книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Ь0=а0,

b, = kah

(k=l, 2, . . . ) ,

с о

(i + X) ь0

= - ь2 + X

2! 2а4гі [ è

^ i ь№-1

+

b2k+i -

—

Ьгк-l

4- i40 > (24.20')

+ J_

у

1 + x

bin =

bin -

Ь~2п + 2 + £î

w r = ï

+

2 n

+

2

^

Ak — 2

Л(- ^2( 2 * — l ) 2

— 4/i2

jflfe—\

&2Й-1 4- Ö2fe+1 — Ô2ft_l j + 2Л2 „

(/1

= 1,2, . . . ) .

(24.20"')

+

2

N

и — 1

^2fc-l +

— ^26-1 + Л0

,(24.2Г)

4

s -

2k — 1

2k

~i

ni

1 4 к

—

—

2n _ " l &2п—1 =

— &2л+1 +

Ak

Гх — 1

б2* +

5 » + 2 - & а * ] + 2 і 4 а я - ь

(24.21")

яг

ft=l

Ak* — (2n— l) a

2£

1 4 « t

t

, T

, 4

&j .

-^—- ô2 „ = -

ô 2 n + 2 4- b2n

+ —яі t 44„/ia 2 _—j 1+

2_

V

4fe —2

^ ~ ' - 6 2

t - l

4-026+1 — &2ft-l| +

2Л2 „

k^i

№ — !)2 — 4

n

î

(24.21'")

( n = l , 2.

гѴ),

и уравнений

вида

(24.22)

bm+2—bm=0,

m=2N—

1,

2iV,

З а м е ч а н и е . Функция g(t),

определяемая равенством

(24.7), не

будет

по известной причине регулярной на окружности даже при простейших

нагру-

жениях границы полукруга. В случае равномерного нормального

давления на

у ~ ,

например, производные

от g(t)

будут иметь в точках

/ =

± 1

разрыв пер­

вого

рода. Следовательно,

ряд Фурье для функций g(t)

будет,

как правило,

го решения придется в усеченной

системе (24.21)

удерживать значительное

число уравнений.

С другой стороны, во всех случаях, особо интересных для

практики,

мож­

но заранее «сгладить»

функцию

g{l),

рассмотрев на у + не

равенство

вида

(24.6), я равенство, полученное из пего

переходом

к сопряженному значению.

Тогда функция

g{i) получится гладкой,

но зато

бесконечная

система уравне­

ний, полученная

взамен

системы

(24.18), будет

иметь более

сложную

струк­

да

оказаться

целесообразным.

•Граничная задача (24.6)

примет тогда вид

Ф (0

+

ХФ 0) +

(t-t)

Vit)

=

g* (t) + k (t) Q* (t)

на y,

(24.23)

g*

it) =

/ it)

на

y-,

g* (0 = / (0

на y+,

(24.24)

Q* (0 =

Ф {t) -

Ф (*)+* ІФ (t)

-

ФІ*)] +

( t -

t)lVÏÏ)

-

Ф' (T)]. (24.25)

Вместо формул (24.11) и (24.13) будем иметь соответственно

Л)! =

§1. .?Q*(0

(л =

0, + 1, . . . ) ,

(24.26)

Q* (0

=

(а, -

a,) t +

У, (ak

-

ak) t» -

2

[a; к] t~k,

(24.27)

fe=0 fe=0

Q*k [a; к] =

(k +

2)(ak+2

— â k + 2

)

— k (ak

— ak)

— к iak

— ak).

(24.28)

Имеем, далее,

1

=

0

0

-n

о),

t-»-*dt

к

+

Л•

2 '

и

in

>

ni

k=0

ni i

2 ы ~

t-n-i

Ä = U - i 5 ' ô „ U

(n < 0

к

fc+

k = 0

//2ô„_i/rt

( n ^ l ) ,

_ni1^.f t-"dt

=

1

in

=

1),

Re{(l - f x ) а 0 - Ь 2а2 } = - I m

k=i

со

Re{2a1}

=

- Im

2

' ôft_i ak

+

S

S/e+i йл [a; и]

+ a;,

fe=l fc=0

R e { ( x - l ) o 1 + 3a8

} =

= - I m

2

öft+i a

k

- f 2'

A

4-

[(24.29)

ô _iQfc [a; x]

fe=0 ft=0

Re{a,J = M m

Sn-l % + 2'

Ôfc_„fiu +

fc=0

CQ

+

Л„,

( n > 2 )

+ 2 ôf c + ,jQft[a;

x]

Re { (n +

2) a n + 2

fe=0

=

— (n — x) aj

U m

СО

со

ô, l + i ax -h 2ôfc+«aft

+ S'Sft-nfift

[a; x]

В

этих

равенствах А*а (п—0, ± 1 , . . . )

обозначают

коэффи­

циенты

Фурье

функции g*(t);

Ап—заданные

действительные

числа. Равенства (24.29) представляют собой

бесконечную сис­

тему

действительных

уравнений

относительно

действительных

и мнимых

частей ah

(k=0,

I , . . . ) . Положим ctk =ocf t -f

iß/j и сде­

лаем

замену

а0 =

сс0,

ß0 = Jiß0 ,

na„ =

a; J >

nß„ =

itß„.

(24.30)

Тогда

относительно a„, ß„ система

(24.29) примет такой вид:

( l + x ) a o + « a = - 2 ß H -

+

у

6fc (ßft+2- öfeßft) + ^0

k=i

(24.31)

2a x

'ft=0

ßft +

2 'ofe + l(ß

Ä + 2

— (Ükh) +

k

k=0

с о о

с о

I

( х - І ) с е 1 + а , = Д - ^ Р * +

Д Х - К Р ^ - с о ^ + Л І р [ (24.31)

fe=0

ft=0

fc=0

fe=0

fc=0

R

+ 2

' Ôft-„ (ßfc+2 - coAßfe) +

ЛІ „

(я >

2).

fe=0

Исключая из этой системы ah

(k=l,

2, . . . ) , получим систему

для определения

ßft (k=0, 1, . . . ) , распадающуюся

на две неза­

ОО

ОО

°0lßo + 2' ©ft! ßfc =

Bj_,

(ù0n

ß 0 +

2'

öfcnßft

= ß„

(Я > 2),

ft=l fc=l

cooi = — (x2

+ 4x +

3),

coo„ --=(1 +

x) 2

8 „ ,

/4k + 3x + 3 ^ (1 4-х)» (ft — l ) + f t (5 — 8x — 5ft)

X ( ft(ft+3)

'

2ft(ft2 — 1)

I

ß>ft„ =

( ( - l ) f t - " - l )

X

1(24.32)

X

(ft - w)[(x'+ ft)2 +

1 — kn — 2k] — 2x (ft 4- n)

_

k (ft2

— и2 )

(ft 4- n)[k — n — 2(\ — x)]

2 , 3 , . . . ) ,

(ft 4- n)2 — 4

5, =

1/2 (x — 1) ЛГ +

-

Л І , , Bn

= (я + 2) Л^+а -

— (я — x) Л^ — ЛІ„ .

f(t)=pt

(t на г ) ,

(24.33)

где р обозначает интенсивность давления. Для g(t)

согласно

формуле (24.7)

будем иметь

g(t)=pe-{<>

( 0 < Ф < я ) ,

g(t)=peiù

( я ^ т } < с 2 я ) .

Следовательно,

Re{g(t)}=pcos®,

Im{g(*)} =

—p|sin*| .

(24.34)'

Коэффициенты

Фурье

функции g(t)

будут

иметь

значения

А

=

f ,

А2п-і

=

0 (а

• 2),

А2п

=

Д - г ^ ' .

(24.35)

Усеченная система (24.21), (24.22), состоящая из 4/V+2

вещественных

уравнений,

численно

решалась

для

значений

N—3, 4,

5.

Для

счета

в

условиях плоской

деформации

было

принято

х =

5/3

(коэффициент

Пуассона

принимается

равным

1/3).

Граничное условие (24.5), имеющее в данном случае

(после

подстановки

в левую

часть соответствующих рядов)

вид

терных точках основания штампа

( — І ^ х ^ І )

max

оу = оу \x=o

= 1 ,1591p, min oy = oy \x=±i

= 0,8376p. (24.37)

§ 25.

Кусочно-однородная плоскость с круговым отверстием ')

В

качестве

другого примера

приложения

способа рассмот­

скажем,

p,i, заполняет нижнюю полуплоскость плоскости пе­

ременной

z=x-\-iy,

а другое, с характеристиками

К2, цг,—

верхнюю

полуплоскость. Предположим, далее, что

рассматри­

ваемая кусочно-однородная среда ослаблена вырезом круговой

формы и подвержена действию внешних усилий,

приложенных

на обводе и на бесконечности. Радиус отверстия

примем рав­

ным

единице

й расположим

его центр в начале координат.

Тогда

линией

раздела сред

будет

служить

действительная ось

x с выброшенным отрезком

(—1,

1). Эту

линию обозначим

)

См. статью автора [11].

10 А И. Кала»дня

145

через L . Через S -

л S+

обозначим,

далее, нижнюю

и

верхнюю

полуплоскости с выброшенными полукругами, а через -у- и

как

и прежде,

нижнюю

и

верхнюю

полуокружности

соответ­

ственно.

Искомым

комплексным

потенциалам

ср и т}\

голоморфным

соответственно

в

S~ и S+ ,

будем приписывать

те

же

индексы,

что

и упругим

постоянным.

Имеем

следующую

граничную

задачу:

Фі ( 0 + ( ' - ' ) ФІ (0-b ХІ ( ' ) = / ( ' ) на у

(25.1)

Ф2 (0 +

(t - 1 ) %

(0 +

X* (0 = / (0 на

у+,

Фі (0 +

Хі (О

ф2

(0 + %2 (0

на L,

(25.2)

Xi (t)] == «2Ф2 (0 -

Х2 (0

на I .

Здесь /(/")—заданная функция

точки на

единичной окруж­

ности,

X(z)=zq/(2)+4>(z),

А = ц 2 / р , .

(25.3)

Складывая

и вычитая

равенства

(25.2) и переходя во вто­

ром из них к сопряженным значениям, получим на L

(1 -;- Лх,) сГ і

(t)

+

(l -

X) хх (0 =

(1 +

х2 ) ф

2 (О,

(25.4)

(«2 +

хі (0 4- (ха

- fcg Ф і

(о

=

(1 -і- хо х2

(О-

На основании предыдущих равенств очевидно, что функции

фь Хь определяемые в области

5 +

равенствами

( г е 5 + ) ,

(1 -p kKj) Ф і

( г ) :

( b - l ) X i ( z )

+

(1-Ь x,) cp2 (г)

(25.5)

(х2

- f X) Xi (2)

= (ЯХІ — x2 ) "cpj (2) + (1 4- x2 ) x2

(г)

аналитически

продолжают

значения комплексных

потенциалов

Фі, %і в 5 + через

линию L . Иначе говоря, функции

фь %і, рас­

пространенные

на

S+

равенствами

(25.5), будут на

основании

отверстием.

Эту расширенную область обозначим через

5, а функции

Фь %і в ней голоморфные,— через ф, %.

Значения Ф 2 , %2 можно теперь выразить

через

вновь

введен­

ные функции ф и %•

Из равенств (25.5), учитывая новые

обозначения,

будем

иметь при ZŒS+.

(1 4- щ) Ф2 (г) =

(14- ЯХ!> Ф (2)

4- (1 - X) % (z),

(25.6)

(1 4- х г ) ха (2) =

( х а 4- Я) x (2)]+

(к 2

— W

Ф (г).

Ф (0 + (t — t) Ф' (0 4 X (0 + «Ф (0 4- ßx (0 + Ох (0

+ (25.7)

+ ô(^ —Ô5C'(0 = ( 1

на ѵ+.

с о

с о

ф (г) == 2

йьг - / г ,

X (2 ) = 2

c*z_ft-

(25.9)

Л=Г

fc=0

Предполагая равномерную сходимость на окружности ря­

дов,

получаемых

из выражений

(25.9)

дифференцированием,

составим левые части равенств (25.7). Будем

иметь

с о

с о

^

Ф (0 4- (і-ЪѴШ

+ Ш

= с»+ 2,akt-k

+

2äktk,

fc=l

ft=l

«Ф (0 4- ßx (0 +

Sx (0 - h ô (f -

0 X' (0 = «c0

V (25.10)

S <^-ft

4- S fil **,

(* = е'Л 0 < ft < 2л),

где

ßft = Ck 4- Äafe

— (k — 2) aft ^2 ,

=

aak 4- ßcf t 4- ô [kck — (k — 2) cf t _2 ]

(25.11)

(Ä =

1,2,3...)

В

выражениях

(25.11)

при

1 член,

содержащий

множи-:

телем k—2, следует опустить.

В

дальнейшем

понадобятся

следующие

очевидные

равен­

ства,

получаемые

почленным интегрированием

соответствующих

сумм:

~г f f i

' -

B - ' Д

+ 4 г І ' ( " f - " я " 1

К

'

о U=i

ft=i

m*

J f i V - 4

-

*-n - ±. І ' (

f + + " n

/

X, (n<0)

о U=i

J

*=i

1

•

J_

f * - „ - і Д =

P - ( -

(я Ф 0),

я і

oJ

I

1

(я = 0).

(25.12)

10*

147

g(t)=f(t)

на г .

g( 0 = ( l + a ) f ( 0

на Т + .

(25.13)

Положим

с о

¥ ,

2 Я

(/e =

2

А* = 2НгІ£Ю*~Л~1Л

0,

± 1 , ± 2 , . . . ) .

(25.14)

Подставляя

предыдущие ряды в условия

(25.7)

и сравнивая

коэффициенты при одинаковых

степенях

tn (п=0,

± 1 , ± 2 , . . . ) ,

получим на основании равенств

(25.12)

k=i

fc=i

fc=i

б _ Ѵ ( - l ) f e + " - l -

a ( - D " - l - _ л

a„ -f- 1/2 ocn

— ^

ZJ — é

cfc - -

ft=i

,

1 У ( - l ) * + n - I n - • « ( - ! ) " - ! - _ »

(я =

1,2,3,...).

(25.15)

операций исключить все ак (k=l,

2, . . . )

и получить систему,

содержащую лишь неизвестные ch

(к =

0,

1, 2, . . . ) . В

общем

же случае, при произвольных упругих

характеристиках

доби­

ных, начиная ,с некоторого

номера. Для обозначения

неизвест­

ных воспользуемся

единой

символикой

Чп=сп

(п=0,

1, . . . ) ,

А ' 2 п - і = я „ ( n = l , 2, . . . ) ,

(25.16)

N

N

( 1 -Ь - | Л Х0 — Ô 2

S/e*2ft + 2

Ô /Afc-1

=

AQ ,

Л"

- I " ~2~ fl2«-l +

2 S ft - /Aft -1

~ 6

2

SH-n*2;, — aÔ„*0 =

A„,

ft=l

fc

=

l

л'2я-і -!- -g- л:2„ — ô 2 àk~nx2k

- j -

2 S A + A A + I J r

aô,,x0

= Л _ „

ft=i

ft=i

(я = ! , . . . , # ) ,

(25.17)

где

Ь^ЧКРГ1

(v =

1.2,...).

^2ft = *2fc + AÀr2ft-l — (Ä — 2) X2k-5

(k=

1,2,...),

Q2fe_i =

ax2 f c _i +

ßx2 f c

+

ô [kx2k

— (k — 2)

x2k-i\-

со

о> -!- сто =

- 4 2

k [x'sk-i

cos

(k - i - 1) Ф

- i - Д-2А-1 sin

(k-\-

!)•&];

fc=i

(25.18')

на

ч +

(Os^fts^n.)

er© =

4 2 ^

^

± +

nx2k)coS(k

-!-!)*

+

A 2fe-1

t]X2k

Sill (k-r

1)$ ,

(25.18")

1 -h a

причем

xk

= xk

Ar ixh

(k = 0 , 1 , . . . ),

7) =

—