книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Соотношения (31.16) и (31.17) позволяют исключить из гра­ ничного условия (31.6) функцию і|э и свести нашу задачу к оп­ ределению одной-едпнственной функции cp(z), кусочно-голо­ морфной в области 5, по граничному условию

где X обозначает скалярную величину суммарного вектора внеш­ них усилий, приложенных к разрезу L ,

задачи, допускающим для производной ф'(г) в указанной окре­ стности сингулярность порядка ниже единицы. В силу пред­

Если граничные значения функции cp(z) и ее производной, определяемые формулами Сохоцкого — Племеля, подставить в условие (31.18), то после элементарных вычислений найдем для со(0 уравнение

- со (0 -V Л ! nt

200

легко находим

Отсюда для нормальной силы N{x) в сечениях стрингера будем иметь предельное равенство

В вещественной части равенства (31.4) перейдем к пределу при .ѵ-усо и учтем формулы (31.22) и (31.25). Тогда получим соотношение, определяющее величину главного вектора сил, действующих на стрингер со стороны пластинки, в виде

Отсюда получим равенство

4 - Тад = - О -Ь 1 ) Im {ф'+ (/) - Ф'- (01,.

Используя предыдущее соотношение, представим веществен­ ную часть равенства (31.4) в виде

- h (х + 1 ) [v (x) - v (0)] -!- р0 - f E0S0 Щ+ = 0 при x > 0.

Переходя здесь к пределу при х->-ао и учитывая еще соотноше­ ние (31.25), найдем

>

исчезнут, и уравнение это распадется на пару вещественных уравнений вида

ѵ(0 подчинена дополнительному условию (31.28).

Уравнение (31.29) и есть интегро-дифференциальное уравне­ ние нашей задачи.

В частном случае, когда упругая среда не подвержена воз­

и, следовательно, возникшее в пластинке поле напряжений будет всюду однородным. Замечая, что

3 —v

где v обозначает коэффициент Пуассона, условие однородности поля можно записать в следующей более простой форме:

') См. примечание в конце предыдущего параграфа.

2.02

§ 32. Решение интегро-дифференциального уравнения

Интегро-дифференциальиые уравнения задач, полученные в двух предыдущих параграфах, вполне одинаковы по форме и имеют вид

Хопфа. Наряду с уравнениями (32.1) введем в рассмотрение следующее интегро-диффереіщиальное уравнение:

-І-оо

Ниже мы будем пользоваться аппаратом интегралов Фурье. Условимся обозначать функции малыми буквами, а их преобра­

203

Кроме того,

Производя преобразование Фурье над обеими частями пер­ вого из равенств (32.2) и принимая во внимание соотношения (32.5) и (32.6), будем иметь

Функции G(t) и B(t) в силу их определения будут представ­ лять собой предельные значения функций G(z) и B(z), голо­ морфных соответственно в 5 + и S~. Поэтому предыдущее равен­ ство можно записать и так:

Таким образом, для определения искомого преобразования Фурье G (t) решения уравнения (32.2) мы получили задачу ли­ нейного сопряжения (32.7) на оси.

Коэффициент при G+(t) в формуле (32.7) представим в виде

и введем в рассмотрение каноническое решение X(z) вспомога­ тельной задачи линейного сопряжения:

Легко убедиться, что X(z) удовлетворяет граничному условию (32.8), не обращается в пуль нигде, включая вещественную ось, и при \z \ -^оо в замкнутых полуплоскостях имеет значения

Вычислим предел функции Gi(z), когда точка z удаляется в бесконечность, оставаясь все время в верхней полуплоскости. Для облегчения вычислений произведем в выражении (32.14) замену переменной z, а также замену переменной интегрирова­ ния подстановками

Преобразованием (32.15) верхняя полуплоскость плоскости z перейдет в верхнюю же полуплоскость плоскости £, веществен­ ная ось — в вещественную, а окрестность бесконечно удаленной точки — в окрестность точки £ = 0. Равенство (32.14) преобразу­ ется при этом к виду

исчезает на бесконечности. Граничные ее значения G о {t) будут представлять собой преобразование Фурье искомой функ­

ции v'(t):

Предыдущее равенство полностью определяет искомое реше­ ние ѵ(0 уравнения (32.1).

205

Следовательно, решения граничных задач, рассмотренных в двух предыдущих параграфах, даются формулами (30.14) и (31.20), где cpo(z)—кусочно-голоморфная в области 5 функция,— пред­ ставляет собой интеграл типа Коши по полупрямой, плотность которого определяется обратным преобразованием Фурье (32.19).

Задача о полубесконечном стрингере решена, таким образом,

взамкнутой форме 1 ) .

§33. Влияние стрингера на распределение напряжений

около кругового отверстия

Рассмотрим упругую пластинку в форме бесконечной плоско­ сти с круговым отверстием. Предположим, что пластинка усиле­ на прямолинейным стрингером (упругий стержень), непрерывно прикрепленным к пей в радиальном направлении и выходящим одним концом на обвод отверстия. Край отверстия предполага­ ется свободным от внешних усилий. На одно из оснований стрин­ гера, а именно на то, что у отверстия, действует осевая нагрузка, а пластинка подвержена на бесконечности воздействию растяги­ вающих усилий в направлениях оси стрингера и ему перпенди­ кулярном. Относительно пластинки и усиливающего ее стрингера мы полностью сохраняем предположения §§ 30 и 31. Пластинка деформируется в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, а упругий стрингер постоянного поперечного сечения трактуется как одномерный континуум, лишенный нзгибной жесткости.

Радиус отверстия, простоты ради, принят равным единице. Отнесем поверхность пластинки к плоскости переменной z=x-\-iy, поместим центр отверстия в начале координат и расположим ось стрингера на отрезке [1, а] вещественной оси (рис. 4). Осевую нагрузку на конце стрингера обозначим через ро, а растягива­ ющие усилия в направлениях осей х и у соответственно через Р и Q.

Для механических и геометрических характеристик пластинки и стрингера сохраним прежние обозначения. Дополнительно вве­

Отправляясь от уравнения (31.30) и применяя к нему преобразование Меллнна, названный автор приходит к конечноразностному уравнению в полосе плос­ кости вспомогательного комплексного аргумента. Это уравнение решается в

206

1°. Г р а н и ч н ы е у с л о в и я . Часть граничных условий на­ шей задачи будет заключаться в равенствах (31.6) и (31.7), вы­ ражающих условие равновесия любой конечной части стрингера

1 *

Рис. 4.

и учитывающих непрерывность упругих смещений при переходе через линию сопряжения и равенство между собой деформаций удлинения пластинки и стрингера вдоль той же линии.

Эти условия имеют вид

а ф(г), гр(г)—комплексные потенциалы задачи, представляют собой функции, кусочно-голоморфные в области вне отверстия с линией скачков L , L—[l, а].

Как и в § 31, положим

Х( г ) = г Ф ' ( 2 ) + ^ ( 2 )

иперепишем формулу (33.2) в виде

207

следовательно, голоморфной функцией во всей области вне кру­ гового отверстия.

a разность в левой части формулы (33.1) представится в виде Q- [t,}) - Q+ [t, t) = ( 1 - x) Re (cp- (/) - ф+ (0} +

- М ( 1 + * ) Im {cp- ( 0 - ф + ( 0 ) .

Уравнение (33.1) распадется теперь на два (вещественных) уравнения. Одно из них имеет вид

нии сопряжения эквивалентны двум вещественным равенствам

Для решения задачи мы воспользуемся методом функции вли­ яния, изложенным применительно к упругому полукругу в § 29 1 ) .

2°. П о с т р о е н и е п о т е н ц и а л о в cp (z) и яр (z). Из-за на­ личия стрингера в точках х из отрезка L , где стрингер сопряжен

•') Задача о передаче усилий от стрингера к пластинке в случае, когда стрингер выходит одним концом на свободную границу полуплоскости, не­ давно исследовалась в интересной работе Муки и Стернберга [2]. Исследова­ ния задачи у этих авторов сопровождается с обстоятельным обзором резуль­ татов ряда других работ, относящихся к тому же кругу вопросов. В конце статьи помещена довольно обширная библиография.

208

с пластинкой, возникнет дополнительное усилие q(x), направлен­ ное по оси X. Величина его равна

напряжения, приложенного к линейному элементу dx, прилега­

нии теоремы и интегральной формулы Коши. Для удобства чи­ тателя выпишем ниже все необходимые формулы. Имеем (\z \ >