книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

A=-±4£q/D,

32

B

=

-4äQ/D.

(29*.31)

"

~~

16

(1 4- ѵ) [Ф (г) -и а0]

V ±

f

+

dt = Л 4- g (г),

(29*.32)

V

5

dt

g (г)

2яі J

i — г

Постоянная

Со=ф(0)

в силу

первого из условий

(29*.22)—ве­

щественна.

Полагая при |z| < 1

Ф (г) = S

a„z\

(29*.33)

il-о

представим

уравнение

(29*.32) в виде

со

сс

со

2 (1 4- V) а0

4- (1 - f v) V

anz»

~

V Q„z'< =

Л • ; • ѵ

g„z'\

(29*.34)

л=1

;і= 0

11-0

Q" = ЧГ \ Q W ' " " " ' ^ '

= 2л7

(

(2 ^-35)

y'r

y;"

._

СО

V

i

f t

h

]

на

v+.

(29*.36)

Q (0 =

2 J ^[af t

4- akt~

Предполагая

законность

почленного

интегрирования по ч +

ряда

(29*.36), воспользуемся

формулами

(25.12) и сравним

между

собой коэффициенты

при z" в обеих

частях

равенства

(29*.34). В результате придем к системе уравнений:

2 ( 1 + ѵ Н + - ^ 2

kbk(flk-ak)=A

+

-

2 '

м

fc=i

(14-v-fn) ал

4 -z-У, AôA_„flft

— -т- S

Aôfc+„aA

(29*.37)

ft=l

ft=l

=

( » > ! ) .

штрих над символом

Б означает, что при

суммировании про­

пускается значение

k=n.

Введем, ради некоторого удобства, новые неизвестные,

2а0=ао,

kah = ah+iß„,

k^l,

и отделим в (29*.37)

действительные части от мнимых. Тогда

бесконечная система

относительно а „ , ß„ примет вид

(1

- I - ѵ) а 0 -і-

+ 1 ) а„ +

^

(б*-„ -Ь ôfc.,.n) ßf t = О,

(29*.38)

Ч г + 1 ) ß« + 4 g' , (б*-и< - ö*-«) а* = ^ 6Я

( п > 1 ) .

|ôft-n+ôf t + „| <Сл,

\8к-п—ôA+„ J < Ж

при любых k и п, кфп.

Ввиду отмеченных свойств

системы (29*.38) коэффициенты

ходить все остальные, и потому усеченную систему

целесообраз­

но решать

методом итерации,

если, разумеется,

он

сходится.

После

определения

решения (29*.38) искомая

функция

ш(.ѵ, у) согласно

(29*.27)

представится в виде

w(x,

y)=2Re

{zz-l)q>(z)}

+ W(z, z).

II. ЗАДАЧА ОБ УСИЛЕНИИ

ПЛАСТИНОК

В условиях обобщенного

плоского

напряженного

состояния

ной ребрами жесткости. Под ребром жесткости

подразумевается

криволинейный упругий стержень

постоянного

сечения (вообще

говоря, из другого материала),

непрерывно

прикрепленный

области.

Пластинки с ребрами жесткости находят широкое примене­

ние

в инженерной

практике, особенно

при

изготовлении лета­

тельных

аппаратов.

Изучению усилий,

передаваемых

пластин­

ке

через

ребро жесткости, было уделено

должное

внимание

упругистов, ему посвящено значительное число работ

советских

и зарубежных авторов (например, Меіап

[1], Buell

[1], San­

ders Jr. [1], Brown

[1], Koiter [1], Грейф

и Сэндерс-мл. [1],

M . П. Шереметьев

[4], Г. H. Савин, Ы. П. Флейшмаи [1],

H. X. Арутюнян [1], IT. X. Арутюнян, С. М. Мхитарян

[1, 2] и

др.).

ние вместе с тем необходимых численных

расчетов.

Наш подход

существенно отличается

от ранее применяемых

и позволяет в

случае полубесконечного

стрингера построить

')

О чем будет сказано ниже в соответствующих местах.

2 )

Эта задача

решалась

в разное

время в упоминавшихся выше работах

Бюеля

(Buell [1])

и Коіітера

(Koiter

[1]). Решение ее в конечном

виде

было

дано в работе

А. И. Ка.таидия

[13], которая и воспроизводится здесь

почпі

без изменений.

В топ же работе

Койтера, а также в работе Броупа (Brown

[1]),

изучена,

кроме того, несколько

другая задача об усилении

пластинки

(см. §31) .

3 )

При более

точной модели стрингера, когда оіг обладает еще и изгиб-

изгибной жесткости ребра проведено в недавней работе Муки

и Стернберга

[1], посвященной в основном обсуждению известного решения

Мелапа (Me­

lau [1]).

Пусть

Е и V — упругие постоянные

пластинки,

Е0—модуль

упругости

стержня, /г—-толщина

пластинки, So— поперечное

сечение стержня, предполагаемое постоянным.

Часть

границы полуплоскости

левее

от начала

координат

0 ^ = ^ = 0 при х<0.

(30.1)

рй

— h j %xydt - I - kax = 0,

— h \ oydt = 0 при x > 0, (30.2)

где

о

b

k

=

F <s

£ '

Эти два равенства вместе дадут

X

р 0 - It j (тп ,

- ш¥ ) dt + kax = 0

(x > 0).

(30.3)

о

Воспользуемся теперь известными представлениями

Колосо­

в а — Мусхелншвили (1.2)

-о, + <г, = 2 [ср' (г) -!- ср' (г)], ау - а, + 2іхху

=2

[гср" (г) + я|/ (г )],

и формулой Н. И. Мусхелншвили (1.6)

(30.4)

— і f (Try -'- »ffv)

= ф (t) -! ttflt)

4-

tyffî+ const.

(30.5)

Ha основании этих

формул краевым

условиям (30.1), (30.3)

-

•Ф ( 0 4 *Ф'(9

= 0

.

(*<0),

(30.6)

іРо + Л ІФ (0 + > ' (0 -Ь -Ф (01 +- ik Re [ф7

(0 4- Ф' (0 -

- t V W - W V ) \

=

o

( * > ° ) -

(30.7)

По физическому смыслу задачи совершенно ясно, что напря­

жения

не

будут ограниченными в

замкнутой

полуплоскости.

')

Вывод этих уравнений дается

ниже в более

общем

случае

(см. следу­

Подсчитаем

главный

вектор

внешних

усилий,

приложенных

к границе полуплоскости. На

основании

формул

(30.1) и (30.2)

имеем

СО

СО

X =

j xxydt

=

,

Y = j

aydt = 0.

(30.8)

—со

—со

(P(2)=-Wlnz

+

(?),

Ч> (г) =

2^ In z +

Ч>0 (г),

(30.9)

где

фо(г),

яро {z)—голоморфные

в

полуплоскости

функции, до­

пускающие

асимптотику

9 ( z ) = o ( l ) + c o n s t ,

ip 0 (z)=o(l)+const .

(30.10)

Согласно нашему

предположению о

характере напряжений

в окрестности точки z=0

граничные значения функции w'(z) мо­

гут допускать в этой точке сингулярность порядка

ниже единицы.

Наряду с нижней полуплоскостью, которую мы сейчас обоз­

начим через S - , введем

в рассмотрение верхнюю

полуплоскость

S+

и, следуя Н. И. Мусхелишвили

([1],

§ 112, формула

(16))

распространим определение функции w(z)

на S+, полагая

Ф (z) =

— щ' (z) — яр (z)

при

z в S*.

(30.11 )

На основании граничного условия (30.6) функция

(30.11),

голоморфная в 5 + , аналитически продолжает значения

комплекс­

ного потенциала ф(г) из 5~ через

полуось ( — с о, 0). Доопреде­

ленная таким образом функция, которую

мы

снова

обозначим

через ф(х), будет кусочно-голоморфной в области S, представ­

ляющей собой всю плоскость 2, разрезанную

вдоль

полуоси

(0,

о о ) . Через нее из

формулы

(30.11) может

быть

выражена

функция ар (г) в следующем виде:

яр (z) = — ф (г) — гф' (г)

при

г в

S~.

(30.12)

Формулы (30.11) и (30.12) позволяют утверждать, что пред­

ставление (30.9) справедливо и для кусочно-голоморфной

функ­

ции ф (z).

Функции •ф(і),

(вернее, ^~{t),

в граничных

усло­

виях

(30.6), (30.7)

заменим

их значениями (30.12). Тогда эти

условия

примут вид

.

Ф~(0— Ф + ( 0 = 0 » П Р И

^<°>

(30.13')

ip+fi[Ф-(0

- ф + (t)

] +ikRe[cp'+

(t) + 3 ф ' -

(0 ] — 0, при

і>0.(30.13")

Для решения этой задачи положим в области

S

ф(г)

=

- ^ 1 П 2 +

Ф О ( 2 ) ,

(30.14)

со

,

x

I Г OÙ (т) dx

/ o r

v .

о

где

(ù(t) = \i(t)-\-iv(t)—новая

искомая

функция

на

[0,

о о ) , а

под

In z

подразумевается

определенная

ветвь

этой функции,

своим концом

^ = 0

и, что (ù{t)

принадлежит

классу

L v [0, оо)

при некотором р > 1 , a <a'('0 —классу

L [0, о о ) . Имеем

% Ф

ШГ-гШ] ^zrr .

(30.16)

о

< P

± ( t ) = ± ^ a {

i )

+

^

^

,

(30.17)

о

*

№

= -

Ш

±

" Г » '

+24іj

(30.18)

о

функ­

Если предыдущие выражения

для граничных значений

(О

І И * .

ции ф(г) и ее производной внести в формулы

(30.13)

и

учесть

при этом, что

(0

[ I n - -*--c ù ( 0 - i X = - o ) ( 0 - ^ ; ,

получим

=

- fi)

-

ф - (/) - ф+ (t)

ІП+ /] =

».(0 + a j î I £ ± ! M

+

w _ Л

=

о.

(30.19)

13*

195

тад =

ѵ'(0

Ѵ> 0).

(30.20)

Обратимся теперь к первому равенству

(30.2). В силу соот­

ношения (30.20) оно примет вид

Po—h[v(x)—

v ( 0 ) ] + £ o , = 0

( х > 0 ) .

ѵ(0) =

— ( 3 0 . 2 1 )

с с

ѵ ( і ) - ^ г \ Ѵ - ^ = Т

= °

Ѵ>0),

(30.22)

где

Х = 24 = 2

^ .

(30.23)

1 ~ TT ~

Ш

П р и м е ч а н и е. Уравнению

(30.22)

легко

придать

вид неоднородного

сингулярного интегрального

уравнения.

В самом

деле,

из равенств (30.20)

и (30.21) следует

о

Внося это выражение вместе с (30.20) в уравнение

(30.22),

находим

СО

_

t

r # - j ' ^ - ' - f - = °-

(3 0 -2 4 >

о =

сI

-

'

Уравнение (30.24) из других соображении бьіло получено в цитированной

выше работе Койтера (Koiter

[1]).

Пусть неограниченная

пластинка,

заполняющая

всю

плос­

кость комплексного переменного z=x-\-iy,

усилена

сплошным

стрингером, непрерывно

прикрепленным

к ней вдоль полуоси

х > 0 . Предположим,

что на кончик

стрингера в точке

z=0

действует та же осевая

сила р0 , и, кроме того, среда

подвержена

вающую силу в

сечении

стержня

N, нормальное

напряжение

в стержне а°, и относительное

удлинение оси стержня е°. Мы

будем различать

друг от друга

левый и правый (по отношению

положительного

направления оси х)

берега оси стержня и при­

писывать условно величинам, относящимся к этим

берегам, зна­

ки плюс и минус

соответственно.

Рассмотрим часть стрингера, заключенную между двумя его

сечениями с координатами

х и x-\-dx,

и вычислим

компоненты

главного вектора

внешних

усилий,

приложенных

к ее поверх­

возрастания у , в направлении

оси х действует

усилие hxty dx,

а на противоположную грань

у с и л и е — h i ^ d x .

На основаниях

ные— N(х) и N(x-\-dx).

Следовательно,

проекция

на

ось х

всех сил, действующих

на выделенную часть

стрингера,

будет

h [rfy — т^] dx + N {x + dx) — N

(x),

и условие равновесия дает

h [xty — хГу] dx -'- JV {X + dx) — N(x) = 0

при x >

0.

(31.1)

о~у—Оу~~ = 0

при

х>0.

(31.1а)

Предыдущие два равенства, вместе взятые, если

учесть, кро­

ме того, что

N(x)=—p0

при х - 0 ,

дадут условие равновесия любой

конечной

части (0, х)

стринге­

ра в виде

x

h \ [{xtu + ioj) - {хГу + toy")] dt +

Po

- i - N (x) =

0.

(31.2)

b

в первом из НПХТ.ѴѴ — aj

0 при всех x > 0 , и принять также

во внимание, что

N(x)—kox.

ди

при переходе через

ось стрингера. Условия

удлинения 8д- = ^

непрерывности имеют вид

и+ + іѵ+ = и- +

iv-, ft = F 7 = s0

(при x > 0). (31.3)

h f [(т+,

+

і&у) -

[т7у -!• іоу)]

dt

-|- Р о

- I - E0S0

( g ) 4 ' = 0

( - 0 0 ) .

,

(31.4)

Соотношение (31.4) вместе с первой группой условий (31.3)

определяет граничные условия нашей задачи.

Воспользовавшись

по-прежнему

формулами

(30.4)

и

(30.5),

а также формулой

комплексного представления смещении (1.3):

2р. (и - i -

іѵ) =

КФ (г) -

2ф' (2) -

фіг),

(31.5)

мы можем представить граничные условия задачи в виде

Q- (t,

t) -

(t,

t) л- ІК0

Re [хф'+ (t)

-

-

¥4t)

-

t^+W) -

ip+Tô] +

iJr

= o,

(3i .6)

У.Ф+

(t)

-

tq/+

(t)

-

(t)

=

х ф - (0 -

* Ф ' ~ - (/")

-

(Z)

(при

/ > 0 ) ,

(31.7)

где введены

обозначения

Q (2, 2) = ф (2) -\- Z^JF)

4- ІІІТ,

Л'о =

•

(31.8)

Таким образом, мы приходим, к задаче определения

функций

ф(г),

\y(z),

аналитических

в области

5,

представляющей

собой

всю

плоскость

z,

разрезанную

вдоль

полуоси

L(x^>0\

у=0),

по граничным условиям (31.6)

и (31.7).

Функции ф(г) и і|з(г), разумеется, кусочно-голоморфны в об­

ласти S, и согласно нашему условию,

налагаемому на поле на-

<р(г) =

-А1пг +

Тг+<р0Щ

У(г) =

хАЫг-\-Гг

+ %(г), J

Г = ^

,

Т ' =

^

,

(31.10)

а

фо, іро— также кусочно-голоморфные

в 5 функции,

допускаю­

щие асимптотику

<po(z)=o(l)+const, ip 0 (z)=o(l)+const .

(31.11)

Положим в области 5

» / ( г ) = г Ф ' ( 2 ) + я | , ( 2 )

(31.12)

и запишем условие (31.7)

в виде

кф+ (0 -!- уг (0 = х ф - (/) ! - x " (0

па

L

или, что все равно,

* Ф + (0 f Х + (0 = * ф - (0 -і ОС" (0

па

L .

(31.13)

'

Функция у.ф(•?)+х (z)

на основании

формул (31.9) — (31.11)

имеет при больших \z\ вид

«Ф (2 ) -!• X (Г )

г

j - о (1) -f- const,

*Ф (z ) +

X (г) =

Я* +

const,

(31.14)

где

ß = * ± 3 Q +

Î L p i я

( 3 1 Л 5 )

4 ^ 1

4

Из формулы (31.14)

находим

X"1" (0 =

— и ф _ (0 + Bt -V const,

(31.16)

Х - (/) =

— иф+ (/)

В/1 ~- const.

Имеем,

далее,

Uf+

(t)

+

(О = х'+ (0 -

Ф'+ (t)

-

-

х ф ' - (0 -

Ф ' + (0 + В,

W-

(t)

+

(0 = х ' - (0 -

Ф ' - (0 =

-

«Ф'+ (0 -

Ф' - (0 + в. j

(31.17)