книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

(15.11), если внести туда

(17.1). Оно имеет вид

*-

1

ß

\Чг)

1

Г N ' ( t )

d t

-

2 ß P

A - 2 ~ ß

a

у. +

1 х~ +

ß 2 { Х

>

2л

J

f -

X

~~ я ( 1 4- у.) (л-з +

ß 2 ) 2 '

U о-1 ° ;

Это

уравнение

(со сделанной

выше оговоркой

относительно

ß) также совпадает

с

уравнением

( l l . l ) j

причем на

этот раз

В{х)<0

на

[ - 1 , 1].

Система

(11.9)

для уравнения

(18.16)

внешне

мало

чем от­

личается от системы

(18.4). Она имеет вид

х - 1

ß

1

cos2tt

4 - ß 2 +

b m

m

N m

=

2

B'»KNk

+

2ßP

cos2

ûm

-

ß a

И = 1 , . . . , 1 / 2 ( ; і + 1 ) ) .

(18.17)

^ ^ Т Т ^

( c o s ^ f ^ p

ß = 0,91612,

(18.18)

ЛГ] =

—0,37480,

№2

= - 0,85751 ,

№3

= - 1,47396,

№, =

— 1,84453.

(18.19)

При этих значениях с(ß) —1,00034.

Отсюда

для

искомого

значения

угла

гт,

соответствующего

концу дуги контакта,

получается

= 5 ° 00'46",

(18.20)

а максимальное давление будет равно

УѴ|.*=о —Л/4 = -0,5871 ЗР.

(18.21)

Положим далее в формуле (18.17) /г=15 . Решая эту систе­

му при значениях (18.18), получим

№, =

-

0,17990,

Ns=

— 0,37458,

~NS

= -

1,15746, '

№6

=

— 1,47378,

N3

=

-

0,59686,

№, = -

0,85727,

(18.22)

N7

= — 1,73637,

Л/8

=

— 1,84215.

При

этом c(ß) =0,99905.

В частности, для максимального

нормального

напряжения во втором приближении будем иметь

Л/[*_о~#в = —0.58638Я

(18.23)

По найденным N(x)

и ß можно,

как это указано

выше, вы­

числить

все

другие

искомые

величины

соответствующей кон­

тактной

задачи.

Отметим, наконец, что при нашем ß,

определяемом форму­

лой (18.18),

и

принятом

значении

коэффициента

Пуассона

приближений

для решения системы (18.17).

Однако метод,

здесь сходится

гораздо медленнее, чем в случае,

рассмотренном

ближений при отрицательных В(х) (даже при наличии

условия

(12.18)) не всегда может оказаться предпочтительным

для ре­

шения

системы (11.9).

§ 19.

Сжатие двух упругих круговых цилиндров

с

мало

отличающимися друг от друга радиусами1 )

Метод, изложенный в предыдущих параграфах, применим к

решению и в

случае, когда радиусы отверстия, проделанного-

в бесконечной

упругой среде, и упругой шайбы (вообще

говоря,

шайбы обозначим через р, ( р < 1 ) . Будем

считать, что р близко-

к единице.

За физическую плоскость возьмем на этот раз

плоскость

переменной z—x-\-iy и поместим начало

координат

в центре

Величины,' относящиеся

к бесконечной

матрице и шайбе, бу­

дем отмечать индексами 1 и 0 соответственно.

Поле на бесконечности по-прежнему отсутствует и потому

при больших \z\

Ф, (2) = Sil.

о (г - 2 ),

^ (2) = А

+ 0 (г - 2 ),

(19.1)

где

*і = 2 7 П П ^ ' ^ 2 1 # Ь -

( 1 9 - 2 )

1°. Г p а и и ч н ы е

у с л о в и я

з а д а ч

и. Свяжем

между со­

бой нормальные смещения в точках

t = pew и и = — + 1

(l=i(\— р)), лежащих

соответственно

на L 0 и Li и

вошедших

в соприкасание с точками

другого

тела

после деформации..

2°. П р и в е д е н и е

к и н т е г р о - д и ср ф е p е н ц и а л ь н о-

м у у р а в н е н и ю.

Комплексные

потенциалы

Фі (z),

4я L (2)

удовлетворяют на границе области условию

(Н. И. Мусхелиш­

вили

[1], стр. 147)

ФЛі)+ЩЖ)

+ (£)2Гі®іѴ)

+ ѴіѴ)]=М1-іТ1,

(19.10)

ds

причем s — дуга

окружности L b

отсчитываемая

от ее некоторой

точки.

Вводя новые функции Ф(£) и XF(£;)

Ф(С)= . ф ,(2),

Ч Ч £ ) = Ч ' , ( 2 ) .

'

(19.11)

голоморфные вне | £ | =

1 и допускающие на бесконечности, сог­

ласно условиям

(14.1),

представление

Ф (О

= -f

+

0 (g-2 ),

У (S) = -j-

+ 0 ( £ - 2 ) ,

( 19.12)

приведем условие (19.10) к виду

Ф (а) + Ф (а) - а ( 1 -

/а) Ф' (а) -

авЧГ (а) =

ЛГ — іГ на

Г. (19.13)

В этом равенстве о обозначает точку на единичной окруж­

ности Г в плоскости Ç, и

Л Г ( о ) = # , ( 0 ,

Г ( о ) - Т , ( 0 .

Из

равенства

(14.13)

в силу граничных

условий 7\ = 0 на Li,

Ni=Q

на Li—Yi,

если

учесть также уравнение (14.12), анало­

гично

предыдущему,

получим

(см. формулы

(14.6)

и

(14.8))

г,

t, (1 - IQ Ф' (£) +

Гл Р (£) =

Ь (S

g-] +

ICI <

Ь

(19.15)

где Г] обозначает часть

Г, соответствующую дуге

при

пере­

носе

2 = £ + / . Эти

формулы выражают искомые

функции Ф ь

Wi

через искомые

же

значения нормального давления

Ni(t)

Ф1 ^

2пі , f — z г — I'

Vi

Фо (0 + ф о (t) — t Фо (0 - -£г

(О = N0

+

/Т0 . на L 0 .

(19.18)

Отсюда, аналогично тому, как было получено (19.14), нахо­

дим

ф0 (г) + ад)

= 2 ^ | ' ^ ѵ = Ф ^

П Р И і 2 і < р -

< 1 9 Л 9 >

к

Без ограничения общности мы можем

считать

І т Ф о ( 0 ) = 0 ,

ввиду чего правая часть формулы (19.19)

при

z=0

должна

быть действительной.

Последнее

требование приводит к условию

,'Ь^І

= 0,

(19.20)

t

ф » ( г ) = éi 1 7 = 1 - Ао + fo (г )-

(19.21 )

После определения

Фо(г)

функция

Wo {г)

сразу

находится

из условия

, ф 0 (f ) + t^M)

-

(ф'0 (i) _

= 2tT0

на L 0 ,

вытекающего из соотношения

(19.18), по формуле

&о(г) +

£шѴАг)

= ±

Й < Р -

( 1 9 . 2 3 )

<\N0{t)dt = - Р,

(19.24)

V < 0 ) (-0) +

d*4°>

(0)

rf2^>

(^)

tey,

heyv

W1

= ^ " ( ü l ) -

• i - i - p

(19.25)

Напишем еще формулы комплексного представления компо­

нентов смещения, вытекающие из формул

(1.17)

(гл. I ) :

2 ц 0 ^ 0 )

=

Re [е1* [к^Щ-1ц>'0

(t) — i|>0 (О] )

на

L 0 ,

(19.26)

2 ^ "

=

Re (el'œ

[ X I 4 M 7 ) _

/ ф ; до _ ^

до]

)

н а L

j >

( 1

9 2 7 )

причем а

обозначает

угол,

составленный

внутренней

нормалью

к Li в точке t с осью

JC

(eia=t—t),

и

Фо (г) =

Ф 0

(г), -фо (г) = Ч'0 (г),

Ф ! (г) = Ф, (z),

тр! (z) =-- Ч\ (г).

Составляя

выражение в левой части равенства

(19.25)

дляи*0 ',

ношение

(19.17), а также условие 7 , 0 = 0 на у , получим

2іі0

Ѵг

d*V™

p Re {(v.0 -

1) Ф 0

(/) - (x„ -S- 1) /Фо (t) -f-

~dW

- } - 2 Ф 0 ( 0 - # „ ( * ) } •

(19.28)

Аналогично, на основании

формул

(19.27),

(19.10)

и условия

Т! = 0 на Li, если

считать

в

формуле

(19.27)

t=elû-\-l,

будем

иметь

(О

= Re { ( * , -

1) фх (і) - (к, +

1) (/ -

I) Ф\ (t) +

- : - 2Ф х (0

-N^t)}.

(19.29)

В силу двух предыдущих равенств, соотношение (19.25)

примет вид

Р И

а

Re

{(х„ -

х

1)

Ф

0 (0

- К

-h 1)

/ФО

(t)

+ 2Ф0

(/) — ЛГ0

(t)}

=

-

х

+ 2Ф

N

=

Но Re { ( х

1)

Ф (а) -

( х

-1-1) аФ'

(а) -

(а)} - ] -

- [ ^ ^(с)

( І - р )

на у .

(19.30)

с центром в начале координат, из

формул

(19.14) и

(19.21)

получим ' ) .

Re {Фо (to) -

F0

(to)}

= ^

-

-L

Г ШЛ!

4яі

,)

t

(19.31)

Re {^o 1Фо (/о) -

(to)]}

= é

J 7 = 7 Г

н а

Ѵ '

К е Ф ( а 0 ) = ^

-

і

. f ^ + 4 ( a 0 - 5 „ ) ,

Re{a0 O'(a0 )} = - ê . j ^ |

г? .

- | k

-

â

0 )

на Г. |

(19.32)

Подставляя предыдущие

выражения

в

соотношение

(19.30)

и замечая, что в силу условия

(19.6)

N0(t)

=N(а)

на 4,

t=pa,

получим после некоторых приведении

'

+

— j ^ ) — m ( l —.p) на Y.

(19.33)

где введены обозначения:

k =

т [p-o (Xj — 1) — pi-4 (x„ — 1)],

/і =

т ц , 0 К + 1),

P = 2тр|Л] (x0

- 1),

<7 =

2Т[І05ІІ»

= 4 W l i >

'

(19.34)

1

T _

1Ч> («i + 1) "I" № i ( * o +

1)'

Ho (t) = Re ÎF0 (t) -

tF'0

(t) -±F0

(0)].

(19.35)

J

Это и есть искомое уравнение для определения JV0

и у, к ко­

торому

следует

еще присоединить условие

(19.24). После

опре­

деления

No и f

все неизвестные нашей задачи находятся

через

них в интегралах типа

Коши.

Отображая

окружность

| z | = p

на вещественную

ось £

функцией

,

_ .

& — /ß

о _

cos dg

(19.36)

')

A

priori считается,

что сколь

угодно малые

окрестности

точек г = р ,

2 = — р

не будут в касании с частями внешнего тела.

*ß

дг /t\

i ,„ , ч ,

.n „

f

i

L f

(l) d

î l _

ftß3

N(y) CDdr\ •

i2 + ß a

w

2n j

Î] - 1

n a* + ß2 ) J л 2 + ß

12

1

+ ß 2

ph

(6) + ï

—1

P)" ; (19.37)'

І 2

l + l - « о -

ß

при этом

J V ( l ) = t f ( - l ) = 0 ;

N(t)^No(t),

H(l)=H0(t).

Тогда равенство

(19.24)

примет вид

i

Уравнения (19.37) и

(19.38)

имеют

точно

такой

же вид, что

сейчас обозначим через R и r(r<cR),

близки

между

собой. Для

простоты

вычисления будем

считать,

что на

вложенный диск

действует

одна-единственная

сила Р,

приложенная

в его цент­

предыдущем

параграфе.

')

Задача

впервые была,

по-видимому, рассмотрена

И. Я-

Штаерманом

(см.,

например,

И. Я- Штаерман

[ 1 ] ) , который

для ее решения

строит подоб­

ное указанному

выше сингулярное уравнение из совершенно других

соображе­

ний. Установив

приближенное

равенство (19.5), автор

исходит

из

формулы

представления

нормального смещения точек обвода (кругового)

отверстия

через распределенные по контуру нормальные

усилия, и приводит

задачу к

уравнениям вида (19.37), (19.38)

для функции

g(Q), связанной с нормальным

давлением JVn('ô-) соотношением:

М>(Ф) =sec2 frg'(tg'ö').

Затем

для

решения

Заметим прежде всего, что функции Фі(г), x¥i(z)

будут

иметь при

больших

|z|

вид,

определяемый формулами

(19.1),

а

функции

<3>o(z), xïTo(z)

допускают

в

круге

| г | < г представ­

ление

Ф 0 (г) -

Ç

+ Ф 0 *

(г),

¥ 0

(г)

=

\-Ч'0*

(г),

где

Ц

(20.1)

_

ІР

,

__

(20.2)

fl°

-

2л (1 -|-х„)'

о0

— Х0£70,

а Фо, Ч^о голоморфны

в том же круге.

Пусть

y=fi(x),

y = fo(x),

— уравнения

кривых

L \ и

L 0

. Если ѵ\ п іѵ—проекции на ось у

смещений в точках

(х,

f \ )

и

(х,

f 0

) , лежащих соответственно на

Li

и L 0 до

деформации,

то после

деформации

мы будем

иметь

на

участке

контакта,

(см. Н. И. Мусхелпшвили

[1], стр. 437)

Vo—Vi

=

fi(x)—fo(x).

Отсюда, принимая во внимание, что на отрезке оси х, соот­

ветствующем

линии контакта

у,

h (X) -

- Ѵ г ^ х ^ ,

h

(X)

=

Я

-

г

-

V W ^ 1 ,

получим с точностью до бесконечно малых

высшего порядка ра­

венство

v Q - v L

=

±r-=£x*,

(20.3)

которое можно записать и т а к 1 ) :

V o - v ^

^

^

i

t

+

l Y

(t

ы Г , і = г < * * ) .

(20.3а)

Это условие будет

в нашем

случае

заменять

граничное

усло­

вия останутся без изменения, если

правую часть

в ^ формуле

(19.7) заменить нулем. В частности,

на частях L 0 и

L \ , остаю­

Ф ^ ) " 2 я 7 І 1 ^ + ^ ) ,

(20.4)

Ф о ( г ) = 241т ^Г+^о(г)+Л

(20.5)

V

РЛг) = - £ Ь г F0(z)=^- + ^f,

(20.6)

2|х0 («о + іѵп) =

х 0 ф 0 (0 — t фо (t) — ip0 (t)

на L 0

,

(20.7)

2р<і (их -4- шх ) =

Х І Ф І (0 — £ фі (t) — % (f)

на L

v

(20.8)

2 ф 0

= Re [t [(хо +

1) ФО (0 -

N0 (t)]},

(20.9)

2 г ^ 4 г = R e { t ^ + ^ О - ^ W] ^ н а

У- .

Учет

граничного

условия

(20.3)

на

основании предыдущих

равенств дает теперь

соотношение

R e W [

( х о + 1 ) Фо (0 -No

(t) ] -|іо<[

+

Фі (0

і (0 ] } = А (0 .

где

Ht) =

4 -

^ i ^

( ^ 2 -

^ )

на 7 .

(20.10)

R

jo_ [N0(t)dt

t 0 - t o

CN0(tydt

't0

CNQ(t)dt

A C 2 i u . ) t — t0

Ш

J t —10

"1 "4ntJ

< *

Тогда

из соотношения

(20.10) получим

после некоторых

У А. И. Каландня

129