргументом (она содержится

в последнем

слагаемом

правой части

формулы

(33.44)

при т=ѵ).

При вычислениях было

принято #(0) =

1/2, что

равносильно применению для квадратуры

интеграла

я

j (1 + cos ft) То (cos ft)

in

правила

трапеции.

Ввиду сказанного, точность применяемых выше квадратурных формул не

всегда высока. Поэтому

для получения

приемлемых

результатов

вычисления

необходимо в системе (33.43)

брать число я достаточно

большим (порядка 30,

40). Вычисления

проводились

на ЭВМ М-220

мл. науч. сотрудником

Институ­

та

прикладной

математики

Тбилисского

государственного

университета

H. Н. Джгаркава. Счет

занимал примерно 10—15 минут машинного

времени.

§ 33 *. Усиленная ребром жесткости

пластинка,

содержащая изолированную трещину

Задача об усилении

пластинок

становится

особенно

сложной

в случае, когда в зоне усиления основания

среда имеет

дефекты

в

виде

отверстий, надрезов, трещин и т. п., и тогда

приобретает

внешних сил не приложено, напряжения

и

вращение

исчезают

на бесконечности, а к берегам разреза

приложены

заданные

усилия.

Следует иметь в виду, что левый

и

правый берега (по

также необходимо различать друг

от друга и

приписывать

к относящимся к ним величинам соответствующие

знаки плюс

и минус.

1°. Рассмотрим сначала задачу без трещины. Будем считать,

что пластинка подвержена действию

распределенных усилий X,

Y, непосредственно приложенных к оси кольца, и что

напряжения

•и вращение исчезают на бесконечности.

предыдущей сноске работе двух авторов. Укажем еще на

работу Блума [1],

•где рассмотрен случай (прямолинейного и бесконечного)

клепанного стринге­

ра в пластинке с круговым отверстием.

Условие равновесия стрингера, прикрепленного к

пластинке

по всей его длине, получится из

формул (31.1) и (31.1а) путем

предельного перехода при dx-*-0,

если

дополнительно

учесть в

этих равенствах

внешние

усилия

Х(х) и Y(x).

Мы будем иметь

h [ rty - х7у + і [ 4

- о 7 ) ]

+ X (х)

-!- IY (х)

+

+

~N{x)

= 0

на L .

(33*. 1)

и+' Ar іѵ+' = иг'

A- w-' на

L ,

(33*.2)

где знак ' обозначает дифференцирование

по х. При пользова­

нии

условиями (33 *.2)

во

всем

дальнейшем будем

подразуме­

вать

справедливость

равенств

( ЙГ

+ ' ( Е Г

+

( З З ' - З )

Условие же (31.3) относительно удлинений, а именно,

на основании приведенной выше формулы N=EQS0e,°

дает с уче­

том

формулы (33 *.3)

^-N(x)

= E

0 S 0 d ^ - .

( З З М )

Следовательно, условие

равновесия

стрингера (33*. 1) примет

окончательно вид

h [ т+

- т7у + і [ о + -

о7)]

А- X (x)

-!- ІУ

(x) +

EQS0

= 0 на L .

(33*.5)

ставления

компонентов

смещений и напряжений

приводят

задачу (33*.2),

(33 *.5)

к определению

кусочно-голоморфных

функций

Ф (г),

W (z),

имеющих в качестве линии скачков всю

вещественную ось L

и

удовлетворяющих

на ней

граничным