книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

1_ 3j.it

2Ф

(.ц — |.is

(Г- -W2 )

на

т ^ ,

(27.53)

2 Ці -f- jx.j

Я

(.Ij -г (.U

Ф (*) +

Ф (0 = 0

на

/,

/ = lx

+

/о.

(27.54)

Согласно формуле (27.54) функция Ф(г) аналитически про-

должима

в

нижний

полукруг

через

/, и

потому

она

будет

голоморфной

функцией

во всем

круге

< 1 .

Значения

ее в

нижнем полукруге 2~ будут даваться

формулой

Ф (z) =

— Ф (z)

при z

в

У,-,

(27.55)

откуда

Ф(г] =

- Ф ( і )

ПріІ 2

В

У+.

Если

теперь в равенствах

(27.52),

(27.53) заменить

O(t)

предыдущим

значением, то эти равенства запишутся

в виде

_

10,1,1)

на

т+,

Ф < " - Ф » = | П ! ( 0

„ а Т . + ,

( 2 7 - 5 6 )

где ßi (0

и

Q2 (0 обозначают соответственно

правые

части

соотношений

(27.52)

и (27.53).

_

[ — Q1(t)

на уГ>

(27.57)

Ф ( 9 - Ф ( 0 =

_

[ — Q2 (0

на у 2 •

Таким образом,

после двукратного

применения

аналитиче­

ского продолжения

искомых функций

мы

приходим

к задаче

определения одной-единственной функции

Ф(г), голоморфной

в единичном круге по условиям (27.56)

и (27.57).

Для

вычисления

по Ф(г) функции

кручения fj(z)

обратимся

к равенствам (27.30), (27.46), (27.47)

и

(27.51).

Окончательно

будем

иметь

// (г)

_

_

{_ ЗЦі -

5 ц 2

Г 1 - :

И/

» н 4 +

И * - Ѵ і х

2

jXj +

jio

Hl + Из

1 + 2 J

2 г 2 ( ш / - 1 п 2 ) - I - i - 22 + 4 X

Д Ц , + |.l3

X

I n ( 1 - г 4

) - I n

(/ =

1,2). (27.58)

Для жесткости при кручении, если

принять

во

внимание,

что

L i = y t

+ ^ + *о»

L 2 = i ' ^ + 4 + *о.

после элементарных

вычислений

получим

D

=

J ^ (

n _

± ) + ( j ± = J

b ?

Г "

+ - ? _ І П 2 ) .

(27.59)

Компоненты касательных напряжений в любой точке сече­

ний S/" определяются

формулой

Т-іТ^=х^{П{г)-Тг]

(/=1,2) ,

(27.60)

контурах

сечений. Будем

иметь:

На дуговой части

границы

Зин — 5ц г і

Тв = х І х / { і - [ 2 - / Ч - ( 1 - Л ^ 2 Т ^ - г І с о з 2 * +

Иі + И-2

2 Ht — Иг [2flcos2# — sin 2

In (2sin2fl)] —

+ п Иі + И-2

1

И/

ь

0 < г > < я .

(27.61)

я V"

Иі + Иі!

sin'О — g-sin 2 •& In ctg

'Отсюда, в частности,

находим

Иі +

и Д

^ /

2 -

'

(27.62)

Го = 0 при ft= 0, я.

1

. V -

L i 4 _ m j - 2 м l n v 2 _ ^ _

l n ( 1 _ X 4} jj о < |,v| < i . (27.63)

В

частности,

Тг = Ш{Г^1Г

п р и г = ± 0 ;

Г , =

0 при г = +

1. (27.64)

и

Заметим, наконец, что полученные выше решения при \хі = \і2

Li2 = 0 совпадают соответственно с

известными

решениями

приводимое

ниже хорошо известное в литературе

решение

задачи кручения сектора кругового кольца.

Пусть

рассматриваемый сектор с углом раствора arc

( 0 < a ^ 2 )

занимает

на

плоскости

z

область

/ 2 = ^ ' ' ^ ' " ;

О^Ф^осл.

{z=reiû),

где Г\

и

г 2 — радиусы

окружностей, огра­

ничивающих кольцо, с центром в начале

координат.

Произведем преобразование

£ = « ( £ ) = £ < *

( 0 < а ^ 2 ) ,

(28.1)

В плоскости t, введем

новую,

голоморфную

в 2 +

функцию-

Ф ( р = F (p

j

[1 -

ig (а)] £ 2«,

(28.2)

где

g (a) = tg an,

0 • a

<

2,

a === 4~,

-f"'

(28.3)

Тогда условия (27.2) примут вид

Ф (а) + Ф (а) =

Р Г -

- г і°2а + О

+

ig

(а)

2а

~2<х\ на у"

(28.4)

Ф (сг) 4 - Ф (а) =

О

на

/ ( / = 1 , 2 ) .

Напоминаем, что ч + и /

обозначают

соответственно

совокуп­

Ф (а) - Ф (а) = Р /

2 и

- 4 - (1 _ ig) о>-« -

-L

(1 +

ig) Ъ2а

на у ь.

(28.5)

Распространив условие (28.5) на нижнюю

часть

границы

кольца, получим

равенство

Ф (а) - Ф (с) =

-

p f

Ч-

(14tg) а2 «е-"«»

+

+ -^d-ig)ö2aeUaa

на y - ,

(28.6)

которое

вместе

с условиями

(28.5) определяет

граничное

усло­

вие для Ф(з) в следующем виде:

Ф ( с ) - Ф ( 5 )

=

( 0 І ( а )

H a

у +

'

(28.7)

(Qj (а)

на

у~,

где

й; -(а) и Qj (or)

обозначают

правые

части

равенств

(28.5)

и (28.6)

соответственно.

Решая эту задачу методом степенных рядов, находим для

искомой функции

выражение

Ф ( 0 = 2 [ а 2 „ - ы ^ " + 1 - і - & 2 „ + 1 ' ; - ^ +

1 ' ] ,

(28.8)

где

л = 0

л 2 л + 1 " л 2 п + 1 к

Й2к-Н —

2« + 1

Л (1)

п2л+1 _ л(2)

р

л 2 » + 1 ^

л 2 я + 1

Р 2

1 _ ^ " + 2

' К

~ Р і '

Аіі)2и+1

|_2/t - f 1

1

2re - f

1

(28.9)

2n — 2a - j - 1

2a + 1

Соответствующая

функция

кручения

представится

в

виде

2a .

a=p2 «

1 _

ß » + 2 « / с v

n

rt(/t2

—4a'J )

1 - я 2ч

//=1

- Т З ^ г І Т І ] '

( 2 8 Л 0 )

где знак

* при 2 означает, что индекс суммирования принимает

нечетные

значения

(п=1,

3, 5, . . .)•

В

предыдущих

рассуждениях мы исключили случаи а = 1 / 2

и а—3/2.

Перейдем

в формуле (28.10)

к пределу при а-»-1/2 или

а->3/2. Будем

иметь

/ Ш = ^ г

К '

г -

In-г-

"2a

I f i l

fl-la In R

n ( \ - R i a )

f-2a

l

1

\

9 P)

2a

1 Pi

л

,

n (n- — 4a2 )

2

''

«=2(a+D

1 — Я

,2a

• Л "

/ Р

ex

4-» 4 4

( 2 8 Л 1 )

1 -

fl­

Легко

убедиться,

что

функция

/( £ ),

определяемая

предыду­

Фі (£) = F ( S ) - 4 - £ 2 a + 4 т £ 2 a In £;

О <

Im In £ < я,

( a

и во всем остальном следовать изложенному выше.

(см. формулу

Д л я определения

жесткости

при

кручении

(27.12)) после элементарных вычислений находим

8цр'4а о с

а

з

(1 _

J>4a)

D =

(2/z-j-

1) 2 (2л

+ 2 а - Ь

I ) 2

л = 0

8«4 ( Д 2 « _ д 2 « + 1 ) 2

1

, 1

3

(28.12)

( 2 л - f 1)

(1 — R4n+2)

[(2л +

I ) 2 — 4 а 2 ] 2

j '

„4а

а - ^ ( а

- т - ) - 2 1 п 2 ] -

_

64a* ( f l 2 g

- R")*

}

a

- f , 4 - . (28.13)

2d

„( П =_ 4a2 )2

(l — R2n)

'

напряжения.

Так, на дуговой части

границы

7* = трр? 1

- cos 2aft - g sin 2aft +

Sa x"** 7s >^n

4a2

71 = 1

" * 2

i6 ^"+

1 ( 1 4 a » ) '

( 2 8 Л 4 )

/7 = 1

^

'

'

7» = pp"

{я — (я — 20-) cos 2aft — sin 2aft In (4 sin2 ft)

16a

V *

s pn

,

ô*

)

(R2a-R")smn$

}

/

1

3 \

° ' i K

'

да»

/

(i _

# 2 « ) ( n

» -

4a2 )

j '

Г

~

2 ' 2

j

n=2(l-|-a)

(28.15)

где ôjh — символ

Кронекера.

контура

На прямолинейных частях

a p 2 a

2 ST

БГ

+

л

^

( n

s

- 4 a * ) J g |

e

1 - Я

"

\ Р

R 2 a

- R n

[pt

Y

(28.16)

1 - Я 2n

,<|£l<Pi; а =

^ 4 " '

4 " }

TU.

З а ( а - - і - ) ^ р г ( ц - ^ - | - )

+

2ая |i|<

+ ( l - 2 a l n - 4 U 2 a

:4a

R4alnR

РГ

\—Ria'

у

• ^ *

16a2 p

2a

Г

1

n+2a

R2a

_

Rn

i р г

1

— R'

(28.17)

^ші

In* — 4 a 2

)

1 - Я ,2K

Pi

j

1 - Я

2,1

л = 2 ( 1 + а ) v

'

( р 2 < І І | < Р і ; a

= -j> -§-)•

Задача

полностью

решена.

В частном случае

^ = 0,

т. е. тогда,

когда

область

сечения

формулы

могут

быть при любых малых

р представлены в виде

=

8 a x F p 2 a

- ] „ s o .

V (Р),

7flѵ

8 а т и р 2 а

1

sin •&

Т0

я

( 4 а

2

-

П "ГГЙ +1

-

2

) р а - 1

0 ( Р ) .

1 ) р а - і

~

* ' л ( 1 — 4 а

Следовательно,

абсолютная

величина

вектора

касательного

напряжения

в окрестности вершины

сектора имеет вид

i

Т = ^ — - \ - 0 { г а ) ,

1 г / , ; 2,

где

„

8ати. a

/ r

2a - l

Л

= n ( 4 a * - l ) 1

Г і

•

Следует

отметить,

вообще, что в упомянутом частном случае

может

быть

для ряда значений угла

раствора (например,

для

i

з

a = — ,

1, -g-, 2) получено в элементарных функциях.

Решения

этих конкретных задач,

а также аналогичных

дру­

ванных в п. 1 предыдущего

параграфа работах

H. X. Арутіоня-

на и Б. Л. Абрамяна [1], Д. И. Шермана

[6], В. В. Новожилова

[1] и Херцига

(Herzig [1];

см. еще Kandier

[1]) . Решение

рассмотренной

нами задачи

о

кручении

сектора кольца дано

Бигармонические задачи для полукруга

могут быть решены

другим, более изящным (но, по-видимому,

не

более эффектив­

ным) способом, приводящим к

сингулярному

интегральному

уравнению особого рода. Его

мы изложим

применительно

распределенной по срединной поверхности. Расположим

упругую

среду в плоскости переменной z=x-\-iy так, чтобы она занимала

верхнюю половину единичного круга с центром в начале

коорди­

чим через у, а диаметр круга, который мы предполагаем

свобод­

ным,— через

Согласно сказанному в § 1 (стр. 13), рассматриваемая за­

дача

сводится

к отысканию

регулярного в

верхнем полукруге

')

См. статью

автора

[12]. Та же задача в случае, когда условие жест­

кого

закрепления

части

края

заменено

условием

свободного

опнрания

(той же части), решалась

в работе Мюстера

и Садовского (Muster

and Sa-

dowski

[1]) иным путем.

решения уравнения

AAw=-jp

(29.1)

по граничным условиям

G(w) =

H(w)=0

иа /,

(29.3)

причем операции G и H определяются

формулами

(1.23), a D

обозначает цилиндрическую

жесткость

пластинки.

ленного по всему контуру и изгибаемого нормальной

нагрузкой

с той же интенсивностью q. В этом

круге вводится распределен­

ная по ее диаметру /(—1<С-ѵ<1)

обобщенная

нагрузка р{х),

представляющая собой комплексную функцию

от х1),

которую

(29.3).

у)

Иначе говоря, решение w(x,

представляется в виде

суммы

двух функций:

w (x, у) =w

(x, у)

- I - ау0 (х, у ) ,

(29.4)

w (x,

<j)=öb [(*2 + у 2 ) 2

- 2

( х 2 + lf)

"! "1 ]-

( 2 9 - 5 )

Мы займемся

отысканием

функции

w0,

причем,

будем

пользоваться

для

нее представлением

(1.4):

и»0

(x, у)

= 5ф0 (г) - I - 2 ф7(г)

- f %0 (г)

+

jjz).

(29.6)

Ф (г) = р

In (2 — 20 )

ф* (г),

г|> (г) =• р In (2 - г0 ) - -S3-

І - г|;* (z),

где

р — постоянная,

zQ — фиксированная точка

внутри

области,

a

ср^. и ^

— голоморфные

функции,

по граничному

условию

Ф (t) -г

* ¥ ¥ ) + ^

= 0

при

j / | =

1.

(29.7)

12 л. II. Калапдня

177

4~ (рго - I -

pzu) г,

г|> (z) =

pin (z — z„)

/;1п(1

(29.8)

• *'0)

іч (г — ги)

- о

2/) - I- pznz0

+

Рг 5 '

( l - » „ ) e

1 — ;

Будем теперь согласно

формулам

(29.8)

искать

голоморфные

в полукруге

функции

ср0, іро в виде

^

(2 ) = l e b

f [р (0 Пп (z - 0 -

1п ( 1 - г/)] - '

(29.9)

L (p, z; t)

p(t)t{z-l)

\p(t) +

p(t)]t*—2p(t)

1 •zl

где £>(/)—новая искомая комплексная

функция

от х , опреде­

ленная на отрезке /.

Легко усмотреть, что введенные по формулам

(29.9)

функции

голоморфны в любой конечной области

плоскости

z,

не содер­

жащей точек вещественной

оси. Точнее,

функции

фо(г), apo(z)

исключительно в замкнутом

верхнем полукруге, где под In (г—t)

будем при фиксированном

t подразумевать

ветвь, для которой

Osglm In (г— t) ^ . л . Кроме

того, функции

(29.9) будут согласно

Из

первой формулы

(29.9) получим

дифференцированием

<PÛ(2) = T ^ D J

[^-*L{p,z-,t)

+ ±[p{t)

+pT)]t}dt.

(29.10)

')

Имеется

в виду метод 1 (см. начало гл. I I ) .

С0 (х) - I - i J На

( і ) Л = - 2 ( 1 - ѵ ) - і

[ - хф0 (х) -Ь ХФО (л) +

] .

(29.11)

где фо(л'), фо(-ѵ), і["'о(л') обозначают граничные значения

на /

функций фо(г), cpo'(z), \poU) из верхнего

полукруга.

С помощью

представлении

(29.9) и

(29.10)

находим

теперь

й (р; х) = — хф0

(х) + „ttpo (х) -;- і|з0 (x)

ІблОil

-

X In (x -

/) - j -

In (x - 1 )

- f (x -

1) In (1 — xt)

( / 2 _ 1 ) ( Х 2 _ 1 )

(,2 _ 1 ) ( А . 2 _ J)-,

1

ï=7t

'

(1

-xt)*

\

P (

l )

~Г

+ \к + (x - i -

П f f ^ ' J W)

-г

[/" (0 +

7Ш

t*} M-

(29.12)

С другой стороны, для операций G и

Я,

соответствующих

функции w, имеем на том же отрезке

5 (x) =

-т|д [(Зѵ 4- 1 ) x2 -

1 -

v],

Я (х) = 0 .

(29.13)

Составляя теперь суммарные величины

G=d7+Go,

Н=Й-\-Н0

для искомого

решения

(29.4)

и выражая

граничные

условия

(29.3), получим уравнение для определения р(х):

2 j ( l - v ) - ^ r Q ( p ; ^ ) = G W >

(29.14)

где Q дается

формулой

(29.12).

Будем предполагать,

что функция р(х)

удовлетворяет

на /

Принимая во внимание

предыдущие

формулы, произве­

дем дифференцирование в

равенствах

(29.14). Тогда после

12*

179