книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

приведении

выражающее условие равновесия упругой шайбы, прижатой к отверстию сосредоточенной силой. Кроме того, и здесь будут выполняться условия

ем сингулярное интегральное уравнение (20.15) при дополни­ тельном условии (20.16).

После определения N и ß функции напряжения Фо{г) и <Di(z) будут даны формулами (20.4) и (20.5). Что касается функций 4f0(z) и x Fi(z), то они, как и в предыдущем парагра-

130

а система линейных уравнений для дискретных значений иско­

') См. замечание в конце параграфа.

131

Для найденных Nv и ß') левая часть выражения (20.16), обозначаемая через c(ß), будучи вычислена с помощью квадра­ турной формулы типа Гаусса:

f M _ 2rnß ^ sin ö y ( c o s a fly— ß°) ^Ѵу

v=l

имеет следующие значения:

c(ß) = 1,00143 при /7Я = 0,9;

с(ß) =0,99996 при г/Я = 0,5;

c(ß) =0,9999 7 при r/R = 0.

Отсюда видно, что равенство (20.16) выполняется во всех трех случаях с высокой точностью.

Как было отмечено в начале параграфа, рассматриваемая задача при известных допущениях может быть решена в замк­ нутой форме. Давление Л7 (я) и участок контакта f, представля­ ющий собой на сей раз отрезок [—I, I] оси х, даются при этом формулами (Н. И. Мусхелишвили [1J, стр. 438)2 )

Напомним, что ß определяется через по формуле (19.36). Формулы мы приводим в симметричном случае.

132

Но в нашем случае, согласно формуле (20.3а)

*w=4(-f-4-)*.

ввиду чего предыдущие интегралы вычисляются элементарно. Будем иметь

Для сравнения результатов приведем численные замечания напряжений и полярных углов, полученные из предыдущих формул при тех же параметрах задачи.

Разница между данными таблиц 1 и 2 ничтожно мала.

§ 22. Об обобщении метода

Изложенный в настоящем отделе метод решения контактных задач обобщается на случай некруговых отверстий определенно­ го класса. Это относится в первую очередь к отверстиям, своди­ мым к круговому при отображении области функцией вида

вать отверстия в форме круга, эллипса, криволинейного четырех­ угольника и др.

При решении задачи о жестком включении .в этих случаях следует, предварительно воспользовавшись отображением (22.1),

133

Глава четвертая

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ

Глава затрагивает несколько вопросов математической тео­ рии упругости и содержит решения различного рода конкретных задач. В первом разделе предлагается способ эффективного ре­ шения плоских задач для довольно обширного класса односвязных областей с кусочно-гладкими границами. Во втором разделе дается замкнутое решение задачи об усилении тонких пластинок прямолинейными ребрами жесткости постоянного сечения. В третьем разделе указывается новый вариант определения интенсивности напряжений около отверстий и, наконец, в чет­ вертом разделе реализуется в численной форме один из извест­ ных методов решения плоской задачи.

I. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОДИОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Класс областей, который' мы будем рассматривать в настоя­ щем отделе, определяется условием, чтобы функция и ( ^ ) , даю­ щая конформное отображение области 5 на полукруг (на полуплоскость с вырезом в форме полукруга), допускала анали­ тическое продолжение на всю область единичного круга (на бесконечную область вне кругового отверстия). После продол­ жения соответствующим образом одного из искомых комплекс­ ных потенциалов, плоская задача для области 5 сводится к не­ которой смешанной задаче для определения одной-единственной функции, голоморфной внутри единичного круга (в плоскости с круговым отверстием). Для таких областей мы укажем спо­ соб решения основных плоских задач, позволяющий их сведение к бесконечной системе линейных алгебраических уравнении.

§ 23. Способ решения

Пусть Б + и Б~ обозначают верхний и нижний полукруги еди­ ничного радиуса на плоскости £ (с центром в начале координат), Ч+ и.7~ — дуговые части их границ соответственно,.а / — отрезок (—1,1) на той же плоскости.

135

После отображения физической области 5 на нижний полу­ круг £~ граничное условие плоской задачи представится в виде (гл. I , формула (1.14)).

чтобы ее значения на отрезке / были вещественны и представля­ ли собой граничные значения некоторой функции fo(z), голо­

где использовано обозначение (Н. И. Мусхелишвили [1], § 76)

F(Ç)=Tffî. (23.3)

Легко убедиться, что функция ф(£), определяемая равенством (23.2), голоморфна в области S+ и согласно (23.1) удовлетво­ ряет условию

Заменим в формуле (23.2) переменную £ на £ (считая, что £ принадлежит Б + ) н перейдем в обеих частях равенства к сопря­ женным значениям. Будем иметь

^ ( £ ) = - Ф ( £ ) - т ( £ ) , ф ' 1 £ ) + f ° ® при S e s - (23.5)

Предыдущее равенство позволяет определить потенциал яр(£;) че­ рез функцию ф(£), голоморфную согласно условию (23.4) во всем единичном круге.

Граничное условие (23.1) на отрезке I нами уже использовано. Если в оставшейся части этого условия заменить функцию •ф(о) ее значением из формулы (23.5), получим

Таким образом, для определения одной-единственной функ­ ции ф(£), голоморфной в-круге | £ | < 1 , мы имеем условие (23.6) на нижней полуокружности. Условие на верхней полуокружности

136

получится из равенства (23.6), если заменить в нем точку о на а. Будем иметь

Ф (а) - Ф (а) + [со (а) - а (а)] Ф (а) = - f * (о) на 7+ . (23.6а)' Объединив формулы (23.6) и (23.6а) в одно граничное условие,

применить метод степенных рядов; это приведет к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неиз­ вестных коэффициентов разложения функции ф(£) в степен­ ной ряд.

Указанный способ легко переносится на случай областей, отображаемых на круговое полукольцо при помощи степенных рядов.

Подробными вычислениями и исследованием решения в об­ щем случае мы заниматься не будем. Применение способа про­ иллюстрируем ниже на конкретных примерах.

§ 24. Основная смешанная задача для полукруга1 )

Рассмотрим задачу о равновесии упругого полукрута, прижи­ маемого в условиях плоской деформации (или плоского напря­ женного состояния) к абсолютно жесткому профилю с прямоли­ нейным основанием. Предполагается, что соприкасание упругого тела с жестким штампом происходит вдоль диаметра окружно­ сти, а внешние усилия, действующие на тело (и, разумеется, удерживающие его в состоянии равновесия), распределены по по­ луокружности по заданному закону.

Радиус полукруга примем равным единице и расположим упругое тело со штампом в плоскости z=x-\-iy так, чтобы уп­ ругая среда занимала нижнюю половину круга с центром в на­ чале координат. В рассматриваемом случае, очевидно,

z = c a ( £ ) = £ .

Верхний и нижний полукруги в плоскости z будем обозначать соответственно через S+ и S~, а для их дуговых границ, а также для отрезка — 1 < г < 1 , оставим прежние обозначения.

') Настоящий параграф воспроизводит статью автора [10] почти без из­ менения.

137

Предположим, что на линии соприкасания двух тел (уп­ ругого полукруга и жесткого основания) отсутствует скольже­ ние и отставание1 ). Тогда для комплексных потенциалов qp(z) и ip(z), голоморфных в области S~, будем иметь граничные условия

плоского напряженного состояния. Граничные условия (24.1), (24.2) выполняются всюду на соответствующих разомкнутых кривых, за исключением, быть может, концевых точек z = ± l .

Следуя приему, указанному в предыдущем параграфе, опре­ делим в области 5 + функцию q>(z) соотношением

Если в формуле (24.3) заменить z на z (считая, что z при­ надлежит S~) и перейти к сопряженным значениям в обеих ча­ стях равенства, то из этого равенства определится ip(z) через функцию cp(z), голоморфную в обоих полукругах:

Легко убедиться, что граничное условие (24.2) не что иное, как условие аналитической продолжимости функции cp(z) через отрезок /. Для этой функции ф, голоморфной в силу сказанного выше, во всем единичном круге, мы будем иметь на основании формул (24.1) и (24.4) следующее условие:

ли только коэффициент трения сохраняет постоянное значение вдоль контакт­ ной линии.

138

К решению смешанной задачи (24.6) будем применять метод степенных рядов. Положим в единичном круге

СО с о

+ 2'a/m fife [я; x], n = ± 2, ± 3, . . . (24.16)

k=i

139