книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

F (ст) + F (ст) = CÛ (ст) со (ст) на у

[у =

yt - f yt

+

/) ,

(27.2)

где о обозначает значение аргумента

С. =

ре'* на

у ,

a

F (а) —

граничные значения функции /•"(£).

(27.3)

Распространим

определение

функции

F(t)

на

нижнее

полу­

кольцо И -

равенством

F ( £ ) = - F ( £ ) +

« > ( £ ) © ( £ )

при

(27.4)

Легко убедиться, что в силу граничного условия

(27.2)

на

линии I функция F ( £ ) аналитически продолжима из верхнего

полукольца в нижнее через I.

_

Заменим в выражении

(27.4)

аргумент

£, на

£, считая,

что

Е ; е 2 + . Получим

РЩ

= - F (Г) -!• со (D colÖ

при

С G S+.

На

основании

последнего равенства

условие

(27.2)

на

yt

и у+

примет вид

F (a)—F

(ст) = ю (ст) [а (ст) — со (а)]

на

yt -\- уі

•

(27.5)

Граничные условия иа нижних полуокружностях

получатся

из предыдущего

равенства,

если

заменить в нем о на ст, считая

точку о принадлежащей дугам

у г.

Имеем

F

(a) —

F

(ст) = œ (ст)[со (ст) -

со (ст)]

на уГ -\- уТ-

(27.6)

Следовательно,

решение рассматриваемой

задачи

сводится

к определению функций F ( £ ) , голоморфной во всем концент­

рическом

кольце

2 = S + + S - - H

по

следующим

граничным

ус­

ловиям:

(Q' (СТ)

на

.... .

F(CT)-F(CT) =

yf

+

y t ,

(27.7)

\

)[

U_

_

(Q'(CT)

на

y,

+ y 2

,

где Q' (ст)

и Q"(о) обозначают

правые

части

равенств

(27.5)

и (27.6) соответственно.

Используя для решения смешанной задачи (27.7) метод сте­

пенных рядов, положим в кольце

со

F (£) = 2 (а*£* +

&*£-*)•

(27.8)

й к

^h—JE

> &*=PiP2

,f e

Р Г

ofe

,

( 2 / . 9 )

PI - Р Г

P f -

где ЛИ''

( / = 1 , 2 ) , представляют

собой

коэффициенты

рядов

Фурье заданных на границе кольца

функций

Аіп = -

А{1\ =

i - 1 Q' (а) а-("н> do

h

+

4е

- L Q ' ( A ) A

_ ( / I I L

) C F

C T -

(27.10)

выми,

хорошо

известными формулами

(Н. И.

Мусхелишвили

[ 1 ] . §

134).

Например, поле напряжений в произвольной точке сечения

стержня определяется формулой

т р

- І Т * =

ЬТ^Ш{Г

{ Q

~ U

ù '

( 2 7 Л 1 )

где р, — модуль

сдвига,

т — степень

закручивания, а Тр и Т&—

где

D=nI+[nDo,

(27.12)

/ = 1. ]' ^Чр) со (a) diù (а) ;

D 0 = - 1

.f [f (G) 4- / > ) ] d {а> (a) o7(ffj}.

V

V

причем, напоминаем,

f обозначает

полную границу

полукольца,

Y = Yî1" "H Y2~

+

Отдельно

рассмотрим

случай,

когда нам известна

функция

и ( ^ ) , отображающая

область поперечного сечения

на

верхний

его диаметр /. При прежних

обозначениях будем

иметь в соот­

ветствии с условиями (27.7)

граничную задачу

іг ^

ІГ/-Ч

f ® № ( a ) - < o ( ö ) ]

на

у+,

. (2/ . 13 )

F (о) — F (о) =

і _

_

на

7 - .

I га (сг)[ю (а) — со (о-)]

Решение этой задачи представится в виде

F(Ç)=

У>АІ1)^,

11 A. IT. Калаидия

161

где коэффициенты

А \ Х ) определяются

из

соотношения

(27.10)

при р і = 1 ( Р 2 = 0 ) .

F { % ) ,

С другой стороны, голоморфную в круге функцию

дей­

ствительная

часть

которой в

силу

формулы

(27.13)

задана

на

окружности

I ст 1 =

1, можно

выразить

согласно

известному ин

тегралу

Шварца:

F

<&> =

m

I f F (G ) + ^

ь ^ г +

c o n s t

-

Применительно

к задаче

(27.13)

предыдущая

формула даст

F

Ш -f ^ К ( о

(°) -

м Й І

t = T

+

d g - Г ~Ъ

d a

+

c o n

s { •

Следовательно,

комплексную

функцию

кручения

в

нашем

случае

можно выразить как с помощью степенного

ряда-

/(£) = »• 2 Л*£*

(Ak

= A k %

к = 1

так и в квадратурах:

/ ( 9 = 5

1 ^

№

(?) -

» Й ]

f ^

+

-оі~т]

d a

( 2 7 Л 4 >

2л

(à) [ 4 -

тождественно

равное нулю.

Проделав некоторые элементарные преобразования и отбро­

сив постоянное слагаемое, находим

/(£) = fo (£)«(£)

+

+ ~

J © ( a ) [ ^ - . © ( a ) ] [ ^ + 5 i L _ ] d ( r .

(27.15)

Формула

(27.15) была иным путем получена

в работе Дей­

ча (Deutsch [1]) .

П р и м е р ы .

В качестве примера

рассмотрим

случай

отобра­

жения, осуществляемого функцией

<D(£) = Ä 0 ( £ +

^ f

(27.16)

ной осью. Полуоси

Cj и С] эллипсов

определяются равенствами

с> = Ко (р; + ~

) , с] = Я0 (.ру -

f - }

(j = 1, 2). (27.17)

которая

получится, если

разрезать его

по

большой оси; при

/ 7 7 =1,

р 2 = 1 /рі

сечение

стержня

есть

сплошной эллипс,

разре­

занный

по двум

прямолинейным

отрезкам

вещественной

оси,

;

л ;і=о L

2/1+1

(27.18)

где

Ü W ~

{2n +

Ъ)(4n*-\)(\-Rin+2)p2,

(27.19)

•>2п+\

(2я + 3 ) ( 4 f i * - l ) ( l - Ä 4 n +

2 ) p 2 '

причем R=ç>2Jp\.

Используя формулы (27.12) и (27.18),

получим следующую

формулу для определения жесткости при кручении:

ô„Rin+2 - S 3

/ ? 2 f ! + 1

-,(27.20)

=о(2л +

1)(2гс-1)2 (2я +

3)2(1 tf4n+2)

где

ôi =

(p? - pi)

irtPÏ

+ РІ)

1-î-

— m

Pî

Pô'y

РІР2

ô

2

12 m2

—4m 1

1 -!

p'iPa/j

Pi P; (Pr-I- Pi)-b(pH-pJ)

S,

4m

2

-:- 1 +

» 4 \

9

2m 1 -'

l(P? -г- РІ)

+

V

PI2 Pi

1 "2'

+ T275(PÎ-|- Pa)

Pi P2

Подсчитав также контурные

значения

компонентов

касатель­

будем

иметь на прямолинейных частях

контура сечения

г

_

-

8-ф 1 S I Xi /о„ , 1 \

, (27.21)

у

P — ^

„л — V 1 т" *)

я ( g * - m ) „=о

Р 2 < I É K P I ;

( л = 0 ) .

На дуговых же частях границы

имеем

П

=

2?,

X

2 ^ - [ ( Р / - m2 ) sin2 ft + - ^ - (P? - m ) 2

x ( l - с os ftIn ctg | j sin ft+ 8 ^ 2 ( 2 / i +

l)û| $ + 1 sin(2/i

-|-

l ) f t j ,

Ô* = ] / p* — 2mpf cos 2ft r-m2 ;

=

1. <?3 = —1

0 < ft < я.

(27.22)

Предыдущие формулы позволяют

выделить в явном

виде

ющим фокусы с вершинами

(т=1,

рг=1/рі)

для точек х, лежа­

щих на вещественной оси и близких

к вершине

одного из вхо-:

дящих

углов, на

основании

формул

(27.11)

и

(27.16) имеет

место

представление

^ = - ^ 4 - 0 ( 1 ) ,

ѵ = 0(1),

У

s

где 5 обозначает

малое

расстояние

от х до вершины угла,

K l = _

т ^ з , 2

І 2

(

P ' )

P l

(27.23)

П

r V U я „ = о ( 2 л - l)(2n +

3 ) ( l " P Î ' l + 2 )

P i

=

Ci + ct

2/?o

входящего угла

имеем

= 0(1).

^ = - т | + 0(1)

где

( 1 + р 2 ) 2 Р і 2 " - ' - 4 ( р

(2л - 1)(2я + 3)(р,

. (27.24)

4 '

Следовательно, в обоих указанных случаях абсолютная ве­

личина вектора

касательного

напряжения

(27.25)

где постоянная К,— так

называемый

коэффициент

интенсив­

ности напряжений,— определяется формулами

(27.23)

и (27.24).

Рассмотренные выше конкретные примеры, а также анало­

гичные им некоторые другие, решаются

различными

способами

в работах

H. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна

[1], В. И. Блоха

[1], В. В.

Новожилова

[1], Д. И. Шермана

[6] и

Херцига

(Sih

[ 1 ] ) .

2°

К р у ч е н и е с о с т а в н ы х б р у с ь е в . Предположим,

0

V гѵ

поверхность раздела.

Пусть будут

\і\ и U.2 модули

сдвига составляющих

материа­

лов,

Si и 5 2 — поперечные сечения стержней, S — полное сече­

ние

составного

тела, 5 = 5 1 + 5 2 ,

L — след

поверхности

раздела

на плоскости z

сечения. Потребуем, чтобы

функция

ничный круг плоскости

переменной £ = 1 + і т ) , переводила

линию

раздела L в

диаметр

круга — l ^ ç ^ l , т]=0; который

будем

по-прежнему

обозначать через I. Для полукругов в'плоскости £

Ft

(<*) + Л

(а) =

со(а) ш(а)

на т + ,

(27.26)

F 2

(a) -і- F2

(er) =

со (о) о ф )

на

y-,

(27.27)

Z7! (о) — FJô) = F 2 (а) — Л И

на

I,

(27.28)

t * i І Л (о") + Л Й ) -

14

[F2

(а) +

Щ

=

=

— Щ) £ ù (ст) ^"1°)

на Л

(27.29)

После

отыскания

Fj(t,)

соответствующие

функции

кручения

определяются по формуле

Ш = ^ І ( £ )

( / = 1 .

2).

'

(27.30)

Складывая равенства

(27.28)

и (27.29), будем

иметь

(Н +

Ц2) Fx (а) -[ - К -

(ІЗ) Л (а) — 2p,2F2 (а)

=

=

(l l i ~ Н">) w (er) œ (а)

на

/.

(27.31 )

Распространим определение функции Fi(Ç) на область 2~

равенством

(fii+fi2)^i(e) =

= 2 ц 2 / ? 2 ( С ) - ( ц 1 - ц 2 ) ? 1 ( д

+ (ц 1 - Ц2 )<в(Ё)о(С),

S « = S -

(27.32)

Тогда

на основании

формулы

(27.31)

легко

убедиться, что

функция

Fi(t,),

определяемая формулой

(27.32),

аналитически

продолжает значения F t (£) из верхнего полукруга

2 +

в нижний

полукруг

через

отрезок

I. Эту доопределенную функцию, голо­

морфную во всем круге, мы будем обозначать через

F ( % ) .

Равенство (27.32) позволяет выразить искомую в 2~ функ­

цию F2 (£) ч;ерез F(£) следующим

образом:

2 ^ 2 ( Ê ) =

(Иі+цг)F(Z,)

+

(4i-V*)F&)

-

-

(m - |A 2 )w(Ç) © (£).

(27.33)

Граничным

условиям

(27.26)

и (27.27) можно

теперь при­

дать вид

F (а) + 7Щ

= со (а) соСо)

на т + ,

(27.34)

+

|І2 ) [F (°0 +

F(oj] +

(Iii -

li2 )[F (a) + F (â)]

=

= 2^2cü (a) © (a) +

([І! — |л2)[© (a) со (a) 4-со (ст) со (a)]

на

у ~ .

(27.35)

Заменим в формуле

(27.34)

a на о, считая, что о

принадле­

жит ч - . Тогда

_

F (a) 4- F (a) =

co(a) со (a)

на Y~-

// (S)

_ о Иі •

Иг

( 3 - 2 / )

»' "MS2

,

£(і + С)а

' Иі +

Н'2

а 2 + £2

1

Ь« + 6£- + 1

1

In-

( / =

1,2).

(27.39)

Если

в предыдущей

формуле

подставить

|Лі =

0, то

получим

ние для

круговой

луночки. Эти решения

были

ранее

указаны

в работах

Я. И. Бурака [1], Я. И. Бурака

и М. Я. Леонова

[1]

и Я- С. Уфлянда

[ І ] .

При

ui = p,2

получим

хорошо

известное

решение

задачи

кручения

кругового цилиндрического стержня.

3°. П р о д о л ж е н и е .

В

заклю­

чение

рассмотрим

менее

элементар­

ный пример. Пусть

кусочно-однород­

ный брус составлен из двух разно­

родных по упругим свойствам стер­

жней

с одинаковыми

поперечными

сечениями в виде четверти единич­

ного круга, спаянных между собою

вдоль

их плоских

граней.

Полное

сечение такого бруса будет, очевид­

но, заполнять

область

полукруга 2 + .

Координатную

систему

возьмем

Рис. 3.

так, как указано на рис. 3. Пусть

2 ^ и S2"— области сечений

стержней,

и у~2—дуговые,

а / ] , 12

и h прямолинейные

части

их

границ,

причем 10 обозначает след поверхности раздела различных

сред

(см. рис. 3).

Граничные условия для определения функций F\(z)

и

F2(z),

голоморфных соответственно

в областях 2J*~ и So",

имеют

вид

Fj_ (t)

+ Fj, (t)

=

tt

на

y{

-У

ly,

(27.40)

Fo

(t)

-r Ft (t)

= tt

на

у$

-г

l«,

(27.41)

Fi

(0 - Fi (0 = F2 (0 -

F2

[t)

на

IQ,

(27.42)

Hi [Fi (t) -г- F x (f)] -

ц. [F2 (ti 4- F i (01 = (Hi -

И2) it

на

/0 .

(27.43)

Приступая к решению, сложим равенства

(27.42)

и

(27.43).

Имеем

(Иі + И2) F ! (t) +

(Hi -

H2) Л

(0 - 2|xa F2 (0

=

= (1.4 — pо) Я

на /0 .

(27.44)

Определим в области Б 2 + ф у н к ц и ю

.Fi (2)

равенством

(Р-і 4- р2 )

F j (2) = 2\i2F2

(z) — (HJ -

p2 ) ?!

( - z) —

— |Л2 ) z2

при

2 G 2 ^ .

(27.45)

Тогда условие (27.44) позволяет утверждать,

что определен-,

ная только что функция Fi(z)

аналитически

продолжает зна­

чения

искомой функции Fi(z),

голоморфной

в

1.t,

в

симмет­

ричную относительно оси у область 22 через

отрезок /0 . Функ-.

ция F\(z)

будет,

таким

образом,

голоморфной

во всем

верхнем

полукруге 2 + .

Полагая

Fi(z)=lrz2

+

F(z),

(27.46)

находим из формулы

(27.45)

2yuF2 (z) =

(цА + р 2 )

F (г) 4- (|хх

- р2 ) Т(-г)

+

(2 ^

-

р2 ) 22

при

г G 2Г .

(27.47)

Учитывая два предыдущих равенства, представим условия

(27.40) и (27.41)

в следующем

виде:

F (t) + Ш = ft ~ \

(? + Ь

на yt

4- к,

(27.48)

(На H- \4){F (t) 4- ^ТЛІ 4- (Pi -

(iB )[f ( - 0 4- F ( - ÔJ =

=

2\.uit

— (2цА — \x2)(t2 4- Ь

на у2

ь

4- /2 .

(27.49)

Заменим в формуле

(27.48)

t на (— t),

считая точку t лежа­

щей на кривой ,yt

4- к-

Будем

иметь

F ( - t) +

~F{-t)

=

ft -

~

(t* + t2)'

на

y t

+ к-

На

основании

этого

равенства

формула

(27.49)

примет вид

(р2

4- p2 )[F (0 +7ffî

= -

(и-i -

Зр2 ) « -

j

(Зра -

р2 ((і2

4-1*)

на

у 2 +

4- к-

(27.50)

Определим теперь

новую, голоморфную

в 2 +

функцию Ф (г)

равенством

0(z)

= F(z)+

g

In 2

( 0 < Im In 2 ^ я).

(27.51)

Для функции Ф(г) согласно формулам

(27.48)

и

(27.50)

будем иметь граничные

условия

Ф (t)

4- Ф ( 0 = 1 —

2# 1-4 -

ш

(^4- і2)

• на yt,

(27.52)

я Их-т-Щ

169