книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

некоторых упрощений получим уравнение для р(х):

(29. IG)

2 (x — t) (l-xlV

функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на любой закры­ той части интервала ( — 1, 1) и допускающих при х = ± 1 сингу­ лярность порядка ниже единицы1 ). Следует еще иметь в виду, что функции п0(л;, t) н k0(x, t), в отличие от обычной ситуации, являются непрерывными функциями своих аргументов лишь на

кает, помимо подвижной сингулярности, присущей ядру Коши, также и неподвижные сингулярности на концах отрезка.

Подобные интегральные уравнения находят применение в граничных задачах теории уравнений смешанного типа (см., например, А. В. Бицадзе [1]) . Нам представляется небезынте­ ресным исследовать общие свойства таких уравнений, в част­ ности, изучить вопросы их разрешимости в том или ином классе функций. Подробное изучение уравнения (29.16) позволило бы, например, судить о возможности строгого решения нашей задачи в потенциалах (29.9). Ниже мы будем заниматься приближен­ ным решением уравнения (29.16), причем будем предполагать, исходя из физических соображений, что уравнение это допуска­ ет решение р(х), непрерывное в смысле Гёльдера на закрытом отрезке /. Дополнительное условие, которое здесь вводится от­

можно решить и без него. Мы его вводим для упрощения численного алгоритма.

180

Последнее требование равносильно вполне определенной ги­ потезе о поведении характерных физических величин в замкну­ том полукруге. При принятых выше предположениях относи­ тельно р(х) первые производные от w, как это явствует из формул (29.9), (29.10), будут непрерывны в замкнутой области, и, следо­ вательно, будут соблюдены условия, гарантирующие единствен­ ность решения граничной задачи (см. § 2) .

Что касается упомянутых выше физических величин — изги­ бающих и скручивающих моментов Gx, Gv, НЩІ, то они будут не­ прерывны в замкнутом полукруге с исключенными угловыми точками, в окрестности которых справедлива оценка (ср., напри­ мер, Г. Н. Положип [1])

Используя формулы (2.4) и (2.5) (гл. I), легко показать, что если а(х), ß(x)—решение системы (29.19), удовлетворяющее на / условию Гёльдера, включая концы, то функция ß(-v) должна обратиться в нуль на концах отрезка

181

Только что указанные свойства а и ß будут использованы ниже при построении численного решения системы уравнений (29.19).

После того как будет найдена функция р{х), формулы (29.9) дадут нам искомые голоморфные функции cpo(z), i|io(z). Что ка­ сается функции %o{z), фигурирующей в выражении для прогиба, то она представится в виде

Xo(z)=x* ( z ) + С,

где x*—некоторая первообразная функция tpo, а С — действи­ тельная постоянная.

Для определения С достаточно потребовать выполнения пер­ вого из условий (29.2) в какой-либо одной точке дуги -у, скажем,

Через функции фо(г), i|4i(z) могут быть, на основании пред­ ставлений (1.20), определены все искомые величины, характери­ зующие напряженное состояние в пластинке. Например, изги­ бающий момент М(М = —DG) по дуге ч будет выражаться формулой

которой после несложных вычислении можно придать вид

182

мую функцию р(х) тригонометрическим интерполяционным по­ линомом от ft(x=cosft), построенным по узлам

'm=I

где

Решение системы (29.26) определяет некоторое приближенное решение нашей граничной задачи. Физические величины опреде­ ляются при этом в виде несложных интегралов, к вычислению которых согласно формуле (29.25) целесообразно применить

Система (29.26), как это видно из построения коэффициентов um*, bmh, имеет довольно простую структуру, благодаря чему на­ ходить ее решение при небольших п весьма нетрудно. Однако, ввиду отмеченных выше особенностей ядер п(х, t) и k(x, t) для получения решения, обладающего высокой точностью, необходи­ мо, по-видимому, решать эту систему при больших значениях п, что потребует применения ЭВМ.

183

иметь систему из восьми уравнений. Для узловых значений ис­ комых функций находим ')

Изгибающий момент по дуге f, определяемый формулой f29.22), будет иметь максимальное значение в точке t=i. Под­ ставляя в эту формулу t = i и вычисляя интеграл как выше, по­ лучим

= -0,13822?. (29.30)

Приведем еще значение прогиба в середине диаметра. Для нахождения прогибов, согласно изложенному выше, следует оп­ ределить функцию

Хо (z) = J % (2 ) d z + С,

причем произвольная действительная постоянная С должна быть найдена из условия (29.21). На основании формул (29.9) и (29.21) будем иметь после элементарных вычислений

i

') Как показали дальнейшие вычисления, даже рассматриваемое «проб­ ное» приближение обладает достаточно высокой степенью точности.

184

в случае полного круга заметно упрощается и сводится, по суще­ ству, к привлечению функционального уравнения задачи, соот­ ветствующего условиям смешанного типа. Прежде чем пояснить сказанное, напомним формулировку основных задач, относящих­

Ci — произвольная вещественная, a ô — произвольная комплекс­ ная постоянная; операторы G и Я задаются формулами (1.23-і Наконец, граничное условие задачи I I I , когда край пластинки оперт, также можно, при дополнительном условии о необращенни в нуль кривизны контура, выразить в виде одного комплекс­

ного равенства (5.1):

X [с,/ (0 -Ь Ф' (/)] 'г t" [Ф it) •!- W it) -V я|> (*)] = / (/) на I , (29*.6)

1 ) В цитированном выше работе А. II. Калаидпя [12] в равенствах, опре­ деляющих численные значения величин M (при / = /) н 0), имеются опечатки.

185

При этих условиях комплексные потенциалы, и вместе с ним по­ стоянные Ci и ô, фигурирующие в правой части (29*.4), опреде­ ляются вполне однозначно. На том же основании мы можем только что упомянутым постоянным придать заранее вполне определенные значения1 ), но тогда вместо (29*. 10) у нас оста­ нется лишь одно условие

ср(0)=0 или ор(0)=0.

тать, что полная граница 4 единичного круга с центром в начале координат разделена на две равные части, — на верхнюю и ниж­ нюю полуокружности і + и На части ч + будем задавать усло­ вия одного типа, а на -у- — условия другого типа. Возможны три случая.

186

л= 0

иучтем соответствующие условия нормировки. В результате мы придем к функциональным уравнениям:

Впервом случае

187

их обоих частей в ряды Тэйлора и последующего сравнения ко­ эффициентов при z", приводят к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, откуда должны быть определены все неизвестные ап единственным образом. Определив q>(z), мы мо­ жем с помощью интеграла Коши найти и другую искомую функ­ цию T|)(Z) непосредственно из граничного условия задачи. Оста­ новимся более подробно на втором из указанных случаев1 ).

2°. В данном случае, как будет ниже показано, одну из искомых функций комплексного аргумента можно выразить че­ рез другую в элементарной форме, а это позволяет сведение сме­ шанной задачи к граничной задаче для одной аналитической функции. Кроме того редуцированная смешанная задача приво­ дит к функциональному уравнению, несколько более удобному для рассмотрения, чем (29*. 18).

') Решение смешанных задач для круга дано в работах Д. И. Шермапа [8, 9J. Предлагаемый ниже способ решения (относящийся ко второму случаю) несколько отличен от способа, указанного в первой из названных работ. Он кажется более элементарным и ведет к бесконечной системе весьма простой структуры. Вместе с тем способ Д. И. Шермаиа, в отличие от предлагаемого здесь, приводит к регулярным системам.

188

Будем считать, что интенсивность нормальной нагрузки по­ стоянная и возьмем частное решение т0 в виде

С учетом (29*.25) и условия нормировки для фі(г) произве­ дем над обеими частями равенства (29*.24) операцию (29*. 14). Получим

Постоянную в правой части легко подобрать, потребовав выпол­ нения условия (29*.24) в какой-либо одной точке окружности. Определив эту постоянную, внесем функцию %і(0 из (29*.26) в (29*. 1) и представим искомые прогибы w(x, у) в виде

^ ( г , і ) = - б ^ - ( г 2 і я - 1 ) .

Для определения фі(г) обратимся к условию (29*.21). Под­ ставим в эти равенства значения функции определяемой из (29*.26), помножим первое равенство на 1—ѵ, второе — на (1+ѵ)7 и введем новую искомую функцию

также голоморфную внутри круга. Тогда для ф(г) мы получим (вещественное) граничное условие

Величины А и ß легко вычисляются по формулам (29*.3), (29*.7), (29*.8) и (29*.25). В самом деле,

Д ля вычисления А-\-В достаточно вспомнить известное тожде­ ство, справедливое вдоль любого контура с непрерывной кривиз­ ной,

где р — радиус кривизны, п — внешняя нормаль к L . В нашем

189