книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

усилиям. Граничное условие для функций ср и ір имеет вид

где/і+г/г — заданная функция точек границы L:

M * ) 4- i?a (s) = i J , ( X l , + (T,1 )ds>

о

причем £ обозначает аффикс точки на L , a s — ее дуговую абс­ циссу.

Вторая основная задача требует определения упругого равновесия тела по заданным смещениям точек его границы. Для определения функции ср и гр мы будем иметь согласно формуле (1.3) граничное условие

смещений п напряжений, когда на одной части границы тела

и касательной составляющей Т вектора внешнего напряжения. Граничные условия задаются в форме

тела с жестким профилем заданной формы, когда контакт меж­ ду телами происходит без трения ' ) . На основании формул (1,.2) и (1.3) нетрудно записать условия (1.9) в комплексной форме.

Граничными условиями основных задач функции ср и ір определяются не вполне однозначно. Например, в случае конеч­ ной области, содержащей внутри себя начало координат, их

') Для приложении, разумеется, более интересен случай, когда контакт между штампом и упругим телом происходит вдоль некоторой части границы последнего. В этом случае задача относится к числу смешанных.

10

Функции ф и і|) часто носят название комплексных потенциа­ лов Колосова — Мусхелишвили.

В случае конечной области S, ограниченной одним замкну­ тым контуром, функции ф и г|) голоморфны по z. Когда область бесконечна и содержит внутри себя бесконечно удаленную точку,- комплексные потенциалы будут, вообще говоря, иметь особен­ ности в точке 2 = со и допускают в ее окрестности представление

внешних усилий, приложенных к границе области. Две другие

второй и смешанной задачах их следует задавать заранее. Иначе

равносильны между собой. Разница между ними не существен­ на и заключается в следующем1 ). Для конечных областей в слу­ чае первой задачи правые части условий (1.7) приходится подчи­

В бесконечных же областях, как отмечалось выше, во второй задаче следует дополнительно задавать составляющие главного вектора внешних усилий, приложенных к границе, а в первой задаче эти составляющие заданы согласно самим граничным условиям.

') Разница в случае миогосвязных тел с точки зрения общей теории граничных задач также не представляется принципиальной.

11

Поэтому термин «плоские задачи» часто заменяют термином «плоская задача», подразумевая под этим первую основную задачу.

2°. Наиболее эффективные способы решения плоских задач, развитые в работах Н. И. Мусхелишвилн и его последователен, основываются на применении аппарата теории функций комплек­ сного переменного и существенно используют конформное ото­ бражение данной физической области на единичный круг плоско­ сти вспомогательного переменного. Ниже приводятся основные соотношения в криволинейных координатах, связанных с задан­ ным отображением

12

Приведем еще одну формулу, получаемую из (1.16):

ар - і т р в = Ф (Ç) + ФЩ - 4 ^ = [^ЩФ' (£) + со' (Ç) Y(Ç)}.

(1.18)

3°. В приближенной теории изгиба пластинки распределен­ ными по ее поверхности нормальными усилиями, ангармониче­ скому уравнению- (1.1) удовлетворяют прогибы точек срединной поверхности. Для этих прогибов w(x, у) имеем уравнение

После отыскания какого-либо частного решения уравнения (1.19) можно по-прежнему воспользоваться формулой Гурса (1.4) и представить общее решение этого уравнения в комплекс­

к уравнению (1.19) граничные условия, соответствующие тому или иному характеру закрепления границы.

1.3

отнесенные к единице длины изгибающий момент и обобщенную

встречаются представляющие особый интерес для приложений смешанные условия, когда, например, одна часть края пластин­ ки заделана, другая свободна и т. п.

Если помимо нагрузки q, распределенной по срединной по­ верхности пластинки, на нее действуют также изгибающие моменты и нормальные усилия, приложенные по краю, уравнение изгиба (1.19) останется тем же, а краевые условия (1.22) — (1.24) обратятся в неоднородные. Левые части этих равенств будут представлять собой определенные заданные функции дуги контура L (С. Г. Лохницкий [1]) .

Значения w и на контуре L вполне определяют гранич­ ные значения первых производных от прогибов w на том же контуре. Поэтому задача (I) (край пластинки заделан), обычно называемая основной бигармонической задачей, равносильна с математической точки зрения первой основной задаче плоской

14

сматриваемых нами областей, ограниченных одним замкнутым контуром, в точности совпадают с условием (1.7).

границы области имеет место следующая формула С. Г. Лехницкого [1] и И. Н. Векуа [1]:

Согласно этой формуле граничным условиям задачи I I в комплексной записи можно придать форму граничного условия (1.8) второй основной плоской задачи. Разница заключается лишь в том, что в случае задачи о свободных краях правая часть условия (1.8) задается с точностью до слагаемого вида iCt-\-Cx, где С, Ci — произвольные постоянные, соответственно вещественная и комплексная. В случае одного контура, впрочем, этими постоянными всегда можно пренебречь за счет произвола в выборе потенциалов ф и a|j.

Наконец, условия (1..24) свободного опирания краев можно записать через функции ф и т|5 в виде (см., например, Калан^ Дня [1])

где h и g— заданные на L функции, a постоянная

, = 2 ( l _ + v ) 1 — v '

Нетрудно убедиться, что задача, определяемая условиями (1.27), с математической точки зрения равносильна третьей задаче плоской теории упругости.

Внешнее сходство плоских задач с задачами об изгибе тон­ ких пластинок позволяет применить известные методы решения одних задач к решению других. Это впервые было проиллюстри­ ровано в работе А. И. Лурье [1] .

15

4°. Пусть L — простая, замкнутая пли разомкнутая гладкая линия (кривая) в конечной части плоскости z, a f(t) —некото­ рая, вообще комплексная, функция, заданная на L и интегрируе­ мая в обычном смысле. Рассмотрим функцию

где интеграл в правых частях понимается в смысле главного значения по Коши.

В случае, когда L — разомкнутая дуга, формулы (1.30) сира-, ведливы всюду на L , за исключением концов; когда же L — замкнутый контур, эти формулы справедливы в любой точке контура без исключения.

Определение интеграла типа Коши может быть обобщено в разных направлениях. Можно, например, рассмотреть этот

.интеграл в более общих случаях, когда L — конечная (и даже бесконечная) совокупность раздельно лежащих замкнутых и конечных разомкнутых кривых, когда функция f (t) принадлежит более общему классу, чем класс функций, непрерывных по

') Доказательства этих формул имеются во многих учебниках по теории •функций комплексного переменного.

16

Гёльдеру, либо, скажем, когда разомкнутая линия уходит в бесконечность одним или обоими концами.

Подробные сведения об интегралах типа Коши можно найти в монографиях И. И. Привалова [1] и Н. И. Мусхелишвили [ 2 ] .

§ 2. Общая смешанная задача 1 )

Изучим смешанную задачу наиболее общего вида, относящую­ ся к двумерной упругости, когда на одном и том же замкнутом контуре L , ограничивающем область среды, осуществляются граничные условия всех основных типов. Для определенности бу­ дем рассматривать задачу об изгибе упругих пластинок2 ). Будем считать, что одна часть края пластинки заделана, другая опер­ та, а остальная свободна.

1°. П р е д в а р и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я . Поясним в нача­ ле некоторые термины и понятия, употребляемые в теории интег­ ральных уравнений с ядрами Коши (Н. И. Мусхелишвили [2], Н. П. Векуа [ 1 ] ) .

Пусть ab— гладкая, разомкнутая дуга с концами а и Ь, снаб­ женная определенным положительным направлением, которое

че, принадлежит классу Я на ab, мы подразумеваем, что указан­ ное условие выполняется на закрытой дуге ab; если ср(£) удов­ летворяет условию Гёльдера лишь на некоторой окрестности данного конца с дуги ab, включающей с, то мы будемговорить, что ф(^) удовлетворяет условию Гёльдера вблизи с.

Если функция ф(0 удовлетворяет условию Гёльдера на каждой закрытой части дуги ab, не содержащей концов, а вбли­ зи любого конца представима в виде

ф ( ' ) = ; г % . 0 < а < 1 > ( 2 Л )

где Ф*(0 удовлетворяет условию Гёльдера, то мы будем гово­ рить, что ф(/) принадлежит классу Я на ab; если предыдущее представление имеет место лишь вблизи данного конца с, то мы будем говорить, что <p(t) принадлежит классу Я* вблизи с.

') Результаты этого параграфа изложены в статье А. И. Каландия [2].

2 ) В случае плоской деформации или обобщенного напряженного состоя­ ния общую смешанную задачу следует представить так. На одной части гра­ ницы среды задаются внешние усилия, а остальная часть ее соприкасается с жестким телом заданного профиля, причем область соприкасания делится на два участка: в одном из них имеется сцепление (силы трения велики), а в дру­

П-с. г. '

сированные точки на нем, взятые в том порядке, в котором мы

эта функция удовлетворяет условию Гёльдера, при условии, что на концах ak, а,1+1 ей приписывают значения гр(<ть +0), q>(ah—0). Если функция ср(/) удовлетворяет на каждой из дугал о,1 + і усло­ вию Я* (или Не), то мы будем говорить, что ср(£) удовлетворя­ ет условию Я* (или Яе) на L .

Ниже мы будем пользоваться формулами H. I I . Мусхелишвн­ ли, характеризующими поведение интеграла типа Коти вблизи концов линий интегрирования (Н. И. Мусхелишвнли [2], §§ 22— 25). Приведем эти формулы.

Пусть функция ср(0, заданная на ab, удовлетворяет на каж­ дой закрытой части ab, не содержащей концов, условию Гёльде­ ра, а вблизи концов представнма в виде

причем выражение (t—с)ѵ обозначает определенную ветвь, не­

In j ~ ~ c подразумевается любая ветвь, однозначная вблизи с на

разрезанной вдоль ab плоскости; Фо(^) обозначает ограничен­ ную функцию, имеющую определенный предел при 2-*-с по любому пути.

18

5, занятая срединной поверхностью тонкой изотропной упругой

ты точек которого имеют непрерывные производные по дуге s