книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

- f

С - 1 - 0

(і = е'Л 0 < г 5 < 2 л ) ,

(25.19)

где

р — постоянная,

равная

интенсивности

растягивающего

усилия ' ) .

Для коэффициентов Фурье функции g(t),

определяемой

формулой (25.13), имеем

" • — ( ' + * ) - ? - •

> » — ( ' + - r ) - f -

^ - и Ч Й ^

(п

=

О, ± 2 , ± 3 , . . . ) .

(25.20)

Численные расчеты будем вести при одинаковых

коэффи­

циентах Пуассона, когда хі =

И2 = и. Тогда

фигурирующие выше

постоянные а, (3, . . . можно выразить через

к и отношение мо­

дулей упругости К =

Е2/Еі

следующим образом:

_ а(І-Х)

о _

(и -

і ) ( і - Х )

. L ' l -

X

j

1 - Х

№

1+ХУ. ' 1

[ :-7м

'

• 1-І-Лѵ. •

'

1 + и '

(25.21)

Укороченная система (25.17) была запрограммирована и

решена на БЭСМ-2

для различных

значений

параметра X при

к = 2

(коэффициент

Пуассона

для обеих сред

принимался рав­

ным

0,25). Как показали

вычисления, краевые

условия

задачи

(25.7) удовлетворяются

с приемлемой точностью уже при N=8,

.уравнений. Приводим

значения

коэффициентов /еь

&2 концент­

рации напряжений

max

(or+öö)

на нижней и верхней

полуокружностях:

?»

0,25

0,50

0,75

Ai

3,5925

3,2854

3,1041

/г..

2,5885

2,7605

2,8952

Напомним, что для однородного случая

{X=i)

ki = k 2 = 3 .

§ 26. Об одной задаче

плоской теории упругости

В качестве дальнейшего применения

способа,

изложенного

в § 23, рассмотрим

задачу о растяжении

бесконечной плоскости,

ослабленной круговым отверстием и бесконечным

прямолиией-

') На самом же деле

величина

р кусочно-постоянна. Если

0*'°°'—рас­

тягивающее усилие в нижней полуплоскости, то

р=, о-у.00)

при t на у ~ ,

р = *.о<1,со)

при t на у + ,

где Я=p-2/f.ti.

другим концом в

бесконечность, когда растягивающие

усилия

с интенсивностью,

скажем, р , перпендикулярны к

линии раз­

реза. Без

ущерба

для общности рассуждении примем радиус

отверстия

равным

единице и расположим разрез

на

положи­

тельной оси x от точки х=1

до бесконечности

(рис. 1). Область,

занятую упругой средой, обозначим че­

рез S, а ее границу,— совокупность

кон­

тура

отверстия

и

разреза

с

двумя

его

берегами,— через

L . Мы

считаем,

что

граница L свободна от внешних

усилий.

В сформулированную задачу мы бу­

дем вкладывать

следующее

содержание.

При

наших

условиях

относительно

внешних воздействий и конфигурации об­

ласти примем вначале разрез конечным,

расположенным

на

отрезке

веществен­

ной оси 1^.х^.а1),

и

рассмотрим

пре­

дельное

состояние

упругого

равновесия,

когда

концевая

точка

разреза

z=a

уда­

ляется в бесконечность по оси х.

По

мере удаления

точки

z—a

от на­

чала координат напряжения в окрестно­

Рис. 1.

сти бесконечно

удаленной

точки

будут,

разумеется, беспредельно возрастать. Бу­

дем считать, что эти

напряжения

уже

определены

каким-то

образом,

и поставим

задачу

об упругом

равновесии

пластинки,

соответствующем

заданному

на

бесконечности

напряженному

состоянию.

При определении поля напряжений в бесконечно удаленных

частях плоскости мы поставим условие, чтобы

напряжения,

вызванные

этим

полем

в любой

конечной

части

плоскости,

оста­

вались

ограниченными.

Это условие

равносильно

требованию,

чтобы

основное

поле

напряжений,

т. е. поле, заданное

на

беско­

бом «конечные

части» напряжений,

возникших около

отверстия

в упругой модели, представленной на рис. 1.

Искомые

потенциалы

задачи,— однозначные

аналитические

(голоморфные)

функции

в 5, обозначим

через

срі(г), \\n(z),

Фі(2 )> xY[(z)

и запишем

граничные

условия

задачи в

виде

Фі (0 + ^ФГСО -h Vjt)

= О

на L .

(26.1)

') Случай разреза конечной длины подробно исследовался Уиглсуэртом

(Wigglesworth

[1]).

2 ) Рассматриваемая задача для случая

внешних

усилий, не

влияющих

на кончик разреза

(z=oo), решалась тем же методом § 23 в статье Г. А. Ку-

Соотношением

z =

£а ,

С - -

Ѵг,

(23.2)

где под "|/г подразумевается

ветвь

радикала,

принимающая

положительные значения

на верхнем

берегу разреза, отобразим

область

мы назовем

прямолинейные

части

ее границы

обо­

значим

Li и L 2 , а дуговую часть границы,

т. е. полуокружность

|а | = 1,

І т о < 0

через *р. Область,

симметричную

2~

относи­

тельно вещественной

оси на плоскости £,

обозначим

через

S+ ,

•а дуговую часть ее границы — через

Тогда

при дальнейших обозначениях

т і ( г ) =

Ф 0 ( а

*i (2)=ii'o(S) .

Ф 1 ( 2 ) = Ф 0

( о =

- і г

( 2 6 - 3 )

условие

(26.1) преобразуется к виду

Фо (о") + - я - Фо (а ) + % (°) = 0

"a

L

i "I" L2,

(26.4)

Фо (а) +

~2~ фо (о) +

\р0

{а) =

0

на

у - .

(26.5)

Введем голоморфную

в области

2 +

функцию

Ф о(£)

равен­

ством

Фо(£) =

§-TÔ(î:)—^оСО

при

Ç в v + f

(26.6)

и через

расширенную функцию фо(£) определим

ifo(£)

в

виде

Фо (S) = -

Фо (0 - 4

ФО (Ö

"P"

S в S '

(26-7)

Тогда граничное условие (26.4) будет

выполняться

вслед­

ствие аналитичности

функции фо(£) вне

окружности

у,

-у —

= Т + Ч + > а условие

(26.5) в силу (26.7) примет

вид

Фо (о) -

Фо R

+ (о2 -

о2 ) Ф0

(О) =

0

на

у ~ .

(26.8)

Таким образом, мы пришли к задаче

(26.8)

для определения

одиой-едииственной

функции Ф о(£ ),

голоморфной

при

|Е;|>-1.

тенциал Ф*(£), соответствующий

этой задаче,

имеет вид

(Н. И. Мусхелишвили [1], §120)

Ф # ( 2 ) = - М ± ^ - - - £ - ,

(26.9)

у г (г —- а)

*

С о = 4 ,

{і£!Щй£-

= о.

2

]

yt(t-a)

О

Под Yz(z

— о)мы будем понимать ветвь радикала,

имеющую

при больших

\z\

вид

l / z ( 2 - û ) = z - b 0 ( l ) ,

а под \irt

(t — а) при 0 < / < а

— значения

этой

функции

на

верх­

нем

берегу разреза. Тогда

/rf/

я

//

(t -

а)

=

й-Ж.

о

о

2

Эти

равенства

определяют

постоянную

сх

в

формуле

(26.9)

в виде

ар

Следовательно,

Ф, (г) =

-

f - =

4

=

-

-

f : р = = г

—

f •

(26-10)

z

J- z(z

— я)

4

} г (г — я)

4

Будем теперь рассматривать функцию Фо(г) в окрестности

правого конца разреза г = а :

г—а = — А,

|A|s £ p,

(26.11)

где

р — достаточно

малое

положительное число. Замечая, что

— 2

Vг(г

— а)

'

У z(a

-

z)

i

{ Г а — z

'

Г

z

представим формулу (26.10) в виде

При

беспредельном

удалении

точки х=а

от начала координат

ного р, правая часть

выражения (26.12) ведет себя как функция

от комплексного аргумента w:

Р

w •

-j-

при H

4і

Отсюда, заключаем, что комплексный потенциал

Фі(г) нашей

задачи допускает при больших \z\

представление

ф ^ ) = і Г

Ѵ г - ^ - і г ^ г ^ о ( ^ г У

(26.13)

мость

^

Ф і ( 2 ) = Ф „ (5) =

- ^ .

Ф о а ) = Р о ( £ ) + Ф ( Е ) ,

(26.14)

Ф о ( £ ) = Р о ( е ) + Ф ( С ) ,

(26.15)

( 0 = - £ ( • £ + Ç - С) ;

Р0 (0 = - ^ ( S + f — f '

(26.16)

Ф(С) = і

ф .

где ф(£ ) — голоморфная функция

вне окружности

"f. включая

Для

функции

ф(£)

мы

будем

пользоваться

разложением

в степенной ряд

OD

Ф ( £ ) = 2

(26.17)

fc=l

В соответствии с этим

со

Ф(^)

= - 4 - 2 Ч ^ - ! .

(26.18)

') Выбор главной

части

функции %)(С) уже от нас не зависит. Эта глав­

ная часть, как и сама функция

\|>о, полностью определяется

из возможное гп

аналитического

продолжения

через

потенциала

<Ро(0.

даваемого

в об­

ласти 2 _

равенством

(26.6). В

самом

деле,

из формул (26.7)

и (26.14)

пако-

дим при больших |С|

Ѣ

(S) =

T T ( " T +

+

S) + Ф (?)

(в

(a)

где IJÎ(C) —ограниченная функция:

t

(С) = -

Ф ( ö

-

4 - Ф' (S) =

0 ( - y )

(в

Из (a) следует

при больших

|z|

T l

(г) = *; (2) = _

-g- (j/7_ Al + y = )

+ • ( ^ ) .

(b)

/(<?) = — (А, И - Д> (^) + (s2 - ô2) Polo)) на y - ,

(26.20)

Ф (а) — ф (à) - f Q (а) = F (о)

на

у.

(26.21)

где

Й (а) -

о2)Що)

на

y-,

F(a)

=

\

^

Н*

У~'

а2)Ф(е)

на

т+

'

а

[ -

№

н а

V+.

Положим,

далее,

(26.22)

fi (а)

=

f Лйсг*.

F (а) =

f

^Ѵ* -

(26.23)

—со

—со

Согласно определению функции й(а) имеем

V

+ g L

f {0а--Ъ2)

фЩа~п~!da

^

А

^ +

А^.

(26.24)

т

;+

Подстановкой а — р- преобразуем

второй

интеграл

к

виду

2^

j (cr 2 - ö 2 ) Ф(а) a - « - ' d a =

j ( о 2 - а 2 ) Ф ( о о а ' ! ~ , г і а - - Л ( Г " ) -

J

+

-

V

У

Следовательно,

Аналогично находим

Л„ =

-

Л ( - п ) .

(26.25)

А а = А™ -

А ( ~ п \

(26.26)

Из предыдущих равенств следует, что Л - „ = — Л „ ,

Л _ п = — А - п ,

и поэтому нам достаточно ограничиться рассмотрением

коэффи­

циентов Фурье Л„, А п с положительными

индексами.

Согласно формуле

(26.18)

имеем

(а - о

2

) Ща) =

£-2 /га (<!*+* -

о").

2

й

k— n f 4

} (26.27)

l

V

kak°k+n

( » > 1 ) .

ni

i«J

k-'- П ;-4

fc=l

_

( - 1 )

m i 0;

ô0 = — ni,

a символ

2

означает, что при суммировании

пропускаются два

значения

индекса

k: k=n,

k=ii—4.

Предыдущие

формулы с учетом формулы

(26.25)

дают

1 V

<Vb/.

( я > 1 ) .

fc+n

f 4

k—n+4j

(26.28)

Исходя из второй из формул

(26.22) и принимая

во

внима­

ние (26.20),

(26.16), для

коэффициентов

Фурье

функции F(a)

находим

аналогично

Р1

, А3

=

(26.29)

л »

=

~d

(,г

^ 4);

À »

= о з ~ " — б

з + п

"!"б,! '

После

подстановки

соответствующих

рядов

в

равенство

(26.21)

это последнее примет вид

СХІ

с о

о о

Е

ак (о" -

а") + 2

AÄcrft = 2 Ало",

(26.30)

fe=l

—оо

— со

причем

коэффициенты

Л„ и А п при п ^ І

определяются

форму­

лами (26.28) и (26.29).

Сравнение

в равенстве (26.30)

коэффициентов

при er4

( п ^ І )

дает систему

уравнений

- а п + А п = А П 1

л > 1 .

(26.31)

Для

чисел Кп

в силу

определения

символа

ô„, после

элемен­

тарных

вычислений находим

[1 — (— i ) " - 1 ] 16«

« ¥ = 1 , 3 ,

(26.32)

( п 2 _ _ і ) ( п а _ 9 ) »

пап=хп+іі/п

(п^ 1).

(26.33)

— 5& = т г 2 ' Ѵ 2 ' <

^2/г-1

+ 2p,

2k + 5

2k + 3

1 +

' °2k-i-3

б 2 й - 3 ^

' 9

- f b H r l N 2k + 7

2 / г - ! - ! / _ , 3

-

1

СО

4

V л.

/

ö 2£-f-2/i-l

J 2fc-2;i+I

(n>3),

A'oft

2А+2/г+3

2й—2/г+5

(26.34)

-Y»

2

i/2fc —1 (h 2fe+l

J 2fc-3

ft=i

4 1

^

/ u2fc+3

J 2&-5

+ 4A1 ;

І/2/г—1

2ft+7

2/г—1

fe=i

'Y2n-4

=

4

"V

I

u 2fe+2»-l

u

2fe-2/i-l

+

4Л2 „

(л>3);

я ^ » 2 f t

- 4

6,

:

2A+2n+3

2/г—2n+3

ft=i

4

•*2п-1 =

#2п =

0,

tt^l;

(26.34')

16

p

16/1

/г>2.

(26.35)

Л

; г

~

15

я

+

2

Л 2

п — ( 4 « a

—l)(4n

•9) я '

F—2

-—ft

I .

= - 4 R e ( - £ ( s + 1 - \) + V ft=i +

^ f

e

j ; £=pe '"* ( 2 6 - 3 6 )

На

окружности |Ç| = 1 мы имеем: о р = 0 и предыдущая фор­

мула с учетом

(26.34')

примет вид

— а» =

1+2sin

# + 2 S

[xsk cos (2k + 2) Ф + yik_x

sin (2k + 1) Щ.

(26.37)

( л ^ - а ^ 2 я )

При

практических

вычислениях мы будем

пользоваться ко­

неизвестных г/ь у3, . . . , у2к-\,

х2, Ха, • • •, x2N

имеет такой вид:

5#і =

2

CtfeiXoft

- 2 p ,

fc=l

7

N

9

2j

aft2A'2fc

=

A:=l

N

(// = 3 , 4 , . . . , N),

У2п-5

ft=l

(26.38)

— Л'2

2!'

ß*l#2fc- i + Л2

-Ь 2p,

,Y

0 =

V Q

. -1- /Li,

-

Pft2#2ft-

64

/г (2ft +

1)

ßftn = я

(2A+2/I—1) (2 £ +2/ г+3) (2ft—2/1—1) (2ft—2/г+З) '

64

/гр

А2п = я

(4я2 —1) (4п2 —9) *

Вычисления

показывают,

что для

удовлетворения граничных

ся рассмотрением

системы

(26.38)

из 20 уравнений

(7Ѵ= 10).

Система (26.38)

решалась

на ЭВМ при N=5,

10, 15 и 20 и

находились

соответствующие

по

формуле

(26.37)

значения

растягивающего

напряжения

о> в

точках

контура

отверстия.

Результаты

вычислений для N=20

приведены

ниже в виде

таблицы.

0

л

21

22

23

2 5 „

2 6 „

27

2 s , r

2 9 т г

I я

20я

55я

2"0Я

20я

20я

20я

20я

20я

20я

Ip

—0,08 —0,16 —0,88 — 1,62 —1,91 — 1,54 —0,61

0,64

1,85

2,72

3,03

Чі, а внутренняя —

Пусть, далее, рі и р2

обозначают

радиусы

соответствующих окружностей, / — совокупность

двух

отрезков

действительной оси, лежащих в области кольца,

2 +

и 2~ —

верхнее и нижнее

полукольца, a yt, yt и уГ, ?2~ —

верхние

и нижние полуокружности соответственно.

Согласно условию, принятому в § 23,

будем

считать, что

функция

z=<û(S),

(27.1)