книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

Таким образом, функция ф(£) определена как в области

2 _ ,

так и в 2 + , и имеет вид

Ф (0 = a In £ +голоморфная функция

(£

в 2~), |

. ]

ß g .

Ф (£) = — Ып Ç - j - голоморфная

функция

(£

в 2+) . |

Заменим

теперь

в равенстве

(16.5)

точку

Ç на

, считая при

этом, что

| £ | > 1 ,

и перейдем

в равенстве

к сопряженным

зна­

чениям. В результате будем иметь

Ф ( т ) =

~ т ф ' ( S ) ~ * і 1 ) +

c o n s t

( ^ Б 2 _ )

•

( 1 б - 9 )

Ф (£) = - ф ( 4 " ) - Т + c o

n s t

(£ в 2 ~ ) -

(16.10)

На основании формулы (16.8) легко убедиться, что для

функции о|)(^) справедливо представление (16.2).

Устремляя

здесь точку

Ç из

области 2~

к точке

о=е**, по­

лучим

_

•ф (о) = — ф~ (а) — о-ф ~ (а) + const.

( 16.11 )

Граничные

значения

\\>(а)

из формулы

(16.11)

внесем в

условия

задачи (16.1) и (16.4). Соответственно будем иметь

Ф~(о) — ф+ (о) =const

на L b

(16.12)

а [ х ф -

(о) - j -

ф+ (а) -f- const] — i (x - i -

1) Im ф ~~ (а) = g (а) на L 2 .

(16.13)

ф ( £ ) =

JL f Л/ ( a ) l n ( l

| - ^ а - Ып £ +const. (16.15) •

Эту функцию

будем рассматривать

как в области 2 + , так к

в Е - , но будем

исключать точки

£ —0,

оо. П о д і п ^ і — — j при

Е + функцию, обращающуюся в нуль при £ = 0.

При | £ | > 1 мо­

жем писать (а — произвольная точка дуги L 2 )

In ( l - -|-j - In (a - 0

- In a = In £ + In ^ - 1 j - In о =

= In£ + l n ( l

— — IncT-f-(2A+1)ях

(Ä-целое). (16.16)

Функция In ^1 ç - j ,

разумеется, голоморфна

по % в области

ем коэффициент при In ^ в

правой части соотношения

(16.15).

Этот коэффициент согласно

формулам (14.13) и (16.16)

равен

Ф(£) = 2 S - J ^ ( a ) l n ^ l - - | - j d a - T - a l n £ + C - (S в 2 - ) ,

(16.17)

Ф (Ö =

2я7 1 ^ (f f ) In ( l

|-)c£a —61nS -!- C+

(С в 2+),

где С -

и С +

— произвольные комплексные постоянные.

Из формулы (16.17) непосредственно следует^ что условия

(16.8)

удовлетворены.

Найдем

теперь

предельные

значения

функции

ср(£)

на

L(L

=

Ll-\-L2).

Из формул (16.15)

или (16.17)

имеем

СР~

= ей 1 N

( G ) I n ( l - - ^ ) da - 6 In a0 + С -

(16.18)

Ф+ (a0) = 2 -A J # (a) In ( l -

-J-j da -

6 In a0 +

C+

(на

L),

где

под In ^1 —

подразумеваются предельные

значения голо­

морфной в области

2 +

функции l n ^ l

^ - j , когда

точка

£ стре­

мится к точке Go на

L ,

оставаясь все время внутри Е + .

На основании предыдущих формул условие (16.12) выпол­

няется.

Обратимся

теперь

к

равенству

(16.13)

и

заметим, что при

выводе

интегрального

представления (16.14)

условие

на

') Голоморфные функции типа интегралов в правых частях формулы

(16.17) использовались в ранних исследованиях И. Н. Векуа

[3].

Im (а [хер- (а) -!,- ср+ (а)] -'г const) — (х 4- 1) Im ср'- (а) =

= go(o) naL2 ,

(16.19)

причем

£0(сх) = 2 , л § .

(16.20)

/

/

\

N (о0)

1

ÇN(a)da

Ь

,

т .

ф ' - Ы = - ^ -

е

1

т г

5 -

-

^

(на L 2 ) .

(Ю.21)

Имеем

(а—е^)

d°

_

' rie®-®*

• і М .

—

Отсюда

с — о0

—

2 L S

2

" г

2 '

"

/а '

т

f ( da

"I

1

,

d — §o

do-

dnr

.

Im

|ст — a0j

I =

2

ctg —jr—5 =

о —

ст0

2a

ь

2

•Следовательно,

Im Ф ' - Ы

=

gi- j

-

(a) Ar -

±. ( G o . ; . a o ) .

( 1 6 .22)

Подставляя все указанные значения в

формулу

(16.19),

найдем

стоянной С ь

то она может

быть определена в виде некоторого

функционала

от искомого N (а)

(при заданной

функции f(o)) из

самого

уравнения

(16.23).

Положив

в этом

уравнении

оо =

=

— і (®о = -^pj,

находим2 )

Сх = /о ( - 0 - 4 ^ 0 - 1

1

J |2ст(ст +

і)

ЛГ(<т)гіст —

2я

0

-

f Im (га Inf 1 — -.

2ш

•»

1

^

IG

b =

ib0.

(16.25)

После этого уравнение

(16.23) примет вид

-

- ^ -

f f —

N(a)da

+

2л

J

^ст - •

ст0

2<J J

v

'

'

C1 f

-

\

,

1 f

T

f o" i / 1

CoM W (a) dff

-; - 21ÏÏ 3s

I

m [ " Б " 1 п i 1

-

V1)}

"У

" I T ( G ° - ^

=

=

4p К

- i -

°o

(cr0

— o0 ) lno0 ] -r/0

(CT0)

на L 2 ,

(16.26)

(действительного) искомого давления

под штампом

N(a).

Урав­

нение это имеет вид

I

2 F f 1Г?ѴГ

+

f K

(G °- a > N

M dW

= F (<*>) (Ha

LJ'

L ,

0

U

где ядро

/С(ао,

ст)

квазирегулярно.

Функция

К(оо,

а)

имеет

слабую сингулярность при

ст=оо

типа

In [ а—а0 |

и

неподвижную

раграфе мы приведем уравнение

(16.26)

к несколько иному

виду, удобному для вычислительных

целей.

В частном случае, когда жесткий штамп представляет собой

(симметричную относительно

мнимой оси) дугу окружности еди­

ничного радиуса, имеем

ü p(a) =const,

f 0 ( a ) = 0

(на L 2 ) ,

и у нас останется уравнение

(16.26)

без функции fo(oo).

1 )

См. первую сноску на стр. 103.

2 )

Согласно постановке задачи точка

ст=—і всегда расположена на кон­

тактной линии.

8 А. И. Каландня

113

°

х + ф'

Р 1-1- sin

е

;

к

'

Предыдущая

функция, как

известно,

дает_

преобразование

единичной

окружности

|о | = 1 на

действительную

ось х,

пере­

водя

дугу

L 2 в

отрезок

[ — 1,

1]; при этом

точки

окружности

— 0 * ,

0* переходят1 )

соответственно

в точки

х— — 1, х=\.

После очевидных преобразований будем иметь

I

£§1

с

N(t)dt

_ * ß _

AT / ѵ ч

1_ f ЛГ(£ ) Л

- I

'

-1

причем

/Ѵ(1) =Л7(—1)

= 0

(для

простоты

вновь

полагаем

N(o)—N(x)).

Равенство ж е

(14.13) преобразуется

к виду

2 ß

i

( £ + w a N { t ) d t =

p-

( i 7 - 3 )

мулу

(11.7))

к

(*) =

1 +1

S а Л - ' W'

(l7-4>

где

m=l

sin mbk,

=

^ N k

Um-i

sin mfl-

(x) = A I N Q .

Функция .Um-\{x)

представляет

собой

полином от х

порядка

m—1,—

полином Чебышева второго рода.

Но интеграл типа Коши в правой

части формулы (17.6) вы­

числяется

в конечном

виде,

если N(x) имеет вид, даваемый

формулой (17.4). Следовательно, после

решения

способом

Муль­

топпа уравнения

контактной

задачи,

соответствующие

функции

напряжения

определяются

в замкнутом

виде.

Подробные

вычис­

численных примерах.

До сих пор речь шла об уравнениях

контактной

задачи, ког­

да линия соприкасания двух тел заранее не задана.

Обратимся

теперь к уравнению

(16.26)

с заданным участком

интегрирова­

ния L%.

И на этот раз воспользуемся

подстановкой

(17.1) и заметим,

что параметр

ß в нашем

случае вполне определен

равенством

о

cos dg

1

—

1 -I- sin •&„ '

где Ф, — полярный угол правого конца линии

L 2 .

связанные "с

Приведем

некоторые

элементарные

формулы,

подстановкой

(17.1)

и необходимые при преобразовании

урав­

нения (16.26):

rfo"

х0 -\- iß

dx

_

da

.„

dx

a - a 0 ~ x + iß x — V

2ö ~ l l x* + ß 2 '

(«тіЬг, -

-er) d

°

= ( F = ^ -

F T T 2 )

D X '

a +

ff_

2f>x

a - ö

. x2 -

ß2

~2~

- F T F '

~2~

- 1

** + ß2 '

Im |J L in ( 1 -

-g> jj - g - =

X (x0,x)

arc tg Q (x0,

x)]+

где

+-Y

(x0,

x) \riR

(x0, x),

Х{хй>х) = 2 ^ ' ^ Ь 1 Г ^

0 2

+ ßa )a (*g + ß2 )

(17.7)

4 №

, д ; '

ß (JC — JC0)

ß '

8*

115

Y(x

x)-W

x ' t x ' - ß ' ) - * ( * g - ß ' ) ,

2ß |лг —ЖоІ

(17.8)

Я (Jf0i *)

=

Предыдущие формулы внесем в уравнение (16.26), для

функций N(a) и fo(a) оставим

прежние обозначения,

и заменим

х0

на

X, а

X на

Тогда преобразованное уравнение

(16.26) с

учетом формулы (16.25)

будет выглядеть так:

• È r j

T=T

+

-èr§

k(x,t)N(t)dt

= f(x)

па ( - 1,1),

(17.9)

/г (Л, 0 — ~

ІГ^рЗ -г X (л-, f) arctg Q (.v, t)

- I - К (х, 0 In « (х, О

,

* а -

ß 2

/ ( / I

р а )

- Х ( 0 ^ ) arctg Q(0, 0 - ^ ( 0 , *)ln Я (0, *)],

(17.10)

А"2

-

ß2

ЗкЬ,

ЛГ2 -I- ß 2

* - / о ( 0 )

J

2ßx—(x2 +

ßs ) arctg-

ß"-

(17.11)

2ß*

ß 2

ч а ) .

Соответствующее уравнение

мы

получим

из

уравнения

(14.14) постановкой туда

выражения (17.1), или же предельным

переходом в формуле

(17.2)

при Е0^~оо.

Уравнение

это запи­

шем в виде

к— 1

ß

1

Г N '

(f

) d t

ß2<7

2y.f>P

ß 2

х + 1 хг + ß:iN(x)

2л ' J

t - x

X2

+ ß 3

г п(1 -1-х) ( г Ч - ß 2 ) 2 '

—1

(18.1)

')

При преобразовании (17.1)

точка окружности а=—і

переходит в точку

х=0

вещественной оси. Эту неподвижную сингулярность в нашем случае мож­

но было опустить вообще, ибо ввиду

симметричности задачи функционалы,

содержащие ее, обращаются в нуль.

N (t) dt

(18.2)

я

t* + ß2 -

—l

Напомним, что параметр ß,

входящий в уравнение (18.1) и

того, уравнение содержит в правой

части не определенную пока

постоянную q в виде функционала

(18.2). В остальном

уравне­

ние (18.1) совпадает

с уравнением

(11.1), причем здесь ß ( x ) >

> 0 н а [ - 1 ,

1].

Равенство

(17.3)

перепишем так:

c ( ß ) = 4 J ^f^N(t)dt=l.

(18.3)

х — 1

ß

Nm=

І / 2 ( И + І )

ß2<7

2

B"'kNk

+

х А- 1 cos2

ft

-f ß:

cos2

ft + ß 2

1

m ' г

2xPß

cos2 ft

ß2

(18.4)

1

я(1 -(-x) (cos2ft

-Ь ß 2 ) 2 '

где

rf c

= rn + ,_fc

( m = l , 2 , . . . , l / 2 ( / i

+

l)).

Bmk = bmk +

"Г

fem.n+l-È

(Ä = 1, . . ., 1/2 ( П

— 1)),

5m > 1 / 2 („+i)

=

ÖHI,1/2(«+1)>. (18.5)

а коэффициенты ô„Ift определяются

формулами

(11.10).

Решая эту систему при некотором

определенном

значении

параметра

ß (например,

при ß = l ) , найдем

неизвестные Nh

в

виде

Nk =

Nlk0)q

-!-

(£ -

1, . . . , п),

(18.6)

q

=

sin ûkNk

cos2 ûIt

• ß 2

(18.7)

г IR\

=.

2 | 3 я

s i

n ûk ( c o s 2

®k - ß2 ) *>k _ ,

c

(PJ

— „ _ ( .

j 2 j

fcos2

ft, -!- ß-')2

P

Решая эту систему совместно с соотношением

(18.7), будем

иметь (значения

для q и NJP

в формуле (18.6),

а также Nu

даются в

Р/п)2)

ß = 1,20886,

я=

--0,52422,

(18.9)

=

0,48035g- 0,29067

= — 0,54248,

N2

=

0,91060(7 - 0,63176

= -

1,10906,

(18.10)

м3

=

1,23317g- 1,00926 = -

1,65571,

=

1,35900g- 1,20474 = -

1,91715.

') В цитированной выше работе

Мультоппа [1] имеются таблицы для

численных значений коэффициентов bmk

при п = 7 , 15, 31.

ф „ = —10°48'12",

(18.11)

c(ß) =0,99947.

Для максимального давления при первом

приближении1 )

согласно формуле (18.10) будем иметь

ЛГ|х=о«774 = —0.61025Я

(18.12)

вом и во втором приближениях

мало отличаются друг от друга.

2. К. р у г л а я у п р у г а я

ш а й б а , п р и ж а т а я к от­

д а ч а ) . Соответствующее уравнение получится

из уравнения

') Напомним, что решение N(x), соответствующее /г = 7,

принято считать

по Мультоппу первым приближением.

П О